選修4-4、4-5試題精選

胡彬

1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)M（po，0）（p》0）在曲線C：p=4cos0上，直線l過(guò)點(diǎn)A（4，5）且與OM垂直，垂足為P。

（1）當(dāng)0，=兀-時(shí)，求在直角坐標(biāo)系下點(diǎn)M的坐標(biāo)和直線l的方程;

（2）當(dāng)點(diǎn)M在曲線C上運(yùn)動(dòng)且點(diǎn)P在線段OM上時(shí)，求點(diǎn)P在極坐標(biāo)系下的軌跡方程。

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的

（1）求直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;

（2）已知直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，試求A，B兩點(diǎn)間的距離。

3.已知曲線C的極坐標(biāo)方程是p=1，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換

（1）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)為M（x，y），求x一3y的最小值;

（2）求曲線E的直角坐標(biāo)方程，以及直線l被曲線E截得的弦AB的長(zhǎng)。

4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的

坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。

（1）寫出曲線C的普通方程和極坐標(biāo)方程;

（2）M，N為曲線C上兩點(diǎn)，若OM上ON，求|MN|的最小值。

5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的

坐標(biāo)原點(diǎn)0為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（1，0），曲線

（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;

（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|+|PB|的取值范圍。

6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=2sin0+2acos0（a》0）;直線l的參數(shù)方程為交于M，N兩點(diǎn)。

（1）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程;

（2）若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（2，兀），|PM|+|PN|=52，求a的值。

7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C

標(biāo)原點(diǎn)0為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為=

（1）寫出曲線C的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程;

（2）若點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（0，-1），曲線C與曲線C，交于A，B兩點(diǎn)，求|PAI+|PB|的值。

8.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參x=/3+3cosa（a為參數(shù)）。以數(shù)方程為y=1+3sina

坐標(biāo)原點(diǎn)0為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為0。cosl0兀＼）=1。

（1）寫出曲線C的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程;

（2）設(shè)曲線C與曲線C2交于M，N兩點(diǎn)，P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P到曲線Cz的距離最大時(shí)，求△PMN的面積。

9.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)x=3cosq-4sinq，

方程為

y=5cos9+：5sinP

以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為posin（0+3）=/3。

（1）寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;

（2）若直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，M（2，0），求|MP1+|MQ|的值。

10.已知函數(shù)f（x）=|x-3+|x-1|。（1）求不等式f（x）《6的解集;

（2）設(shè)f（x）的最小值為M，正數(shù)a，b滿足a'+46'=M，證明：a+2b》4ab。

11.已知函數(shù)f（x）=|x+al+|x-2|。（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）》7的解集;（2）若f（x）《lx-4|+|x+2a|的解集包含【0，2】，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

12.已知函數(shù)f（x）=|2x-3|+|x+a|（a>0）。

（1）若a=1，求不等式f（x）》3的解集;

（2）若f（x）》a'-a+2-恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

13.已知函數(shù)f（x）=|ax+1|+|.x-1|。（1）若a=2，解關(guān)于x的不等式f（x）《9;

（1）解不等式f（x）》-3x+4;

（2）若函數(shù)f（x）的最小值為a，且m的最小值。n=a（m》0，n》0），求

（1）求n的值;

（2）若三個(gè)正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+

（1）解不等式f（x）《2x+3;

（2）若方程F（x）=a有三個(gè)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

17.已知a》0，6》0，且a+6=1。

（1）若對(duì)于任意的正數(shù)a，b，不等式|2.x-11<1+六恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍;

（2）證明：（&+）（a*+6*）》1。

18.已知函數(shù)f（x）=|2x-a1+|x-a+1|。

（1）當(dāng)a=4時(shí)，解不等式f（x）》8;（2）已知關(guān)于x的不等式f（x）》a

2在R

上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

參考答案：

1.（1）因?yàn)辄c(diǎn)M（po，0）在曲線C上，當(dāng)0。=兀

兀=2/3，則點(diǎn)M的極坐

-時(shí)，po=4coso6

標(biāo)為（2/3，）），化成直角坐標(biāo)為M（3，3），/3

則kom=-，所以k，=一/3。

3

又因?yàn)辄c(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（0，4），則直線l的方程為y-4=-/3x，即/3x+y-4=0。

（2）設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（p，0），因?yàn)辄c(diǎn)P在OM上日AP垂直于OM，點(diǎn)A（4，），所

以o=OP=0Asinl0AP=4sin0。

因?yàn)辄c(diǎn)P在線段OM上，且APLOM，曲線C：p=4cos0可轉(zhuǎn)化為（x-2）*+y'=4，所以當(dāng)點(diǎn)P與原點(diǎn)O重合時(shí)，0=0;當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)

2.（1）消去參數(shù)t得直線l：3x-4y+1=0，即3ocos0-4psin0+1l=0。

將直線l的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形式為

（2）點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（-2，0），則點(diǎn)P在直線l上。

將直線l的參數(shù)方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式為

直角坐標(biāo)方程，整理得'-（32+2a）t'+4a+4=0。

因?yàn)橹本€l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，所以0=（32+/2a）2-4（4a+4）》0，即

設(shè)M，N兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為l'，I2'，由韋達(dá)定理得'+l'=3/2+/2at|'t，'=4a+4。

因?yàn)閍》0，所以t'+l'》0，i，'l，'》0，所以l'》0，l'》0。

因?yàn)辄c(diǎn)P在直線l上，所以|PM|+|PN|=lt'l+|tz'l=i|'+t2'=3/2+/2a=52，解得a=2。

7.（1）由參數(shù)方程可得曲線C的普通方程為x-y-1=0。

（2）f（x）=lx+3l+|x-1l3|x-3-x+1|=2，M=2。因?yàn)閍》0，6》0，所以要證a+2b≥4ab，需證（a+26）'》16ab*，即證a*+46*+4ab》16a*6。因?yàn)閍+46'=2，所以需證2+4ab》16a'6*，即證8（ab）？-2ab-1《0，即證（4ab+1）（2ab-1）《0。因?yàn)?ab+1》0，所以需證ab《寸。因?yàn)?=a'+4b'》4ab，所以ab《寸成立，所以a+2b>4ab。

當(dāng)x《-1時(shí)，由f（x）》7，得-2x+1》7，解得x《-3;

當(dāng)-1《x《2時(shí)，f（x）≥7無(wú)解;

當(dāng)x》2時(shí)，由f（x）》7，得2x-1》7，解得x》4。

所以當(dāng)a=1時(shí)，不等f(wàn)（x）》7的解集為（-，-3】U（4，+o）。

（2）f（x）《|x-4|+|x+2a|的解集包含【0，2】等價(jià)于|x+al-|x+2a|《lx-4|-|x-2|在【0，2】上恒成立。

當(dāng)x∈【o，2】時(shí)，x+al-lx+2al《|x-4|-|.x-2|=2等價(jià)于（|.x+al-|x+2a|）mx《2恒成立，而x+a|-|x+2a|《|（x+a）-（x+2a）l=|a|，所以|a《2。

故滿足條件的a的取值范圍為【-2，2】。

作出函數(shù)F（xc）的圖像，如圖1所示，當(dāng)直線y=a與函數(shù)y=F（x）的圖像有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，方程F（x）=a有三個(gè)解，由圖可知1《a《3。

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（1，3）。

綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為【-2，1】。

（責(zé)任編輯王福華）