隨機(jī)裝配側(cè)隙均值及臨界方差控制對(duì)齒輪非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響*

曾凡靈

(安徽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 安徽合肥 230011)

汽車變速箱故障主要表現(xiàn)為振動(dòng)與異響，而變速箱動(dòng)力傳動(dòng)主要以一對(duì)或多對(duì)齒輪副進(jìn)行，因此齒輪副的運(yùn)動(dòng)形式?jīng)Q定了變速箱工作的穩(wěn)定性。而齒輪傳動(dòng)過程，影響因素較大的參數(shù)是齒輪齒側(cè)間隙(以下簡稱側(cè)隙)。因此，建立含齒輪側(cè)隙的系統(tǒng)模型，進(jìn)而研究側(cè)隙對(duì)齒輪非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響[1]。

1含裝配側(cè)隙的齒輪副系統(tǒng)模型及動(dòng)力分析

1.1含裝配側(cè)隙的齒輪副系統(tǒng)模型及微分方程

側(cè)隙的度量方法：一對(duì)動(dòng)力傳遞的齒輪副，當(dāng)視其中一個(gè)固定，另一個(gè)在嚙合線上的晃動(dòng)量；通常可用齒輪副在嚙合線上的嚙合位移來表示。

圖1 含裝配側(cè)隙的齒輪副系統(tǒng)模型

依據(jù)圖1模型，進(jìn)行綜合推導(dǎo)處理，獲得無量綱化的含裝配側(cè)隙的齒輪非線性微分方程：

(1)

(2)

1.2側(cè)隙對(duì)齒輪非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響分析

研究參數(shù)變化對(duì)非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性影響，通常采用全局分析方法，目前最為常用的有分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖方法。

采用全局分析方法，利用Simulink軟件仿真，獲得系統(tǒng)在高速重載和高速輕載下的分叉圖與最大Lyapunov指數(shù)圖。由筆者前期的研究可知，可用最大Lyapunov指數(shù)衡量系統(tǒng)的穩(wěn)定性；當(dāng)最大Lyapunov指數(shù)值Ly<0，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的；當(dāng)Ly≥0，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)[1]。

由圖2的分岔圖分析，發(fā)現(xiàn)隨側(cè)隙增加未出現(xiàn)分叉點(diǎn)；由最大Lyapunov指數(shù)圖分析，發(fā)現(xiàn)隨側(cè)隙bh變化，系統(tǒng)的(Ly<0)均小于0。說明在高速重載下，隨側(cè)隙變化的系統(tǒng)響應(yīng)均為周期或擬周期運(yùn)動(dòng)，其對(duì)系統(tǒng)全局運(yùn)動(dòng)特性影響較小[1-3]。

圖2 高速重載下，側(cè)隙變化的分叉圖與最大 Lyapunov指數(shù)圖

由圖3分析發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)在側(cè)隙為0.2121(①點(diǎn)處)，0.35485(②點(diǎn)處)，0.4923(③點(diǎn)處)，0.7280(④點(diǎn)處)處產(chǎn)生分叉現(xiàn)象，這些數(shù)值為側(cè)隙的分岔點(diǎn)；由最大Lyapunov指數(shù)圖分析，參數(shù)在0.2121～0.35485，0.4923～0.7280范圍，對(duì)應(yīng)的Ly≥0，說明系統(tǒng)在以上兩區(qū)域?yàn)榛煦绲牟环€(wěn)定運(yùn)動(dòng)，同時(shí)局部存在Ly<0的情況，說明在混沌區(qū)域存在較窄范圍的穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)；參數(shù)在其他數(shù)值范圍，系統(tǒng)均為周期或擬周期的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)。因此，在高速輕載下，側(cè)隙的變化對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)特性影響較復(fù)雜，這也映證工程實(shí)際情況，高速輕載震動(dòng)劇烈的問題。

