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    建模思想在變力沿直線做功中的應(yīng)用

    2021-07-15 18:42:55張宇姣
    錦繡·上旬刊 2021年9期
    關(guān)鍵詞:定積分數(shù)學(xué)

    張宇姣

    摘要:數(shù)學(xué)不僅在武器上有著廣泛的應(yīng)用,更是在軍事戰(zhàn)略上影響戰(zhàn)爭(zhēng)的發(fā)展。本文內(nèi)容將軍事背景中變力沿直線做功的實(shí)際應(yīng)用問題與高等數(shù)學(xué)中定積分建立了關(guān)系,主要介紹了定積分在軍事案例中的應(yīng)用——變力沿直線做功。突出了理論知識(shí)在軍事實(shí)踐中的應(yīng)用性,更培養(yǎng)了建模意識(shí),是學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)思維分析、解決軍事中的問題。

    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué);定積分;軍事案例;建模意識(shí)

    偉大的數(shù)學(xué)大師華羅庚曾說過:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之變,日用之繁,無處不用數(shù)學(xué)”,而微積分更是被譽(yù)為“人類精神的最高勝利”,微積分的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)上的偉大創(chuàng)造,它既來自理論科學(xué)和生產(chǎn)技術(shù),反之又推動(dòng)生產(chǎn)技術(shù)和科學(xué)的發(fā)展,與工程技術(shù)和日常生活有著密不可分的聯(lián)系??梢哉f,微積分發(fā)揮著文化和應(yīng)用功能,能夠著力培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)思維意識(shí)。而對(duì)于士官學(xué)員來說,還能夠形成忠誠(chéng)、堅(jiān)定、自信的意志品格,可以養(yǎng)成用數(shù)學(xué)思維思考問題的習(xí)慣,提高職業(yè)認(rèn)知軍事理論的能力。最終將微積分相關(guān)知識(shí)與軍事案例聯(lián)系上,用建模的方法解決好,達(dá)到學(xué)習(xí)目的。

    一、問題分析

    定積分的概念較為抽象,學(xué)生不易理解,利用定積分解決實(shí)際問題更加不易,具體到應(yīng)用定積分解決物理問題上,每個(gè)物理問題又對(duì)應(yīng)著不同的物理背景,不同的物理公式,這又增加了解決問題的難度,所以學(xué)生在這一部分知識(shí)的學(xué)習(xí)上會(huì)出現(xiàn)為難情緒。在教學(xué)中,結(jié)合學(xué)員實(shí)際崗位,從學(xué)員的實(shí)際認(rèn)知出發(fā),采用貼近學(xué)員專業(yè),貼近部隊(duì)背景的火箭發(fā)射問題,將微元法的思想運(yùn)用到火箭發(fā)射問題中,在學(xué)員已有認(rèn)知基礎(chǔ)上,層層引導(dǎo),在解決這一問題的基礎(chǔ)上總結(jié)出解決變力沿直線做功這一類問題的解決步驟。

    二、教學(xué)實(shí)施

    (1)情境設(shè)計(jì),提出問題

    “遂古之初,誰傳道之?上下未形,何由考之?”,兩千三百年前屈原作《天問》。2020年7月23日,我國(guó)火星探測(cè)器“天問一號(hào)”成功發(fā)射,開啟了深空探測(cè)的新篇章。從“嫦娥”到“天問”,中國(guó)的航天事業(yè)迅猛發(fā)展,“長(zhǎng)征”系列火箭功不可沒。為此,需考慮的一個(gè)基本問題是,“天問一號(hào)”和“嫦娥三號(hào)”需要多大的初速度才能擺脫地球的引力呢?

