探究坐標(biāo)系與參數(shù)方程試題的破解方法

王新宏

《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》選考題是大多數(shù)考生選做的試題，在高三的復(fù)習(xí)中，練習(xí)了大量的加減消參、代人消參、三角消參（利用sin？0+cos0=1）、平方相減消參等，也練習(xí)了很多的化為直角坐標(biāo)系后解決相關(guān)問題的試題，但像轉(zhuǎn)換后消參，必須利用極坐標(biāo)思想解決的試題幾乎沒有，當(dāng)遇到這種非常態(tài)的新題，考生的心理防線容易崩潰，容易陷人山重水復(fù)疑無路的窘境。因此，這類新題對考生的能力要求較高，僅憑刷題已無法達(dá)到中檔題不丟分的目的，所以我們必須引以為戒，在平時(shí)的復(fù)習(xí)中，很有必要精選一些這樣的新題，讓同學(xué)們學(xué)會獨(dú)立思考，勤于推理，勇于轉(zhuǎn)化，加強(qiáng)自我鉆研的信心與精神，形成多思多悟的自覺意識，提高思維的靈活性和批判性，促使數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)在高中課堂落地生根，開花結(jié)果。

例1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線

坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為2.ocos0+/3osin0+11=0。

（1）求曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程;（2）求曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值。

解析：（1）思路1：將參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)系下的普通方程常用的方法有：代人消參法、平方相減消參法、三角消參法（利用sin'0+cos'0=1）等，但本題較新穎，直接利用這些方法都行不通，故需要冷靜思考，把問題等價(jià)轉(zhuǎn)化到我們能消參的軌道上去。當(dāng)看到參數(shù)方程中的分母均為2次，分子一個為2次一個為1次時(shí)，可利用分離常數(shù)法，把2次轉(zhuǎn)化為1次，之后的消參就水到渠成、順理成

章了。

由x=pcos0，y=osin0，得直線l的直角坐標(biāo)方程為2x+/3y+11=0。

思路2：將參數(shù)方程化為普通方程主要就是想盡一切辦法消去參數(shù)t，大家最容易想到的就是代人法，故可以從代人法的思路人手，

由x=pcos0，y=osin0，得直線l的直角坐標(biāo)方程為2x+/3y+11=0。

方法3：聯(lián)想到三角函數(shù)中的萬能公式：

現(xiàn)x的取值范圍為x≠-1，缺乏完備性。

點(diǎn)評：對絕大多數(shù)考生來說，該題有兩個難點(diǎn)：一是參數(shù)方程化普通方程;二是?為啥不等于一1。因此，這是一道有很高區(qū)分度的題，讓搞題海戰(zhàn)術(shù)的考生，無所適從，束手無策;但對數(shù)學(xué)基本功特別扎實(shí)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)特別靈敏的考生，就是手到擒來，輕松化解。

（2）方法1：由（1）可設(shè)曲線C的參數(shù)方程

直線l的距離的最小值為/7。

方法2：如圖1所示，作直線2x+/3y+

點(diǎn)評：利用橢圓的參數(shù)方程求最值是這類題的常規(guī)方法，但方法2利用數(shù)形結(jié)合思想求最值顯得直觀、簡捷。

例2在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)M（po，0）（po》0）在曲線C：p=4sin0上，直線l過點(diǎn)A（4，0）且與OM垂直，垂足為P。

（1）當(dāng)0。=時(shí)，求。及直線l的極坐標(biāo)方程;

（2）當(dāng)點(diǎn)M在曲線C上運(yùn)動且點(diǎn)P在線段OM上時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程。

分析：本題主要考查極坐標(biāo)的幾何意義，動點(diǎn)的軌跡方程的求法等知識，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查考生的運(yùn)算求解能力和邏輯思維能力，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算。

解：（1）方法1：因?yàn)辄c(diǎn)M（po，0。）在曲線

（2）方法1（極坐標(biāo)法）：設(shè)P（p，0），如圖3

方法2（交軌法）：如圖3所示，直線OM的斜率一定存在，不妨設(shè)直線OM的方程為

相乘消參即得普通方程為（x-2）'+y=4，轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程為p=4cos0。因?yàn)辄c(diǎn)P在線段OM上，故0的取值范圍是

方法3（直接法）：如圖3所示，設(shè)P（x，y），因?yàn)镺PLAP，所以kop.kap=-1，即y.y

xx～-1，化簡得（x-2）*+y*=4，轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程為p=4cos0。因?yàn)辄c(diǎn)P在

方法4（幾何意義法）：如圖3所示，因?yàn)镺PLAP，所以【OPA=90°。又因?yàn)閨OA|=4，所以動點(diǎn)P的軌跡是以線段OA為直徑的圓，故點(diǎn)P的軌跡的普通方程為（x-2）2+y'=4，轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程為p=4cos0。因?yàn)辄c(diǎn)P在線段OM上，故日的取值范圍是

點(diǎn)評：①該題的兩問直接用極坐標(biāo)來做要比化為直角坐標(biāo)簡單、快速得多，所以極坐標(biāo)試題應(yīng)打破定式思維，盡量優(yōu)先直接用極坐標(biāo)思想解題，而不是都化為直角坐標(biāo)來做，這不僅是一種解題方法，更是一種優(yōu)化策略、解題捷徑，也是命題專家們的思想所在。②數(shù)形結(jié)合不可少，不僅直觀形象，更是事半功倍效率高。0∈「兀π7是一大難點(diǎn)，大部分考生都丟分了，搞不清楚原因。如圖3所示，當(dāng)0=兀-時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，是一臨界狀態(tài);當(dāng)0《4時(shí)，點(diǎn)P不在線段OM上，不滿足題意;當(dāng)0=-時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，也是一臨界狀態(tài);當(dāng)0》時(shí)，點(diǎn)P不在線段OM上，不滿足題意。故0EL4'2」。

解題后進(jìn)行反思、總結(jié)，有助于同學(xué)們優(yōu)化解題思路、突破疑難點(diǎn)，明晰高考方向與趨勢。建立錯題本可使同學(xué)們找到解題錯誤的原因，使同樣的錯誤不會再犯，有助于知識網(wǎng)絡(luò)的修建，有助于解題方法的完善與提高，有助于加強(qiáng)對數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的領(lǐng)悟、理解，更可以把同學(xué)們的思維引向一個較深的層次，切實(shí)提高同學(xué)們的考試應(yīng)變能力，培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新思維能力，培養(yǎng)同學(xué)們用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)思考問題，用數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)素養(yǎng)解決問題的能力，從而輕松應(yīng)對高考，考出好成績。

（責(zé)任編輯王福華）