圖3 高速輕載下，側(cè)隙變化的分叉圖與最大 Lyapunov指數(shù)圖

2隨機(jī)裝配側(cè)隙特征與隨機(jī)量的產(chǎn)生

影響齒輪副裝配側(cè)隙大小的主要因素包括：①安裝誤差：齒輪副安裝過程，由于齒輪中心偏移，導(dǎo)致齒輪副間的間隙；②制造加工誤差：為了滿足兩齒輪裝配的容差，制造加工過程允許的加工公差；③變形誤差：隨齒輪副的高速運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致軸類零件的擾屈變形以及受溫度影響的材料膨脹，導(dǎo)致側(cè)隙的變化。因此，裝配側(cè)隙bh由固定值bc與變動(dòng)值bυ共同構(gòu)成；在實(shí)際研究過程，如果考慮主要問題的影響，即bυ=0，側(cè)隙視為固定值；如果考慮綜合問題的影響，bυ≠0，因此齒輪副裝配側(cè)隙是隨機(jī)的。下面重點(diǎn)研究隨機(jī)裝配側(cè)隙特征及隨機(jī)量的產(chǎn)生方法。

對(duì)于一批齒輪副的隨機(jī)裝配側(cè)隙，bh=bc+bv，可依據(jù)中心極限定理，探究隨機(jī)量的均值和方差。對(duì)bh=bc+bv進(jìn)行若干次抽樣，可知隨機(jī)量概率分布特征近似服從正態(tài)分布，即bh～N(μ,σ2)，μ為隨機(jī)裝配側(cè)隙均值，σ2為隨機(jī)裝配側(cè)隙方差[1-4]。下面研究產(chǎn)生隨機(jī)量的方法。

利用Simulink軟件，在[0，1]區(qū)間上產(chǎn)生均勻分布偽隨機(jī)數(shù)，為了產(chǎn)生滿足均勻分布的隨機(jī)量，抽樣周期可足夠長[1]。設(shè)ri(i=1,2,…,12)是[0，1]區(qū)間上均勻分布隨機(jī)量，進(jìn)行12次抽樣，通過下面方法可產(chǎn)生滿足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)量ξ。

(3)

隨機(jī)裝配側(cè)隙服從：bh～N(μ,σ2)，則

bh=σ×ξ+μ

(4)

3隨機(jī)裝配側(cè)隙對(duì)非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性影響

3.1失穩(wěn)指數(shù)引入

3.2高速輕載下，隨機(jī)裝配側(cè)隙均值的臨界方差

由于在高速重載下，無論側(cè)隙如何變化，系統(tǒng)均是穩(wěn)定的；而在高速輕載下，側(cè)隙對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響較大。這也說明，在高速輕載下，隨機(jī)裝配側(cè)隙對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響較為敏感。因此，下面重點(diǎn)研究在高速輕載下，隨機(jī)裝配側(cè)隙的均值及方差對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。由圖3可知，若隨機(jī)裝配側(cè)隙均值μ在0～0.2121范圍，方差σ2=0.0時(shí)(即側(cè)隙視為固定值)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性是穩(wěn)定的。下面研究固定側(cè)隙均值，改變隨機(jī)裝配側(cè)隙方差對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

在0～0.2121范圍，取均值μ=0.18，增大σ2，計(jì)算各方差對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)均值E(Ly)、標(biāo)準(zhǔn)偏差值STD(Ly)及失穩(wěn)指數(shù)R，系統(tǒng)的隨機(jī)量指標(biāo)詳見表1。同時(shí)獲得各不同σ2對(duì)應(yīng)的隨機(jī)裝配側(cè)隙的最大Lyapunov指數(shù)圖，詳見圖4。

表1 均值μ=0.18時(shí)，系統(tǒng)的隨機(jī)量指標(biāo)

圖4 μ=0.18時(shí)，不同σ2的隨機(jī)裝配側(cè)隙的最大Lyapunov指數(shù)圖

結(jié)合圖4及表1分析，在某固定側(cè)隙均值下，可發(fā)現(xiàn)隨方差的增大，失穩(wěn)指數(shù)是增大的；由0增加至大于0，必存在某方差使得失穩(wěn)指數(shù)開始大于0的狀態(tài)，此方差稱為某固定側(cè)隙均值的臨界方差，用σ2表示[1]。在實(shí)際裝配應(yīng)用中，為了保證一批隨機(jī)裝配側(cè)隙齒輪副的合格率，在選擇隨機(jī)裝配側(cè)隙方差時(shí)，就需要保證σ2小于σ2。

