葉琳
坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,也是高考中的重要考點(diǎn),盡管難度不大,但在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí),同學(xué)們常常會(huì)忽視一些關(guān)鍵點(diǎn),如變量的取值范圍、參數(shù)的幾何意義等,從而導(dǎo)致解題失誤。本文呈現(xiàn)坐標(biāo)系與參數(shù)方程中幾類典型的錯(cuò)誤并加以剖析,以期幫助同學(xué)們走出解題的誤區(qū)。
一、混淆直線參數(shù)方程的一般式與標(biāo)準(zhǔn)式過點(diǎn)P(xo,y)且傾斜角為的直線的(x=xco+tcosa,(t為參數(shù))中的參參數(shù)方程
y=yo+tsina
數(shù)t具有明顯的幾何意義,運(yùn)用它求解直線和二次曲線相交的距離問題時(shí),結(jié)合韋達(dá)定理可以大大減少運(yùn)算量,方法十分簡(jiǎn)便。但由于對(duì)直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義理解不透徹,對(duì)含絕對(duì)值的式子不熟悉,解題時(shí)常常會(huì)產(chǎn)生一些典型錯(cuò)誤。
例1(2021年廣西高三模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程
錯(cuò)因分析:應(yīng)用公式AB=|t-t2|求解直線被二次曲線所截得的弦長(zhǎng)時(shí),直線的參數(shù)方程必須化成標(biāo)準(zhǔn)形式,本題所給的直線的參數(shù)方程并非標(biāo)準(zhǔn)形式,應(yīng)該化為直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式后再用公式求解。
為普通方程得y=/3(x-1),直線l過點(diǎn)(10)且傾斜角為60°,則直線l的參數(shù)方程為
二、忽視直線參數(shù)方程中參數(shù)t的符號(hào)直線參數(shù)方程中如果點(diǎn)A在定點(diǎn)P的上方,則點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的參數(shù)、就表示點(diǎn)A到點(diǎn)P的距離|PA|,即t=|PA|;如果點(diǎn)B在定點(diǎn)P的下方,則點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的參數(shù)i就表示點(diǎn)B到點(diǎn)P的距離|PB|的相反數(shù),即tp=-|PB|,很多同學(xué)對(duì)直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義理解不透徹,忽視t的符號(hào)而致錯(cuò)。
例2(2021年河南高三模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為
錯(cuò)解:(1)由曲線C的極坐標(biāo)方程得3p'+p'sin'0=12,化為直角坐標(biāo)方程為3(x?+y)+y?=12,即3x+4y=12。
將直線l的參數(shù)方程代人,化簡(jiǎn)整理得(3cos'a+4sina)t+(6cosa+8sina)t-5=0。
設(shè)A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t,t2,由根與系數(shù)的關(guān)系可知l+t=
錯(cuò)因分析:利用直線的參數(shù)方程求距離之和、距離之差的關(guān)鍵在于正確理解參數(shù)的值與相應(yīng)點(diǎn)在幾何上的位置關(guān)系。過點(diǎn)P(xo,y)且傾斜角為a的直線的參數(shù)方程
正解:(1)由曲線C的極坐標(biāo)方程得3p'+p'sin0=12,化為直角坐標(biāo)方程為3(x+y')+y=12,即3x+4y=12。
將直線l的參數(shù)方程代人,化簡(jiǎn)整理得(3cos'a+4sina)t+(6cosa+8sina)t-5=0。
設(shè)A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t,tz,由根與系數(shù)的關(guān)系可知十l=
三、忽視極角、參數(shù)的取值范圍
例了(2021年福建高三模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P(2,0)。以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。已知曲線C的極坐標(biāo)方程為p=2,Q(p,0)(0《0《n)為曲線C上的動(dòng)點(diǎn),M為PQ的中點(diǎn)。
(1)請(qǐng)求出點(diǎn)M的軌跡C的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(1,兀),若直線l經(jīng)過點(diǎn)A且與曲線C交于點(diǎn)E,F(xiàn),弦EF
錯(cuò)解:(1)由題意可得曲線C的直角坐標(biāo)方程為+y'=4,因?yàn)辄c(diǎn)Q(x,yo)在曲線C上,所以x+y=4。
設(shè)M(x,y),因?yàn)镸為PQ的中點(diǎn),
值范圍的關(guān)鍵是聯(lián)立直線l的參數(shù)方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程的基礎(chǔ)上,利用直線的參數(shù)方程的幾何意義并結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求解。錯(cuò)解中忽視了點(diǎn)Q(p,0)在極坐標(biāo)系中極角的范圍為0《0《,點(diǎn)Q(xo,yo)滿足x+y'=4(y》0)。直線l的參數(shù)方程中的
在處理坐標(biāo)系與參數(shù)方程問題中,除了本文所述的幾種易錯(cuò)問題,還包括審題不細(xì)、計(jì)算不準(zhǔn)、考慮問題不全等因素造成失分現(xiàn)象,但只要弄清楚錯(cuò)誤的根源,在以后解答問題時(shí),便可有效避錯(cuò)。(責(zé)任編輯王福華)