聚焦高考選做題中的解不等式問題

謝志平

《不等式選講》在高考中作為選做題以一道解答題的形式出現(xiàn)，主要考查不等式的證明及解不等式。其中解不等式往往考查含絕對(duì)值不等式及相關(guān)的綜合問題。本文嘗試總結(jié)解絕對(duì)值不等式的基本題型與一般思路，希望能對(duì)同學(xué)們?cè)谛赂呖寄Ｊ较虏坏仁綇?fù)習(xí)提供一些幫助與啟發(fā)。

考向一：含有一個(gè)絕對(duì)值的不等式問題例1（2021年山西高三月考）已知函數(shù)f（x）=2|x-1|，求不等式f（x）《3x-4的解集。

解法一：由題可得2|x-1|《3x-4，所以-（3x-4）《2（x-1《3x-4.解得x》2，所以不等式f（x）《3x一4的解集為（2，+）。

解法二：原不等式可等價(jià)轉(zhuǎn)化為（x-1>0，

或（x-1<0，

（2（x-1）<3x-4，（-2（x-1）<3.x-4，解得x》2，所以不等式f（x）《3x-4的解集為（2，+o）。

點(diǎn)評(píng)：此類題目，同學(xué)們可以直接利用“|f（x）|》a（a》0）臺(tái)f（x）》a或f（x）《-a，以及|f（x）|《a（a》0）臺(tái)-a《f（x）《a”或分類討論去絕對(duì)值求解。一般以基礎(chǔ)題為主，往往選擇公式法直接解。

考向二：含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式問題1.利用幾何意義解絕對(duì)值不等式

例2解不等式|x+1|+|x-1|《4。解析：如圖1，在數(shù)軸上，記M，N分別表示數(shù)一1與1，P表示數(shù)x，|PM|，|PN|分別表示|x+1|與|x-1|，則|PM|+|PN|《4。觀察數(shù)軸，當(dāng)點(diǎn)P在一2到2之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，|PM|+|PN|《4，所以-2《x《2。

點(diǎn)評(píng)：初中已經(jīng)學(xué)過數(shù)軸法，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，利用數(shù)軸可以解決一些簡(jiǎn)單的含絕對(duì)值的不等式，比如：|x+al+|x+b|《c。

2.利用分類討論解絕對(duì)值不等式

例3（廣西2021屆高三質(zhì)檢）已知函數(shù)f（x）=|2x+3|。

（1）求不等式f（x）《3+|x-1|的解集;（2）若不等式f（x）》2a-|2x-2|對(duì)任意ER恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析：（1）因?yàn)閨2x+3|-|x-1|《3，

點(diǎn)評(píng)：解答絕對(duì)值不等式問題的本質(zhì)是去絕對(duì)值，而分類討論是最基本的處理手段。

第（1）問找到兩個(gè)臨界點(diǎn)和1，分三段討論，迎刃而解。第（2）問除了用分類討論求出y的最小值，還可以用絕對(duì)值的三角不等式“若a，b為兩個(gè)實(shí)數(shù)，則|a+b|《|al+|6|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)等號(hào)成立”加以解決，即|2x+3|+|2x-2|>|2x+3-2x+2|=

3.利用圖像法解絕對(duì)值不等式

例4（陜西安康2021屆高三聯(lián)考）已知函數(shù)f（xc）=|x+3|-|x-1|。

（1）在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的圖像，并寫出f（x）的值域;

（2）若f（x）《lx+a|恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

由圖像可得f（x）的值域?yàn)椤?4，4】。

（2）在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y=|.x+a|的圖像，如圖3所示，當(dāng)y=lx+a|過點(diǎn)（1，4）時(shí)，a=3或一5。

由圖像可知-a《-3，所以a》3，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為【3，+）。

點(diǎn)評(píng)：第（1）問利用零點(diǎn)分段得到函數(shù)的解析式，畫出圖像;第（2）問利用數(shù)形結(jié)合的方法，確定圖像的臨界情形，簡(jiǎn)單直觀地揭示了問題的本質(zhì)。在含絕對(duì)值的恒成立問題中，除了上述方法，同學(xué)們還可以利用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或值域問題加以解決。

4.利用平方法解絕對(duì)值不等式

例5（2021年福建福州期中）已知函

點(diǎn)評(píng)：本題中先判斷出函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反。根據(jù)單調(diào)性列出不等式|2x-1|《|x|，兩邊平方解絕對(duì)值不等式，可以避免分類討論，但同時(shí)也要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，保證兩邊都是非負(fù)數(shù)。

5.含有參數(shù)的絕對(duì)值不等式問題

例6（2021年湖南長(zhǎng)沙高三模擬考試）已知函數(shù)f（xc）=|2x+a|+1。

（1）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f（x）+x《2;

點(diǎn)評(píng)：本題考查了絕對(duì)值不等式的解法、絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，以及函數(shù)的最值問題。首先解決關(guān)于ε的不等式有解問題，轉(zhuǎn)化為b《g（x）max，之后再把a(bǔ)當(dāng)作變量，轉(zhuǎn)化為不等式有解問題。同學(xué)們要重視利用分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)法解決不等式有解或恒成立問題。

（責(zé)任編輯王福華）