用樣本空間刻畫隨機(jī)現(xiàn)象定義隨機(jī)事件的概率發(fā)展學(xué)生的隨機(jī)觀念

程海奎 章建躍

(1.河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院050024；2.人民教育出版社 課程教材研究所100081)

概率課程承擔(dān)的主要育人任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生分析隨機(jī)現(xiàn)象的能力.通過對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象(主要是古典概型)的分析，在構(gòu)建研究隨機(jī)現(xiàn)象的路徑、抽象概率的研究對(duì)象、建立概率的基本概念、發(fā)現(xiàn)和提出概率的性質(zhì)、探索和形成研究具體隨機(jī)現(xiàn)象的思路和方法、應(yīng)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的過程中，幫助學(xué)生逐步形成認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象的思維模式，促使學(xué)生學(xué)會(huì)辯證地思考問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理以及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

1 課程定位

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，本單元學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)生結(jié)合具體實(shí)例，理解樣本點(diǎn)、有限樣本空間、隨機(jī)事件等概念；通過計(jì)算古典概型中簡單隨機(jī)事件的概率，加深對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)和理解；通過解決一些簡單的實(shí)際問題，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

課程標(biāo)準(zhǔn)首次引入樣本點(diǎn)和有限樣本空間的概念，為用數(shù)學(xué)語言描述隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)事件提供了工具.課程標(biāo)準(zhǔn)提出，本單元主要研究有限個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象，強(qiáng)調(diào)應(yīng)通過古典概型，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)樣本空間，理解隨機(jī)事件發(fā)生的含義以及概率的意義.

2 課程標(biāo)準(zhǔn)提出的內(nèi)容與要求

2.1 隨機(jī)事件與概率

(1)結(jié)合具體實(shí)例，理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義，理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系.了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義，能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算.

(2)結(jié)合具體實(shí)例，理解古典概型，能計(jì)算古典概型中簡單隨機(jī)事件的概率.

(3)通過實(shí)例，理解概率的性質(zhì)，掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則.

(4)結(jié)合實(shí)例，會(huì)用頻率估計(jì)概率.

2.2 隨機(jī)事件的獨(dú)立性

結(jié)合有限樣本空間，了解兩個(gè)隨機(jī)事件獨(dú)立性的含義.結(jié)合古典概型，利用獨(dú)立性計(jì)算概率.

課程標(biāo)準(zhǔn)提出的上述內(nèi)容和要求，實(shí)際上也給出了研究概率的基本路徑：

首先，通過具體實(shí)例抽象出樣本點(diǎn)、樣本空間的概念，并將樣本空間的子集定義為隨機(jī)事件，再利用集合的關(guān)系和運(yùn)算研究事件的關(guān)系和運(yùn)算，從而為概率的定義準(zhǔn)備好數(shù)學(xué)工具.

然后，按照“概率的事實(shí)(隨機(jī)現(xiàn)象)——古典概型的特征、定義及計(jì)算——概率的基本性質(zhì)——頻率的穩(wěn)定性、隨機(jī)模擬——事件的特殊關(guān)系(獨(dú)立性)、利用獨(dú)立性簡化概率計(jì)算”的路徑展開對(duì)概率的研究.

3 本單元的認(rèn)知基礎(chǔ)分析

概率的研究對(duì)象是隨機(jī)現(xiàn)象，這對(duì)學(xué)生來說比較陌生，但概率的結(jié)論是確定的，所以，研究確定性現(xiàn)象的一般方法同樣適用于概率的研究.例如，類比研究函數(shù)的一般路徑，可以構(gòu)建研究本單元的整體架構(gòu).

另外，等可能條件下求隨機(jī)事件的概率、頻率估計(jì)概率等知識(shí)，學(xué)生在初中已有初步認(rèn)識(shí).集合的概念與集合的關(guān)系和運(yùn)算，為描述隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型——樣本空間、隨機(jī)事件、事件的關(guān)系和運(yùn)算提供了必要的認(rèn)知基礎(chǔ).

