參數(shù)方程考點解析

楊志云 劉曉艷

一、參數(shù)方程的概念

點評：滿足某種約束條件的動點的軌跡形成曲線，點與曲線的位置關(guān)系有兩種，點在曲線上和點不在曲線上。①對于曲線C的普通方程f（r，y）=0，若點M（x，y1）在曲線C上，則點M（x，y）的坐標(biāo)是方程f（x，y）=0的解，即有f（x，y）=0;若點N（x2，y2）不在曲線C上，則點N（xz，2）的坐標(biāo)不是方程f（x，y）=0的解，即有f（xz，y2）?

二、求曲線的參數(shù)方程

例2已知邊長為a的等邊三角形

ABC的頂點A在y軸的非負(fù)半軸上移動，頂點B在x軸的非負(fù)半軸上移動，求頂點C在第一象限內(nèi)的軌跡的參數(shù)方程。

解析：如圖1，設(shè)頂點C的坐標(biāo)為（x，y），ABO=0，過點C作軸的垂線段CM，垂足為M。

點評：該題的解題思路是先畫出圖形，選取角為參數(shù)，建立動點的坐標(biāo)的三角函數(shù)即可。求曲線的參數(shù)方程的步驟：①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任一點M的坐標(biāo);②寫出適合條件的點M的集合;③用坐標(biāo)表示集合，列出方程;④將方程化為最簡形式;⑤證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點（此步驟可以省略，但一定要注意所求的方程中所表示的點是否都表示曲線上的點，要注意那些特殊的點）。

三、參數(shù)方程化為普通方程

（1）當(dāng)l為參數(shù)，0為常數(shù)時，方程表示何種曲線？

（2）當(dāng)t為常數(shù)，0為參數(shù)時，方程表示何種曲線？

因為cos0，sin0不同時為零，所以方程表示一條直線。

（2）當(dāng)t為非零常數(shù)時，原方程組為

當(dāng)t=0時，表示點（a，b）。

點評：（1）將參數(shù)方程化為普通方程，關(guān)鍵是消去參數(shù)。如果參數(shù)方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加減消元法;如果參數(shù)方程是分式方程，在運用代入消元或加減消元之前要做必要的變形。（2）在將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意哪一個量是參數(shù)，并且要注意參數(shù)的取值對普通方程中x及y的取值范圍的影響。本題啟示我們，形式相同的方程，由于選擇參數(shù)的不同，可表示不同的曲線。（3）該題的解題思路是：①運用加減消元法，消t;②當(dāng)t=0時，方程表示一個點，當(dāng)t為非零常數(shù)時，利用平方關(guān)系消去參數(shù)0，化成普通方程，進(jìn)而判定曲線的形狀。

四、普通方程化為參數(shù)方程

f（t），再計算y=g（t）），并且要保證等價性。若不可避免地破壞了同解變形，則一定要通過x=f（t），y=g（t），調(diào)整t的取值范圍，使得在普通方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程的過程中，x與y的取值范圍保持一致。

五、利用參數(shù)思想解題

例5已知x，y滿足x？+（y-1）'=1。求：

（1）3x+4y的最大值和最小值;

（2）（x-3）'+（y+3）的最大值和最小值。

點評：該題的解題思路是：設(shè)出圓的參數(shù)方程，將問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最大值和最小值問題來解決。

運用參數(shù)思想解題的關(guān)鍵在于參數(shù)的選擇。選擇參數(shù)時，應(yīng)注意所選擇的參數(shù)易于與兩個坐標(biāo)產(chǎn)生聯(lián)系。由于三角函數(shù)的巨大作用，常選擇角為參數(shù)。

解決與圓有關(guān)的最大值和最小值問題，常常設(shè)出圓的參數(shù)方程，然后轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最大值和最小值問題。

（責(zé)任編輯王福華）