科學(xué)備考新指向:張琳

張琳

《不等式選講》為高考選考內(nèi)容之一，主要考查絕對(duì)值不等式的求解、不等式證明的基本方法（比較法、綜合法、分析法等），以及根據(jù)給定條件求參數(shù)的取值范圍、用基本不等式研究代數(shù)式的最值等問題，交匯考查集合的概念、絕對(duì)值的概念、函數(shù)的概念、函數(shù)的圖像與性質(zhì)、二次不等式、基本不等式等內(nèi)容。

題型一：絕對(duì)值不等式的求解

解絕對(duì)值不等式的常用方法有：

（1）基本性質(zhì)法：對(duì)aER，|x|《a臺(tái)a《x《a;lxl》ax《-a，或x》a。

（2）平方法：兩邊平方去掉絕對(duì)值符號(hào)。（3）零點(diǎn)分段法：含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分段法脫去絕對(duì)值符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式（組）求解。

（4）幾何法：利用絕對(duì)值的幾何意義，畫出數(shù)軸，將絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離求解。

（5）數(shù)形結(jié)合法：在平面直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的圖像，利用函數(shù)圖像求解。

例1已知函數(shù)f（x）=|2x+2|-|x-l|，xER。

（1）求f（x）《1的解集;

（2）若f（c）=x+a有兩個(gè)不同的解，求a的取值范圍。

解析：（1）由絕對(duì)值的意義可得f（x）=

（2）若f（x）=x+a有兩個(gè)不同的解，即

y=f（x）的圖像與直線y=c十a(chǎn)有兩個(gè)交點(diǎn)。

如圖1，當(dāng)直線y=x+a過點(diǎn)（一1，一2）時(shí)，a=-1;

當(dāng)直線y結(jié)合圖像可得-1《a《3。

評(píng)注：本題考查絕對(duì)值的意義、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，難度雖然不大，但是對(duì)作圖的能力要求較高。（1）由絕對(duì)值的意義可得（x+3，x>1，

f（x）=《3x+1，-1《x《1，再分段求解即可;（2）采用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解題，分別作出y=f（x）的圖像與直線y=x+a的圖像，觀察交點(diǎn)個(gè)數(shù)情況，從而得出a的取值范圍。

題型二：含絕對(duì)值不等式的恒成立問題含絕對(duì)值不等式的恒成立問題的解題規(guī)律：

（1）根據(jù)絕對(duì)值的定義，分類討論去掉絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后利用數(shù)形結(jié)合解決。

（2）巧用“|al-|b|《|ab|《|a|+|6|”求最值。

①求|a|-|6|的范圍：若a土b為常數(shù)M，可利用||al-|b||《|atb|臺(tái)-|M|《|a|-|6|《|M|確定范圍;

②求|a|+|6|的最小值：若a士b為常數(shù)M，可利用|a|+|6|》|atb|=|M|，從而確定其最小值。

（3）f（x）《a恒成立臺(tái)f（x）《a;f（x）》a恒成立臺(tái)f（x）mn》a。

例2已知函數(shù)f（x）=|2x-2al+|x-4a+3|。

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）《9的解集;

（2）當(dāng)a≠1時(shí)，若f（x）》4對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，求a的取值范圍。

解析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（c）=3|x-1|。由f（x）《9得|x-1|《3，即-3《x-13，解得一2《x《4。

所以當(dāng)a=1時(shí)，不等式f（x）《9的解集為{x|-2《x《4}。

所以f（x）在（-oo，a）上是減函數(shù)，在【a，+）上是增函數(shù)。

所以f（x）min=f（a）=3a-3。

由題設(shè)得3a-3》4，解得a》3。

②當(dāng)a《1時(shí)，a》4a-3，f（x）=

所以f（r）在（-，a）上是減函數(shù)，在【a，+）上是增函數(shù)。

所以f（x）mn=f（a）=-3a+3。

評(píng)注：本題考查絕對(duì)值函數(shù)，其本質(zhì)就是分段函數(shù)，將絕對(duì)值去掉是解答本類題的關(guān)鍵，屬于中檔題。解題關(guān)鍵是找到f（x）mn，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍。