4 核心內(nèi)容的理解與教學(xué)思考

本單元的核心內(nèi)容包括：預(yù)備知識(shí)、古典概型、概率的基本性質(zhì)、事件的獨(dú)立性、頻率與概率的關(guān)系.下面從內(nèi)容本質(zhì)的分析入手討論這些內(nèi)容的育人價(jià)值以及教學(xué)中需要注意的問題.

4.1 預(yù)備知識(shí)

4.1.1 隨機(jī)現(xiàn)象、樣本點(diǎn)、有限樣本空間的概念抽象

隨機(jī)現(xiàn)象是指在一定條件下不能事先預(yù)知結(jié)果，一次觀測結(jié)果的發(fā)生具有隨機(jī)性，大量重復(fù)觀測下各個(gè)結(jié)果發(fā)生的頻率都具有穩(wěn)定性的現(xiàn)象.

面對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象，我們首先通過觀察隨機(jī)現(xiàn)象(隨機(jī)試驗(yàn))的所有可能結(jié)果，并用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示結(jié)果；再將所有可能結(jié)果看成一個(gè)集合，從而構(gòu)建起試驗(yàn)的樣本空間；然后根據(jù)隨機(jī)事件發(fā)生的意義，定義隨機(jī)事件是樣本空間的子集.

樣本點(diǎn)是隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果，樣本空間是全體樣本點(diǎn)的集合.樣本點(diǎn)的概念是描述性的，在具體的隨機(jī)試驗(yàn)中，如何確定樣本點(diǎn)，遵循的原則是：(1)樣本點(diǎn)不能再細(xì)分；(2)如果是古典概型問題，則要保證各樣本點(diǎn)是等可能發(fā)生的，便于確定事件的概率.

例如，拋擲一對(duì)骰子，看成有6×6=36個(gè)樣本點(diǎn)，每個(gè)樣本點(diǎn)用有序數(shù)對(duì)表示，建立樣本空間Ω={(m,n)|m,n=1,2,3,4,5,6}，在這個(gè)樣本空間中，所有的事件的概率都可以確定.如果要求“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和為5”的概率，把“點(diǎn)數(shù)之和為k”(k=2,3,…,12)看成樣本點(diǎn)，樣本空間為Ω={2，…，12}，這對(duì)確定事件的概率沒有任何作用.

對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)，用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示試驗(yàn)的樣本點(diǎn)、列舉樣本空間，既是重點(diǎn)也是難點(diǎn).不同的隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間的復(fù)雜性有很大的差別.在教學(xué)中應(yīng)從最簡單的試驗(yàn)開始(例如，拋擲一枚硬幣，拋擲一枚骰子，拋擲兩枚硬幣等等)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷用語言描述試驗(yàn)的基本結(jié)果，并用符號(hào)表示，進(jìn)而思考更簡潔的表示等過程，同時(shí)要提醒學(xué)生考慮等可能性.

例如，列舉“拋擲兩枚硬幣”試驗(yàn)的樣本空間.

語言描述：兩個(gè)正面朝上，兩個(gè)反面朝上，一個(gè)正面朝上一個(gè)反面朝上，但這3個(gè)結(jié)果不是等可能的.借助樹狀圖，容易看出只有看成4個(gè)樣本點(diǎn)時(shí)，才是等可能的.

字母表示：用h表示正面朝上，用t表示反面朝上，樣本空間包含4個(gè)等可能的樣本點(diǎn)：tt,th,ht,hh.

數(shù)對(duì)(串)表示：用1表示正面朝上，用0表示反面朝上，樣本空間包含4個(gè)數(shù)對(duì)或數(shù)字串Ω={00,01,10,11}.

