建模思想在變力沿直線做功中的應(yīng)用

張宇姣

摘要：數(shù)學(xué)不僅在武器上有著廣泛的應(yīng)用，更是在軍事戰(zhàn)略上影響戰(zhàn)爭(zhēng)的發(fā)展。本文內(nèi)容將軍事背景中變力沿直線做功的實(shí)際應(yīng)用問題與高等數(shù)學(xué)中定積分建立了關(guān)系，主要介紹了定積分在軍事案例中的應(yīng)用——變力沿直線做功。突出了理論知識(shí)在軍事實(shí)踐中的應(yīng)用性，更培養(yǎng)了建模意識(shí)，是學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)思維分析、解決軍事中的問題。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué);定積分;軍事案例;建模意識(shí)

偉大的數(shù)學(xué)大師華羅庚曾說過：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)”，而微積分更是被譽(yù)為“人類精神的最高勝利”，微積分的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)上的偉大創(chuàng)造，它既來自理論科學(xué)和生產(chǎn)技術(shù)，反之又推動(dòng)生產(chǎn)技術(shù)和科學(xué)的發(fā)展，與工程技術(shù)和日常生活有著密不可分的聯(lián)系?？梢哉f，微積分發(fā)揮著文化和應(yīng)用功能，能夠著力培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)思維意識(shí)。而對(duì)于士官學(xué)員來說，還能夠形成忠誠(chéng)、堅(jiān)定、自信的意志品格，可以養(yǎng)成用數(shù)學(xué)思維思考問題的習(xí)慣，提高職業(yè)認(rèn)知軍事理論的能力。最終將微積分相關(guān)知識(shí)與軍事案例聯(lián)系上，用建模的方法解決好，達(dá)到學(xué)習(xí)目的。

一、問題分析

定積分的概念較為抽象，學(xué)生不易理解，利用定積分解決實(shí)際問題更加不易，具體到應(yīng)用定積分解決物理問題上，每個(gè)物理問題又對(duì)應(yīng)著不同的物理背景，不同的物理公式，這又增加了解決問題的難度，所以學(xué)生在這一部分知識(shí)的學(xué)習(xí)上會(huì)出現(xiàn)為難情緒。在教學(xué)中，結(jié)合學(xué)員實(shí)際崗位，從學(xué)員的實(shí)際認(rèn)知出發(fā)，采用貼近學(xué)員專業(yè)，貼近部隊(duì)背景的火箭發(fā)射問題，將微元法的思想運(yùn)用到火箭發(fā)射問題中，在學(xué)員已有認(rèn)知基礎(chǔ)上，層層引導(dǎo)，在解決這一問題的基礎(chǔ)上總結(jié)出解決變力沿直線做功這一類問題的解決步驟。

二、教學(xué)實(shí)施

（1）情境設(shè)計(jì)，提出問題

“遂古之初，誰傳道之？上下未形，何由考之？”，兩千三百年前屈原作《天問》。2020年7月23日，我國(guó)火星探測(cè)器“天問一號(hào)”成功發(fā)射，開啟了深空探測(cè)的新篇章。從“嫦娥”到“天問”，中國(guó)的航天事業(yè)迅猛發(fā)展，“長(zhǎng)征”系列火箭功不可沒。為此，需考慮的一個(gè)基本問題是，“天問一號(hào)”和“嫦娥三號(hào)”需要多大的初速度才能擺脫地球的引力呢？

（2）原理分析，明確方法

火箭在上升過程中，當(dāng)助推器停止工作時(shí)，主要是克服地球引力做功。如果能把火箭擺脫地球引力所需要的總功 求出，而這一總功是由火箭所獲得的動(dòng)能轉(zhuǎn)化而得，便可進(jìn)一步求出所需要的初速度 。因此，若想求出所需的初速度，重點(diǎn)要解決火箭上升克服地球引力所做的功的大小。

建立如圖1所示坐標(biāo)系，從地面垂直向上發(fā)射質(zhì)量為 的火箭，當(dāng)火箭距離地面 時(shí)，克服地球引力做的功 ，火箭從地面垂直向上發(fā)射過程中到每一點(diǎn) 所受的引力為 ，顯然火箭所受的引力是隨著位移的變化而變化的，因此這一個(gè)變力沿直線做功的問題。

由物理學(xué)知道，如果物理在做直線運(yùn)動(dòng)過程中有一個(gè)不變的力 作用在這物體上，且這力的方向與物體的運(yùn)動(dòng)方向一致，那么，在物體移動(dòng)了距離 時(shí)，力 對(duì)物體所做的功為 。

如果物體在運(yùn)動(dòng)的過程中所受的力是變化的，則不能直接使用此公式，而采用“微元法”的思想，進(jìn)行變力沿直線做功的求解，如圖2所示。

（3）問題探究，總結(jié)步驟

“微元法”的思想：分割、代替、求和、取極限。但對(duì)于火箭升空問題是一個(gè)實(shí)際問題，如何將微元法與實(shí)際相結(jié)合，建立相關(guān)解決問題的模型是關(guān)鍵。

微元法的第一步：分割。在實(shí)際問題中，分割的范圍怎樣得到？如何描述分割的始末位置？這需要借助數(shù)學(xué)上的工具——坐標(biāo)系，只需沿著運(yùn)動(dòng)所在的軌跡，結(jié)合實(shí)際情況建立坐標(biāo)系，即可得到分割的范圍，同時(shí)也能得到定積分上下限（ ），即為運(yùn)動(dòng)的始末位置，則可實(shí)現(xiàn)微元法的第一步。微元法的第二步：代替。在實(shí)際問題中，對(duì)于分割好的每個(gè)小區(qū)間，將采用以直代曲，以不變代變?yōu)樵瓌t進(jìn)行近似代替，即可得到每個(gè)小區(qū)間的功微元（ ）。微元法的第三、四步：求和和取極限。也就是在確定的范圍內(nèi)對(duì)所求微元累加求和，也就是對(duì)得到的功微元在a到b內(nèi)求積分，我們可以簡(jiǎn)稱為求積分（ ）。

對(duì)于以上過程，建立其模型可為：建坐標(biāo)→定區(qū)間→求微元→求積分。

（4）問題解決，回扣引例

根據(jù)總結(jié)的步驟，“天問一號(hào)”和“嫦娥三號(hào)”擺脫地球的引力為：

1.建坐標(biāo)。建立如圖1所示坐標(biāo)系。

2.定區(qū)間。確定上、下限 。

3.求微元。根據(jù)物理公式，建立所求功的微元。

4.求積分。對(duì)所求功的微元在 內(nèi)積分。

即可得到克服地球引力做功。

此應(yīng)用知識(shí)從實(shí)際問題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)問題并建立模型的過程就是數(shù)學(xué)建模。在解決軍事問題中潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生建模能力，提高了其應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。不僅如此，建立的模型也可使用與更多，更廣泛類似問題的求解，可謂一型多用。

三、教學(xué)總結(jié)

數(shù)學(xué)問題的解決不僅是答案的求解，更能解決生活中的一些實(shí)際問題，因?yàn)閿?shù)學(xué)源于生活，更能在軍事案例中找到數(shù)學(xué)的身影。學(xué)生在針對(duì)一些抽象問題，可以通過數(shù)學(xué)建模的方式解決實(shí)際問題，不僅便于理解找到答案，更能培養(yǎng)建模思想，提高綜合能力。

（火箭軍士官學(xué)校）