經(jīng)過大量試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)σ2=0.0112時(shí)，R=0%；稍增加方差，即σ2>0.0112時(shí)，R均大于0%。故此，裝配側(cè)隙μ=0.18的臨界方差為σ2臨界=0.0112。由此，提出失穩(wěn)指數(shù)和臨界方差可作為隨機(jī)裝配側(cè)隙對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響的評(píng)價(jià)指標(biāo)。

3.3 系統(tǒng)失穩(wěn)指數(shù)與臨界方差關(guān)系驗(yàn)證

為了驗(yàn)證失穩(wěn)指數(shù)和臨界方差存在的普遍性與可行性，改變側(cè)隙均值與方差繼續(xù)進(jìn)行探究。由圖3知，若隨機(jī)裝配側(cè)隙均值μ在0.35485～0.4923，方差σ2=0.0，系統(tǒng)為穩(wěn)定的擬2周期運(yùn)動(dòng)；現(xiàn)取側(cè)隙均值μ=0.37，繼續(xù)研究μ、R及σ2臨界的三者內(nèi)部聯(lián)系。增大σ2，計(jì)算各方差對(duì)應(yīng)隨機(jī)量的E(Ly)、STD(Ly)及R，系統(tǒng)的隨機(jī)量指標(biāo)詳見表2。

表2 均值μ=0.37時(shí)，系統(tǒng)的隨機(jī)量指標(biāo)

通過大量仿真計(jì)算，發(fā)現(xiàn)側(cè)隙μ=0.37的臨界方差σ2臨界=0.0052。同樣發(fā)現(xiàn)隨裝配側(cè)隙的σ2、E(Ly)、STD(Ly)增大，失穩(wěn)指數(shù)R也是增大的，由此驗(yàn)證以上結(jié)論的真實(shí)性。

4隨機(jī)裝配側(cè)隙μ與σ2臨界的關(guān)聯(lián)分析

由上述研究結(jié)果，每一齒輪副系統(tǒng)，其側(cè)隙均值都對(duì)應(yīng)一臨界方差。通過大量的仿真計(jì)算，可獲得隨機(jī)裝配側(cè)隙μ與σ2臨界的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并繪制μ—σ2臨界關(guān)系圖，詳見圖5。

針對(duì)一批隨機(jī)裝配側(cè)隙μ—σ2臨界的關(guān)系圖進(jìn)行分析。在0～0.2121范圍，隨隨機(jī)裝配側(cè)隙μ增大，則σ2臨界減小，即越靠近0.2121(分叉點(diǎn)①)，σ2臨界越小。結(jié)論：在齒輪副裝配過程，小裝配側(cè)隙具有大的臨界方差，可以降低齒輪的加工精度而提高了安裝精度要求。

圖5隨機(jī)裝配側(cè)隙μ—σ2臨界的關(guān)系圖

在0.7280～1.1范圍，由圖可見：當(dāng)μ=0.7280(分叉點(diǎn)④)，σ2=0.0，隨隨機(jī)裝配側(cè)隙μ遠(yuǎn)離分岔點(diǎn)④，σ2臨界增大。結(jié)論：在齒輪副裝配過程中，選擇較大裝配側(cè)隙μ，同樣可以獲得較大σ2臨界，選擇大的裝配側(cè)隙可降低齒輪副的安裝精度。

5小結(jié)

隨機(jī)裝配側(cè)隙均值μ及臨界方差σ2臨界之間具有極強(qiáng)的關(guān)聯(lián)度，對(duì)二者進(jìn)行有效聯(lián)合控制，能有效提高一批隨機(jī)裝配側(cè)隙齒輪系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在實(shí)際裝配應(yīng)用中，為了保證一批隨機(jī)裝配側(cè)隙齒輪副的合格率，在選擇隨機(jī)裝配側(cè)隙方差時(shí)，就需要保證側(cè)隙σ2小于σ2臨界。