把簡單的問題看透了，對(duì)于較復(fù)雜的試驗(yàn)，按模型歸類，就可以化復(fù)雜為簡單.例如：

擲一枚硬幣，觀察新生兒性別，射擊命中與否，產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)是正品還是次品等，這些試驗(yàn)的樣本空間具有相同的結(jié)構(gòu)；

拋擲3枚硬幣，拋擲3次骰子，觀察三個(gè)元件構(gòu)成電路是否通暢等，都是3次重復(fù)試驗(yàn)的問題，類似的可以得出n次重復(fù)試驗(yàn)的模型.

相同結(jié)構(gòu)的樣本空間要關(guān)注樣本點(diǎn)是否等可能.

重復(fù)擲硬幣、擲骰子、生日問題、放球入盒問題、兩人比賽問題都可以化為有放回摸球問題；抽簽問題、隨機(jī)抽樣問題等都可以化為不放回摸球問題.

這里還可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：對(duì)有兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)，為什么選擇用“0”和“1”表示？

對(duì)于只有兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)(伯努利試驗(yàn))，選擇任意兩個(gè)不同的字母或數(shù)字都可以描述試驗(yàn)的結(jié)果，但采用0和1表示試驗(yàn)的結(jié)果不僅僅是追求簡潔，而且有其實(shí)際意義，會(huì)給后續(xù)研究帶來極大的方便.

4.1.2 隨機(jī)事件概念的抽象

初中的概率中將隨機(jī)事件描述為“在一定的條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事情”，有了樣本空間的概念后，隨機(jī)事件可以用樣本空間的子集表示.從語言描述到樣本空間的子集表示，思維跳躍很大，抽象度高.如何使學(xué)生理解“隨機(jī)事件”的數(shù)學(xué)描述？關(guān)鍵是結(jié)合簡單的隨機(jī)試驗(yàn)，理解事件發(fā)生的含義是什么.例如，擲一枚骰子，事件“擲出的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”發(fā)生的意義是什么？彩票搖獎(jiǎng)，事件“搖出的球的號(hào)碼是3的倍數(shù)”發(fā)生的意義是什么？通過歸納，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事件的發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)滿足某種條件的樣本點(diǎn)出現(xiàn)，所以事件可用樣本空間的子集表示.

事件A是樣本空間的子集，事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A中的某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn).這對(duì)理解空集是不可能事件，Ω是必然事件，以及理解事件的關(guān)系和運(yùn)算的意義至關(guān)重要.

4.1.3 事件的關(guān)系與運(yùn)算的意義

事件是樣本空間的子集，類比集合的關(guān)系和運(yùn)算，可以發(fā)現(xiàn)和提出研究事件的關(guān)系和運(yùn)算的問題.這里要以簡單的隨機(jī)試驗(yàn)為例，由特殊到一般給出事件之間的包含、互斥、互相對(duì)立的含義，以及事件的并、交運(yùn)算的含義.還可以從集合論角度，根據(jù)事件發(fā)生的意義來認(rèn)識(shí).

例如，兩個(gè)事件的并事件的意義：兩個(gè)事件A和B的并集A∪B仍然是Ω的子集，它是隨機(jī)事件.A∪B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生或B發(fā)生，或者說A和B至少一個(gè)發(fā)生.

用簡單事件的運(yùn)算表示復(fù)雜事件，是概率學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，采用不同的語言轉(zhuǎn)換，通過多種不同的方法，可有效地突破這一難點(diǎn).

例1設(shè)計(jì)考察 “兩個(gè)元件組成的并聯(lián)電路的工作狀態(tài)”的簡單問題情境，抽象出樣本點(diǎn)、樣本空間，并研究事件的關(guān)系及運(yùn)算.這個(gè)問題情境簡單但內(nèi)涵豐富，可以讓學(xué)生思考很多問題，例如：

(1)“電路的工作狀態(tài)”的含義是什么？

(2)如何表示這一隨機(jī)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)？樣本空間含有哪些樣本點(diǎn)？

(3)如何用不同的語言表述基本事件？

(5)如何從基本事件出發(fā)構(gòu)建隨機(jī)事件？如何用集合的關(guān)系表示所列事件的關(guān)系？如何用事件的運(yùn)算得到新的事件？等等.

