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    聚焦選考題中的不等式證明

    2021-07-25 05:03:34孫承輝
    關(guān)鍵詞:作差證明題綜合法

    孫承輝

    《不等式選講》在“不等式”的基礎(chǔ)上,增加了絕對值不等式和柯西不等式等知識,在高考中以選做題的形式出現(xiàn),考查邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。對于其中的證明題,重點(diǎn)考查運(yùn)用比較法、綜合法和分析法等證明方法,本文對不等式證明題進(jìn)行分類解析,供同學(xué)們復(fù)習(xí)時參考。

    ??碱}型1:以絕對值三角不等式為考點(diǎn)絕對值不等式的內(nèi)容比較豐富,比如|a-b|《|a-c|+|c-b|(a,bER)和絕對值三角不等式||al-|b|l《|atb|《|a|+|b|(a,bER)。運(yùn)用絕對值三角不等式需注意不等式的結(jié)構(gòu),必要時可對代數(shù)式進(jìn)行拆項(xiàng)變形。

    例1已知函數(shù)f(r)=|2x-1|。(1)解不等式f(x)《|x|+3;

    (2)設(shè)2x-1=m(x-3y+l)+n(2y1)=mx+(-3m+2n)y+m-n,則m=2,n=3,即2x-1=2(x-3y+l)+3(2y-1)。

    因?yàn)椋躼-3y+1\4分,2y-1《,所以f(x)=|2x-1|=12(-3+1)+3(2y-1)|<2|x-3y+1l|+3|2y-1|<2X

    點(diǎn)評:第(1)小題是解含絕對值的不等式,屬于簡單題。第(2)小題是利用待定系數(shù)法對2x一1進(jìn)行拆項(xiàng),這是絕對值不等式|a-b|《la-cl+|c-b|的直接應(yīng)用。

    ??碱}型2:以基本不等式和柯西不等式為考點(diǎn)

    不等式證明題中有以基本不等式和柯西不等式為考點(diǎn)的題型,同學(xué)們要熟悉這兩種不等式的多種形式,例如,三元基本不等式:

    例2已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b3+c3=1。證明:

    (1)a+b+c>(a+b+c*);

    (2)a2b+b'c+c'a<1。

    證明:(1)證法一(柯西不等式法):因?yàn)閍+b+c=1,所以a+b+c=(a+b+)。(a'+b3+c3)=[(/a)2+(6)+(6].【(/a)*+(/歷)+(/)】》(a+63+c2)”。

    證法二(基本不等式法):因?yàn)閍+b+c8=1,所以a+b+c=(a+b+c(a+63+c')=a'+b*+c*+(ab*+ba')+(ac*+ca*)+(be*+cb*)>a'+b*+c*+2/a6ba+2/aeca+2/b6cc6"=a*+6'+e*+2a*6+2a"c+26c'=(a+b+c).

    (2)要證a'b+b*c+c*a《1,即證a*6+b'c+c'a

    證法一(排序不等式法):不妨設(shè)a》b≥c,則a'》b》c,由亂序和《順序和,可知a'b+bc+c*a

    證法二(基本不等式法):a+6'=(a+6)(a'-ab+b)>(a+b)(2ab-ab)=ab+ab。同理,b+c》bc+bc*.c*+a》ca+ca。所以2(a+6+c*)》ab+bc+ca+ab'+bc+ca'。

    又因?yàn)閍+6'》2ab,所以a+ab》2a'b,所以a'》2a*b-ab。同理,b'》26'c-bcz,c》2ca-ca。所以a+b+c》2(a'6+b*c+ca)-ab-bc?-ca。

    ②①+②得3(a+b+c)》3(a6+

    bc+c'a),即ab+bc+ca《a+b+c3=1,結(jié)論得證。

    點(diǎn)評:解答第(1)小題時要觀察到需證的不等式的左邊是一次多項(xiàng)式,右邊是四次多項(xiàng)式,所以根據(jù)a+6*+c8=1把a(bǔ)+6+c變形為a+b+c=(a+b+c)(a+6+c),再運(yùn)用柯西不等式或基本不等式就能證明。第(2)小題中的ab+bc+ca可以看作亂序和,直接運(yùn)用排序不等式證明最方便。

    ??碱}型3:以不等式的證明方法為考點(diǎn)證明不等式的常見方法有比較法、綜合法、分析法等,作差(或作商)法的本質(zhì)是把兩個式子的大小判斷轉(zhuǎn)化為一個式子與0(或1)的大小關(guān)系。另外,用分析法證明不等式時,要注意書寫格式的規(guī)范性,也可以先用分析法尋找思路,再用綜合法寫證明過程。

    例了已知不等式|x-2|+|x-3|《3的解集為M,且a,bEM。

    (1)若a》b,求證:2a'-b》2ab*-a'b;(2)求證:|4+ab《|a+46|。

    解析:(1)求得不等式|x-2|+|x-3|《3的解集為(1,4),所以M=(1,4)。

    2a'-b-(2ab*-ab)=(2a'-2ab)+(a'b-b)=2a(a-b)+b(a-b)=(a2-b)(2a+b)=(a+b)(a-b)(2a+b)。

    因?yàn)?《b《a《4,所以a+b》0,a-bo,2a+b》0,所以(a+b)(a-b)(2a+6)》0,即2a-6-(2ab-a6)》0。

    所以2a'-6》2ab'-a'6。

    (2)要證|4+ab|《|a+46|,即證(4+ab)'《(a+46),即ab+16-a-1660,即證(a-16)(6-1)《0

    因?yàn)閍,bE(1,4),所以a-16《0,61》0,所以(a-16)(b-1)《0.

    所以|4+ab|《|a+4b|。

    點(diǎn)評:第(1)小題主要考查作差法證明不等式;第(2)小題通過分析法,將要證的不等式平方后再作差。這兩小題里作差后的變形是解決問題的關(guān)鍵,常用的策略是把代數(shù)式因式分解,通過判斷各個因式的符號來確定整個代數(shù)式的符號。

    (責(zé)任編輯王福華)

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