例了設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|.x-a|。

（1）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f（x）》5x;（2）若存在xER，使得f（c）-2《0，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析：（1）由|x+1|+|x-2|》5x，可得

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|-3《a《1}。評(píng)注：（1）由題意將不等式轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)的形式，然后分別求解相應(yīng)的不等式組即可確定所求不等式的解集;（2）首先利用絕對(duì)值三角不等式求得|x+11+1x-a|的最小值，據(jù)此得到關(guān)于a的不等式，然后即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍。

題型三：不等式的證明

不等式的證明常用的方法有：比較法、基本不等式法、柯西不等式法等。比較法通常是差值比較法，其基本步驟是：作差一變形一判斷差的符號(hào)一下結(jié)論。其中“變形”是證明的關(guān)鍵，一般通過因式分解或配方將差式變形為幾個(gè)因式的積或配成幾個(gè)代數(shù)式平方和的形式，當(dāng)差式是二次三項(xiàng)式時(shí)，有時(shí)也可用判別式來判斷差值的符號(hào)。應(yīng)用基本不等式或絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求最值時(shí)，應(yīng)注意等號(hào)成立的條件是否具備，僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立的條件具備時(shí)方可應(yīng)用其求最值，這也是用基本不等式或絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求最值的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)。個(gè)別題目要用柯西不等式證明。

例4設(shè)正數(shù)a，b，c滿足abc=a+6+c，求證：ab+4bc+9ac》36，并給出等號(hào)成立時(shí)的條件。

證明：因?yàn)閍bc=a+b+c，所以ac=

評(píng)注：利用基本不等式完成證明或者計(jì)算最值時(shí)一定要說明取等號(hào)的條件。對(duì)于本題，將ab，bc，ac分別利用abc=a+b+c得到等價(jià)變形，然后利用基本不等式證明，并給出取等號(hào)的條件。

例5已知函數(shù)f（x）=|x-1|。（1）解不等式f（x）+f（x+4）》8;

（2）若|a|《1，|6|《1，a?0，求證：f（ab）>la1f（）。

所以|ab-1|》|a-b|。

故所證不等式成立。

評(píng)注：（2）中要證的不等式等價(jià)于證明|ab-1|》|a-b|成立，即證明|ab-1|"|a-6|'》0成立。

例6已知函數(shù)f（x）=|x-4a1+|c|，aER。

（1）若不等式f（x）》a'對(duì)任意xER恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

（2）設(shè)實(shí)數(shù)m為（1）中a的最大值，若實(shí)數(shù)x，y，z滿足4x+2y+z=m，求（x+y）？+y+z的最小值。

解析：（1）因?yàn)閒（x）=|x-4al+|x|》|x-4a-x|=4|a|，所以a'《4|a|，解得-4

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為【-4，4】。

（2）由（1）知m=4，即4x+2y+z=4。根據(jù)柯西不等式可知（x+y）'+y2+z21

所以（x+y）+y十z的最小值為;21。評(píng)注：本題的第（2）問屬于柯西不等式的常見題型。

高考全國(guó)卷幾乎每年都涉及絕對(duì)值不等式求解問題的考查，可以歸納為寫成分段函數(shù)求解、利用函數(shù)圖像求解、利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求解等方法，所以同學(xué)們應(yīng)加強(qiáng)這一方面的專項(xiàng)訓(xùn)練，熟練掌握絕對(duì)值不等式求解的方法、步驟，做到既能正確分類，又能合理整合，從而準(zhǔn)確快捷地解答該類問題。另外，同學(xué)們還應(yīng)加強(qiáng)對(duì)不等式“恒成立”“能成立”“恰成立”幾種模型的識(shí)別及求解能力，解決問題的關(guān)鍵是對(duì)其進(jìn)行恰當(dāng)?shù)牡葍r(jià)轉(zhuǎn)換，并借助函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，利用函數(shù)圖像、函數(shù)最值等來解決問題。

（責(zé)任編輯王福華）