例2設(shè)A，B是兩個(gè)事件，如圖1所示，如果A，B將樣本空間分割為四部分，則

圖1

(2)“A和B同時(shí)發(fā)生”=AB；

由此得

(1)根據(jù)事件的關(guān)系與運(yùn)算的意義理解.事件A和B至少一個(gè)發(fā)生的對(duì)立事件為兩個(gè)事件都不發(fā)生.

(2)結(jié)合并聯(lián)(串聯(lián))電路(圖2)是否是通路來認(rèn)識(shí).

圖2

“電路是通路”與“電路不通”是互為對(duì)立事件.

(3)借助Venn圖理解(參見例2).

(4)通過兩個(gè)集合互相包含進(jìn)行嚴(yán)格證明(不要求).

4.2 概率的古典定義

4.2.1 概率定義的嚴(yán)謹(jǐn)化過程

4.2.2 概率的定義

對(duì)于有限樣本空間，概率的公理化結(jié)構(gòu)為：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為Ω，隨機(jī)事件是樣本空間的子集，所有事件構(gòu)成的集類F稱為事件域，定義在事件域F上的“集合函數(shù)”P稱為概率，如果滿足如下三個(gè)條件：

①非負(fù)性：P(A)≥0;

②規(guī)范性：P(Ω)=1；

③可加性：如果A，B∈F，且A∩B=?，則P(A∪B)=P(A)+P(B).

對(duì)每個(gè)事件A按照某種規(guī)則賦予一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，滿足①②③，稱P(A)為A的概率.

在公理化定義中，把①②③作為公理，概率的其他性質(zhì)均由這三條公理推出.

概率的公理化定義是高度抽象的，這對(duì)深刻理解問題本質(zhì)是重要的，但它是以舍棄直觀為代價(jià)的.因?yàn)樵诟咧须A段不要求學(xué)生了解概率的公理化定義，所以教科書以日常生活中對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生可能性的定性陳述為基礎(chǔ)，結(jié)合所有樣本點(diǎn)的等可能性特點(diǎn)，給出古典概率定義：

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E有n個(gè)可能結(jié)果，且它們是等可能發(fā)生的，樣本空間Ω包含n個(gè)等可能的樣本點(diǎn).如果事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率為

其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).

這是基于經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)抽象.抽象試驗(yàn)的關(guān)鍵特征，建立概率的理論模型，計(jì)算隨機(jī)事件的概率，是概率的重要研究方法之一，其重點(diǎn)是理解定義的合理性，只有滿足所有樣本點(diǎn)都是等可能發(fā)生這一條件，才能定義古典概型中隨機(jī)事件發(fā)生的概率.這個(gè)定義既給出了概率的算法(對(duì)應(yīng)規(guī)則)，也符合概率的公理化定義的要求.

4.2.3 用古典概型解決問題中要注意的問題

在解決具體問題時(shí)，判斷樣本點(diǎn)是否等可能發(fā)生是難點(diǎn).可以從以下兩個(gè)方面考慮：

(1)根據(jù)問題表述中所含的信息進(jìn)行判斷.例如，拋擲“質(zhì)地均勻”的硬幣，拋擲一枚“質(zhì)地均勻”的骰子，從n個(gè)“大小質(zhì)地完全相同”的球中隨機(jī)摸出一個(gè)球等，這樣的表述本身就暗含了基本結(jié)果的等可能性.

(2)對(duì)有些試驗(yàn)，為建立理論模型，等可能性是一種假定.例如，假定生男孩和生女孩是等可能的；隨機(jī)調(diào)查一個(gè)人的出生月份，假定出生在每個(gè)月份是等可能的.

對(duì)于兩次或多次重復(fù)試驗(yàn)，利用二維表或樹狀圖表示試驗(yàn)的所有結(jié)果，也有利于對(duì)樣本點(diǎn)等可能性的判斷.對(duì)于“等可能性”，教學(xué)中必須給予足夠的重視，要通過具體實(shí)例加強(qiáng)辨析.

