不等式“易錯(cuò)題歸類(lèi)剖析”

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本文對(duì)《不等式選講》中的易錯(cuò)題進(jìn)行了分類(lèi)整理，并對(duì)發(fā)生和發(fā)展的思維誤區(qū)進(jìn)行了剖析和警示，希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)能有所幫助。

一、利用基本不等式求最值時(shí)忽略等號(hào)成立的條件

例1（2021年四川綿陽(yáng)高三模擬）已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)。

（1）求證：（a+b）（ab+c）》4abc;

（2）若a+b+c=3，求/a+/61+/fI的最大值。

解析：（1）采用分析法證明，要證（a+b）。（ab+c）》4abc，可證ab+ac+ab2+bc24abc》0，需證b（a+c-2ac）+a（c+b2bc）》0，即證b（a-c）'+a（c-b）'》0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立，由已知條件知b（a-c）*+a（c-b）》0顯然成立，故不等式（a+b）（ab+c）》4abc成立。

（2）錯(cuò)解：因?yàn)閍，b，c均為正實(shí)數(shù)，由均

警示：在求最值時(shí)，可以運(yùn)用基本不等式a+b

a6<"2“對(duì)要證明的不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)來(lái)求解，關(guān)鍵是要靈活運(yùn)用基本不等式滿(mǎn)足的條件“一正，二定，三相等”進(jìn)行證明。

二、多次運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)忽略同時(shí)取等號(hào)的條件

例2已知正數(shù)a，b滿(mǎn)足a+b=1，則

論中從左至右依次稱(chēng)為平方平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)，分別包含了兩個(gè)正數(shù)的平方之和a+6、兩者之和a+b，兩者之積ab、兩者的倒數(shù)之和，只要已知這四個(gè)代數(shù)式中的一個(gè)為定值，就可以求解另外三個(gè)代數(shù)式的最值。

三、柯西不等式的應(yīng)用中忽略題設(shè)條件和取等號(hào)的條件

例了（2021年江蘇高三模擬）設(shè)x，y，zER，若x-2y+z=4。

（1）求x+2y+z的最小值;

（2）求x+（2y-3）*+3z的最小值。錯(cuò)解：（1）由柯西不等式知【1+（/2）+1][x+（-/2y）*+z]>[1Xx+（/2）x（-Ey）+1Xz】*，當(dāng)且僅當(dāng)_/2yZ時(shí)，等號(hào)成立。

故4【x+2y'+z'】》（x-2y+z）=16，故x+2y3+z》4，當(dāng)且僅當(dāng)x=z=1，y=-1時(shí)，等號(hào)成立。

所以x十2y'十z”的最小值為4。

剖析：柯西不等式的實(shí)質(zhì)為兩向量的數(shù)量積的平方與兩向量模的平方的關(guān)系，應(yīng)用的關(guān)鍵是依據(jù)目標(biāo)和題設(shè)條件合理配湊定值且注意共線(xiàn)條件（取等號(hào)的條件）。（1）湊巧

工;（2）如何由+（2y-3）*+3°配湊平方和的積，構(gòu)造出定值x-2y+z=4，導(dǎo)致思維中斷。

正解：（1）配湊定值，由柯西不等式知

故x+（2y-3）+3z的最小值為21。警示：對(duì)于若干個(gè)單項(xiàng)式的平方和，因?yàn)槠浞峡挛鞑坏仁剑╝*+6++c）（m'+n'+..+p）》（am+bn+..+cp）*，所以只要補(bǔ)足另一個(gè)平方和多項(xiàng)式，合理配湊定值且注意同時(shí)取等號(hào)的條件便可利用柯西不等式來(lái)求最值。

四、排序不等式的應(yīng)用中忽略其結(jié)構(gòu)特征例4已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，求證：

警示：設(shè)a《a2《《a，，b《b;《..

（責(zé)任編輯王福華）

高考做題要先后有序

在試卷發(fā)下來(lái)之后，應(yīng)該通覽全卷，對(duì)各個(gè)試題的難易情況有個(gè)大致了解。做題時(shí)應(yīng)做到：

先易后難。做題順序應(yīng)先易后難，這樣先做出幾個(gè)容易題就可以起到調(diào)整情緒、增強(qiáng)信心的作用。同時(shí)，先做容易題，也不會(huì)造成會(huì)做的題到最后沒(méi)有時(shí)間做而失分的情況。

先熟后生。熟題一般情況下對(duì)同學(xué)們來(lái)說(shuō)相對(duì)較易，先做可使你思維流暢、思路清晰。生題一般放到后邊做，可確保熟題的完解，不會(huì)出現(xiàn)會(huì)做的題而沒(méi)做出的現(xiàn)象。

先小后大。一般應(yīng)先做選擇題和填空題，再做解答題。小題一般解題步驟少，運(yùn)算量小，易于完成。應(yīng)迅速準(zhǔn)確地完成選擇、填空題，為做大題爭(zhēng)取思考時(shí)間。

先同后異。先做同類(lèi)型試題，思維比較集中，有利于知識(shí)的溝通和聯(lián)系，過(guò)多地轉(zhuǎn)移思維點(diǎn)對(duì)應(yīng)試沒(méi)有好處。

當(dāng)然，書(shū)寫(xiě)規(guī)范、分段得分也很重要，書(shū)寫(xiě)規(guī)范與卷面整潔是考試的基本要求，因此，解題過(guò)程要做到詳略得當(dāng)。高考不可能每題都拿滿(mǎn)分，對(duì)于數(shù)學(xué)解答題應(yīng)懇可能分段得分，對(duì)已知條件做個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化就有回能得分，有時(shí)1分也很關(guān)鍵。