    (2)原理分析,明確方法

    火箭在上升過程中,當(dāng)助推器停止工作時(shí),主要是克服地球引力做功。如果能把火箭擺脫地球引力所需要的總功 求出,而這一總功是由火箭所獲得的動(dòng)能轉(zhuǎn)化而得,便可進(jìn)一步求出所需要的初速度 。因此,若想求出所需的初速度,重點(diǎn)要解決火箭上升克服地球引力所做的功的大小。

    建立如圖1所示坐標(biāo)系,從地面垂直向上發(fā)射質(zhì)量為 的火箭,當(dāng)火箭距離地面 時(shí),克服地球引力做的功 ,火箭從地面垂直向上發(fā)射過程中到每一點(diǎn) 所受的引力為 ,顯然火箭所受的引力是隨著位移的變化而變化的,因此這一個(gè)變力沿直線做功的問題。

    由物理學(xué)知道,如果物理在做直線運(yùn)動(dòng)過程中有一個(gè)不變的力 作用在這物體上,且這力的方向與物體的運(yùn)動(dòng)方向一致,那么,在物體移動(dòng)了距離 時(shí),力 對(duì)物體所做的功為 。

    如果物體在運(yùn)動(dòng)的過程中所受的力是變化的,則不能直接使用此公式,而采用“微元法”的思想,進(jìn)行變力沿直線做功的求解,如圖2所示。

    (3)問題探究,總結(jié)步驟

    “微元法”的思想:分割、代替、求和、取極限。但對(duì)于火箭升空問題是一個(gè)實(shí)際問題,如何將微元法與實(shí)際相結(jié)合,建立相關(guān)解決問題的模型是關(guān)鍵。

    微元法的第一步:分割。在實(shí)際問題中,分割的范圍怎樣得到?如何描述分割的始末位置?這需要借助數(shù)學(xué)上的工具——坐標(biāo)系,只需沿著運(yùn)動(dòng)所在的軌跡,結(jié)合實(shí)際情況建立坐標(biāo)系,即可得到分割的范圍,同時(shí)也能得到定積分上下限( ),即為運(yùn)動(dòng)的始末位置,則可實(shí)現(xiàn)微元法的第一步。微元法的第二步:代替。在實(shí)際問題中,對(duì)于分割好的每個(gè)小區(qū)間,將采用以直代曲,以不變代變?yōu)樵瓌t進(jìn)行近似代替,即可得到每個(gè)小區(qū)間的功微元( )。微元法的第三、四步:求和和取極限。也就是在確定的范圍內(nèi)對(duì)所求微元累加求和,也就是對(duì)得到的功微元在a到b內(nèi)求積分,我們可以簡(jiǎn)稱為求積分( )。

    對(duì)于以上過程,建立其模型可為:建坐標(biāo)→定區(qū)間→求微元→求積分。

    (4)問題解決,回扣引例

    根據(jù)總結(jié)的步驟,“天問一號(hào)”和“嫦娥三號(hào)”擺脫地球的引力為:

    1.建坐標(biāo)。建立如圖1所示坐標(biāo)系。

    2.定區(qū)間。確定上、下限 。

    3.求微元。根據(jù)物理公式,建立所求功的微元。

    4.求積分。對(duì)所求功的微元在 內(nèi)積分。

    即可得到克服地球引力做功。

    此應(yīng)用知識(shí)從實(shí)際問題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)問題并建立模型的過程就是數(shù)學(xué)建模。在解決軍事問題中潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生建模能力,提高了其應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。不僅如此,建立的模型也可使用與更多,更廣泛類似問題的求解,可謂一型多用。

    三、教學(xué)總結(jié)

    數(shù)學(xué)問題的解決不僅是答案的求解,更能解決生活中的一些實(shí)際問題,因?yàn)閿?shù)學(xué)源于生活,更能在軍事案例中找到數(shù)學(xué)的身影。學(xué)生在針對(duì)一些抽象問題,可以通過數(shù)學(xué)建模的方式解決實(shí)際問題,不僅便于理解找到答案,更能培養(yǎng)建模思想,提高綜合能力。

    (火箭軍士官學(xué)校)

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