因?yàn)楣诺涓判褪亲詈唵蔚母怕誓Ｐ?，便于解釋相關(guān)概念，有利于學(xué)生體會(huì)概率的意義，為研究概率的基本性質(zhì)提供了一個(gè)具體的案例支撐，建立事件的獨(dú)立性、條件概率等重要概念，也都是以古典概型為背景的，所以教學(xué)中一定要注意發(fā)揮古典概型的直觀示例作用，引導(dǎo)學(xué)生借助古典概型，從特殊到一般地理解概率的概念，得出概率的非負(fù)性、規(guī)范性、可加性、單調(diào)性、加法公式等性質(zhì)，理解事件的獨(dú)立性、條件概率等重要概念等等.

4.3 概率的基本性質(zhì)

給出了一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的定義，就可以從定義出發(fā)研究這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì).例如，在給出指數(shù)函數(shù)的定義后，我們從定義出發(fā)研究了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、特殊點(diǎn)的函數(shù)值等性質(zhì)，這些性質(zhì)在解決問題時(shí)可以發(fā)揮很大的作用.因此，在給出了概率的定義后，就要進(jìn)一步地研究概率的基本性質(zhì).

4.3.1 從哪些角度研究概率的性質(zhì)

我們可以從以下角度進(jìn)行思考：

(1)基于直觀經(jīng)驗(yàn).例如，必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，取值范圍為[0,1]等.

(2)類比函數(shù)的性質(zhì).因?yàn)楦怕适且粋€(gè)映射，是自變量為集合的一種“集函數(shù)”，所以可以類比函數(shù)的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)和提出概率的性質(zhì).例如，類比函數(shù)的值域、特殊值、單調(diào)性等，可以從概率的取值范圍，必然事件、不可能事件等特殊事件的概率，概率的單調(diào)性等角度研究概率的性質(zhì).

(3)類比度量性質(zhì).因?yàn)楦怕适菍?duì)事件發(fā)生可能性大小的一種度量，所以可以通過類比幾何的度量性質(zhì)提出問題，例如類比幾何度量的可加性研究概率的可加性.

4.3.2 用什么方法研究概率的性質(zhì)

可采用歸納推理和演繹推理相結(jié)合的方法研究性質(zhì).例如：具有某種特定關(guān)系的兩個(gè)事件的概率一定具有確定的關(guān)系.下面以互斥事件為例進(jìn)行說明.

(1)設(shè)A，B是兩個(gè)互斥事件，通過具體實(shí)例容易發(fā)現(xiàn)n(A∪B)=n(A)+n(B)，這是因?yàn)槭录嗀和事件B不含有相同的樣本點(diǎn).根據(jù)定義，可以推出

P(A∪B)=P(A)+P(B)，

這就是互斥事件的概率加法公式，這是一條非常有用的概率性質(zhì).

(2)進(jìn)一步地，將加法公式推廣到一般情形也成立，即

如果事件A1，A2，…，Am兩兩互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am發(fā)生的概率等于這m個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即

P(A1∪A2∪…∪Am)

=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).

(3)再進(jìn)行特殊化，當(dāng)A∪B=Ω，即當(dāng)事件A和事件B互斥時(shí)，有1=P(A∪B)=P(A)+P(B).于是又有：

如果事件A與B互為對(duì)立事件，則P(B)=1-P(A),或P(A)=1-P(B).

(4)我們還可以利用對(duì)立事件將事件“分解”為互斥事件，再利用互斥事件的概率性質(zhì)進(jìn)行概率計(jì)算：

總之，從概率的定義出發(fā)，類比函數(shù)的性質(zhì)、度量的性質(zhì)，以及聯(lián)系事件的關(guān)系和運(yùn)算，可以獲得概率的性質(zhì)的研究思路，找到探索概率性質(zhì)的方法.只要我們?cè)诮虒W(xué)中加強(qiáng)引導(dǎo)，學(xué)生就一定能通過獨(dú)立思考、自主探究，得出概率的這些性質(zhì).

