張琳
《不等式選講》為高考選考內(nèi)容之一,主要考查絕對(duì)值不等式的求解、不等式證明的基本方法(比較法、綜合法、分析法等),以及根據(jù)給定條件求參數(shù)的取值范圍、用基本不等式研究代數(shù)式的最值等問題,交匯考查集合的概念、絕對(duì)值的概念、函數(shù)的概念、函數(shù)的圖像與性質(zhì)、二次不等式、基本不等式等內(nèi)容。
題型一:絕對(duì)值不等式的求解
解絕對(duì)值不等式的常用方法有:
(1)基本性質(zhì)法:對(duì)aER,|x|《a臺(tái)a《x《a;lxl》ax《-a,或x》a。
(2)平方法:兩邊平方去掉絕對(duì)值符號(hào)。(3)零點(diǎn)分段法:含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式,可用零點(diǎn)分段法脫去絕對(duì)值符號(hào),將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組)求解。
(4)幾何法:利用絕對(duì)值的幾何意義,畫出數(shù)軸,將絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離求解。
(5)數(shù)形結(jié)合法:在平面直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的圖像,利用函數(shù)圖像求解。
例1已知函數(shù)f(x)=|2x+2|-|x-l|,xER。
(1)求f(x)《1的解集;
(2)若f(c)=x+a有兩個(gè)不同的解,求a的取值范圍。
解析:(1)由絕對(duì)值的意義可得f(x)=
(2)若f(x)=x+a有兩個(gè)不同的解,即
y=f(x)的圖像與直線y=c十a(chǎn)有兩個(gè)交點(diǎn)。
如圖1,當(dāng)直線y=x+a過點(diǎn)(一1,一2)時(shí),a=-1;
當(dāng)直線y結(jié)合圖像可得-1《a《3。
評(píng)注:本題考查絕對(duì)值的意義、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,難度雖然不大,但是對(duì)作圖的能力要求較高。(1)由絕對(duì)值的意義可得(x+3,x>1,
f(x)=《3x+1,-1《x《1,再分段求解即可;(2)采用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解題,分別作出y=f(x)的圖像與直線y=x+a的圖像,觀察交點(diǎn)個(gè)數(shù)情況,從而得出a的取值范圍。
題型二:含絕對(duì)值不等式的恒成立問題含絕對(duì)值不等式的恒成立問題的解題規(guī)律:
(1)根據(jù)絕對(duì)值的定義,分類討論去掉絕對(duì)值,轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),然后利用數(shù)形結(jié)合解決。
(2)巧用“|al-|b|《|ab|《|a|+|6|”求最值。
①求|a|-|6|的范圍:若a土b為常數(shù)M,可利用||al-|b||《|atb|臺(tái)-|M|《|a|-|6|《|M|確定范圍;
②求|a|+|6|的最小值:若a士b為常數(shù)M,可利用|a|+|6|》|atb|=|M|,從而確定其最小值。
(3)f(x)《a恒成立臺(tái)f(x)《a;f(x)》a恒成立臺(tái)f(x)mn》a。
例2已知函數(shù)f(x)=|2x-2al+|x-4a+3|。
(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)《9的解集;
(2)當(dāng)a≠1時(shí),若f(x)》4對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立,求a的取值范圍。
解析:(1)當(dāng)a=1時(shí),f(c)=3|x-1|。由f(x)《9得|x-1|《3,即-3《x-13,解得一2《x《4。
所以當(dāng)a=1時(shí),不等式f(x)《9的解集為{x|-2《x《4}。
所以f(x)在(-oo,a)上是減函數(shù),在【a,+)上是增函數(shù)。
所以f(x)min=f(a)=3a-3。
由題設(shè)得3a-3》4,解得a》3。
②當(dāng)a《1時(shí),a》4a-3,f(x)=
所以f(r)在(-,a)上是減函數(shù),在【a,+)上是增函數(shù)。
所以f(x)mn=f(a)=-3a+3。
評(píng)注:本題考查絕對(duì)值函數(shù),其本質(zhì)就是分段函數(shù),將絕對(duì)值去掉是解答本類題的關(guān)鍵,屬于中檔題。解題關(guān)鍵是找到f(x)mn,即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍。
例了設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|+|.x-a|。
(1)當(dāng)a=2時(shí),解不等式f(x)》5x;(2)若存在xER,使得f(c)-2《0,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
解析:(1)由|x+1|+|x-2|》5x,可得
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|-3《a《1}。評(píng)注:(1)由題意將不等式轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)的形式,然后分別求解相應(yīng)的不等式組即可確定所求不等式的解集;(2)首先利用絕對(duì)值三角不等式求得|x+11+1x-a|的最小值,據(jù)此得到關(guān)于a的不等式,然后即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍。
題型三:不等式的證明
不等式的證明常用的方法有:比較法、基本不等式法、柯西不等式法等。比較法通常是差值比較法,其基本步驟是:作差一變形一判斷差的符號(hào)一下結(jié)論。其中“變形”是證明的關(guān)鍵,一般通過因式分解或配方將差式變形為幾個(gè)因式的積或配成幾個(gè)代數(shù)式平方和的形式,當(dāng)差式是二次三項(xiàng)式時(shí),有時(shí)也可用判別式來判斷差值的符號(hào)。應(yīng)用基本不等式或絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求最值時(shí),應(yīng)注意等號(hào)成立的條件是否具備,僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立的條件具備時(shí)方可應(yīng)用其求最值,這也是用基本不等式或絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求最值的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)。個(gè)別題目要用柯西不等式證明。
例4設(shè)正數(shù)a,b,c滿足abc=a+6+c,求證:ab+4bc+9ac》36,并給出等號(hào)成立時(shí)的條件。
證明:因?yàn)閍bc=a+b+c,所以ac=
評(píng)注:利用基本不等式完成證明或者計(jì)算最值時(shí)一定要說明取等號(hào)的條件。對(duì)于本題,將ab,bc,ac分別利用abc=a+b+c得到等價(jià)變形,然后利用基本不等式證明,并給出取等號(hào)的條件。
例5已知函數(shù)f(x)=|x-1|。(1)解不等式f(x)+f(x+4)》8;
(2)若|a|《1,|6|《1,a?0,求證:f(ab)>la1f()。
所以|ab-1|》|a-b|。
故所證不等式成立。
評(píng)注:(2)中要證的不等式等價(jià)于證明|ab-1|》|a-b|成立,即證明|ab-1|"|a-6|'》0成立。
例6已知函數(shù)f(x)=|x-4a1+|c|,aER。
(1)若不等式f(x)》a'對(duì)任意xER恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)設(shè)實(shí)數(shù)m為(1)中a的最大值,若實(shí)數(shù)x,y,z滿足4x+2y+z=m,求(x+y)?+y+z的最小值。