探究高考數(shù)學(xué)坐標(biāo)系與參數(shù)方程的解題策略

陶長(zhǎng)葉

坐標(biāo)系與參數(shù)方程這一章是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)模塊，在高考全國(guó)卷中所在的位置為22題，它與23題的不等式兩者是二選一的要求，每年的高考考生選做22題的比例也是很大的，可見(jiàn)這一章在高考中的地位非常重要。下面針對(duì)這一章的復(fù)習(xí)，歸納整理一些常見(jiàn)的解題策略，供2021屆考生復(fù)習(xí)時(shí)參考。

策略一：抓住直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義

例/（2021年湖南衡陽(yáng)聯(lián)考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)0為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（1，彎），曲線C的極坐標(biāo)方程為

（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程;

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|.|PB|的最大值。

解析：（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程p=

點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（0，1）。設(shè)直線l的參數(shù)（.xc=tcosa，方程為

（t為參數(shù)，0《a《），y=l+tsina

代人曲線C的直角坐標(biāo)方程，化簡(jiǎn)整理得（3+sin'a）t+8tsina-8=0。

設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t，tp，

因?yàn)?《sina《1，所以當(dāng)sina=0，即

a=0時(shí)，|PA|.|PB|的最大值為3。

點(diǎn)評(píng)：（1）涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的

綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程后求解。當(dāng)然，還要結(jié)合題目本身特點(diǎn)，確定選擇何種方程。（2）直線的參數(shù)方程的標(biāo)

何意義是直線上的點(diǎn)P到點(diǎn)P。（co，yo）的數(shù)量，即|t|=|P驢|，l可正，可負(fù)。使用該式時(shí)直線上任意兩點(diǎn)P，P，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為l，lz，則|PP2l=l-l2l，PPz的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為（4，+1）。

策略二：用好極坐標(biāo)方程中極徑p的幾何意義

例2（2021年廣東湛江檢測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為

為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系。

（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程;

（2）在極坐標(biāo)系中，M，N是曲線C上的兩點(diǎn)，若CMON=：了，求OM|+1ON|的最大值。

點(diǎn)評(píng)：極徑p是一個(gè)距離，所以，但有時(shí)p可以小于零。極角0規(guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)不同，極坐標(biāo)與P點(diǎn)之間不是一對(duì)應(yīng)的，所以我們又規(guī)定0≥0，00<《2，來(lái)使平面上的點(diǎn)與它的極坐標(biāo)之間是一對(duì)應(yīng)的，但仍然不包括極點(diǎn)。

策略三：注重轉(zhuǎn)化為普通方程方便計(jì)算例3（2021年安徽池州檢測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為

（1）求曲線C的普通方程和曲線C，的直角坐標(biāo)方程;

（2）設(shè)曲線C與曲線C2交于M，N兩點(diǎn)，P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P到曲線C，的距離最大時(shí)，求△PMN的面積。

因?yàn)辄c(diǎn)P到直線MN的最大距離為

d+3=4，所以SoPMN

2X4/2X4=8/2。

點(diǎn)評(píng)：該題利用圓的普通方程找到圓心坐標(biāo)和半徑，求出直線的普通方程后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出弦長(zhǎng)MN，為求三角形的面積奠定了數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。有時(shí)候并不是所有的參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的問(wèn)題一定要用參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的觀點(diǎn)去處理解決的，普通方程的地位也很重要。普通方程其實(shí)就是直線和圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，也就是用同學(xué)們熟悉的解析法去解決問(wèn)題。

策略四：關(guān)注參數(shù)方程中的最值問(wèn)題例4（2021年安徽六安檢測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為

點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線

（1）求曲線C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程;

（2）將曲線C向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再將曲線C上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的1，得到曲線C，求曲線C上的點(diǎn)到直線l2的距離的最小值。

解析：（1）由曲線C的參數(shù)方程

點(diǎn)評(píng)：最值問(wèn)題往往通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系解決，參數(shù)方程中的函數(shù)多以參數(shù)作為自變量建立函數(shù)關(guān)系，在求最值時(shí)要關(guān)注參數(shù)的取值范圍，它就是函數(shù)的定義域，直接影響函數(shù)最值的取值狀態(tài)。在解決與圓和橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題時(shí)，利用參數(shù)方程更具優(yōu)越性。

以上介紹了坐標(biāo)系與參數(shù)方程問(wèn)題中常見(jiàn)的解題策略，在具體的使用過(guò)程中還有很多基于題目本身的特點(diǎn)，需要做出解題細(xì)節(jié)調(diào)整。同學(xué)們要善于從題目中變化的量找出某些規(guī)律，應(yīng)用我們所學(xué)的知識(shí)去解決問(wèn)題。

（責(zé)任編輯王福華）