4.4 事件的獨(dú)立性

事件的獨(dú)立性，試驗(yàn)的獨(dú)立性，隨機(jī)變量的獨(dú)立性，這些都是概率論的重要概念，具有重要的作用.高中階段主要討論兩個(gè)事件的獨(dú)立性.

兩個(gè)事件獨(dú)立的直觀意義為：無論其中一個(gè)事件發(fā)生與否都不影響另一個(gè)事件發(fā)生的概率.理論上，獨(dú)立性與條件概率有密切聯(lián)系，但課程標(biāo)準(zhǔn)將隨機(jī)事件的獨(dú)立性放在必修，而將條件概率安排在選擇性必修，這就意味著要不借助于條件概率理解隨機(jī)事件的獨(dú)立性.如何落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“結(jié)合有限樣本空間，了解兩個(gè)隨機(jī)事件獨(dú)立性的含義”的要求呢？

4.4.1 兩個(gè)事件獨(dú)立性的教科書設(shè)計(jì)

人教A版對(duì)兩個(gè)事件獨(dú)立性概念設(shè)計(jì)了如下路徑：

第一步，分析有放回和不放回摸球試驗(yàn)，直觀認(rèn)識(shí)事件獨(dú)立性的意義；

第二步，通過計(jì)算相關(guān)概率，發(fā)現(xiàn)規(guī)律；

第三步，抽象概括事件獨(dú)立性的定義，進(jìn)行概念的辨析；

第四步，結(jié)合古典概型，利用獨(dú)立性計(jì)算概率.

下面舉一個(gè)例子：

袋子中有3個(gè)紅球(標(biāo)號(hào)為1, 2, 3)2個(gè)白球(標(biāo)號(hào)為4, 5), 從中隨機(jī)摸球2次.設(shè)事件A=“第一次摸到紅球”，B=“第二次摸到紅球”.

(1)直觀判斷：有放回方式摸球，事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率，A和B獨(dú)立；不放回方式摸球，事件A發(fā)生與否會(huì)影響事件B發(fā)生的概率，A和B不獨(dú)立.

(2)兩種摸球方式下分別計(jì)算P(A),P(B)和P(AB)，它們之間有怎樣的關(guān)系？

=P(A)P(B)；

=P(A)P(B).

(3)從特殊到一般，抽象出兩個(gè)事件獨(dú)立性的概念：

對(duì)于同一個(gè)試驗(yàn)中的兩個(gè)隨機(jī)事件A和B，如果P(AB)=P(A)P(B)，則稱A和B相互獨(dú)立，簡稱獨(dú)立.

為了概念的完備性，我們還需要討論一些特殊情形.直觀上，必然事件總會(huì)發(fā)生，它不影響任何事件發(fā)生的概率，所以必然事件和任意事件相互獨(dú)立，從定義驗(yàn)證也正確. 同樣地，不可能事件和任意事件獨(dú)立.

(4)概念的辨析：事件的互斥與事件的獨(dú)立的關(guān)系.

不同于事件的互斥、互相對(duì)立，兩個(gè)事件的獨(dú)立性要借助于概率來定義.兩個(gè)事件互斥，是指它們不能同時(shí)發(fā)生，當(dāng)事件A和事件B的概率都大于0時(shí)，如果已知事件A發(fā)生，那么事件B一定不發(fā)生，所以A和B不可能獨(dú)立；反之，如果A和B不獨(dú)立，那么積事件的概率不為0，所以A和B不互斥.只有當(dāng)其中一個(gè)事件為不可能事件時(shí)，兩個(gè)事件才能既互斥又獨(dú)立.

4.4.2 獨(dú)立性概念的拓展

后續(xù)的概率學(xué)習(xí)會(huì)用到三個(gè)或以上事件的獨(dú)立性、兩個(gè)或多個(gè)試驗(yàn)的獨(dú)立性、兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性.在高中，不要求對(duì)這些概念進(jìn)行嚴(yán)格定義，只要求會(huì)直觀描述和進(jìn)行判斷即可.那么，該如何描述呢？

對(duì)于三個(gè)事件相互獨(dú)立的定義，自然想到如下兩種方式：

方式一：對(duì)任意的三個(gè)事件A,B,C，如果

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

(1)

成立，則稱事件A,B,C相互獨(dú)立.

方式二：如果事件A,B,C兩兩獨(dú)立，則三個(gè)事件A,B,C相互獨(dú)立.

從直觀意義看，如果三個(gè)事件A,B,C相互獨(dú)立，它們應(yīng)該兩兩獨(dú)立，即有

(2)

但是我們可以舉出(2)式成立但(1)式不成立的反例，也可以舉出(1)式成立但(2)式不成立的反例.通過上面的分析，看來這兩種定義的方式都不合理.實(shí)際上，將方式一和方式二相結(jié)合，可以得到三個(gè)事件相互獨(dú)立的定義：對(duì)任意的三個(gè)事件A,B,C，如果(1)式和(2)式同時(shí)成立，則稱事件A,B,C相互獨(dú)立.

定義3個(gè)事件的獨(dú)立需要4個(gè)等式同時(shí)成立，直接推廣，定義n個(gè)事件獨(dú)立需要2n-n-1個(gè)等式同時(shí)成立.

隨機(jī)試驗(yàn)的獨(dú)立性直觀描述為各次試驗(yàn)的結(jié)果之間互相不受影響；兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性直觀描述為其中一個(gè)變量取任何值都不影響另一個(gè)變量的分布.

4.5 頻率穩(wěn)定到概率的教學(xué)

4.5.1 頻率穩(wěn)定性的地位與作用

頻率的穩(wěn)定性是概率論的理論基礎(chǔ)，在概率論中具有重要的地位和作用.具體表現(xiàn)在：

(1)由頻率的穩(wěn)定性表明，事件發(fā)生的可能性大小是客觀存在的，是可以度量的；

(2)大量隨機(jī)事件的概率是用頻率來估計(jì)的；

(3)只有理解了頻率與概率的關(guān)系，才能更好地理解概率的意義；

(4)在概率的研究中，我們可以通過重復(fù)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而建立理論模型，也可以用頻率來驗(yàn)證理論模型是否合理；

(5)樣本均值與隨機(jī)變量的期望之間的關(guān)系，正態(tài)分布模型的建立，獨(dú)立性假設(shè)檢驗(yàn)，都是以頻率的穩(wěn)定性為理論依據(jù).

4.5.2 頻率穩(wěn)定性的教學(xué)

通過初中的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)頻率穩(wěn)定到概率已有粗淺的認(rèn)識(shí).對(duì)頻率的穩(wěn)定性，直觀描述有一定的難度，而嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達(dá)是大數(shù)定律的內(nèi)容，又超出了高中生的認(rèn)知水平.那么應(yīng)該采用什么教學(xué)策略使學(xué)生能夠有進(jìn)一步較深刻的理解呢？下面給出一種教學(xué)設(shè)計(jì)的思路：

第一步，設(shè)計(jì)一個(gè)學(xué)生能操作的隨機(jī)試驗(yàn)(例如擲兩枚硬幣的試驗(yàn))，先讓學(xué)生根據(jù)古典概型求事件A的概率；

第二步，每位同學(xué)獨(dú)立做相同次數(shù)的試驗(yàn)，得出相應(yīng)的頻率，再讓學(xué)生進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)試驗(yàn)次數(shù)相同但頻率不同，從中感受頻率的隨機(jī)性；

第三步，逐步將試驗(yàn)結(jié)果按2人一組、4人一組……進(jìn)行合并，相當(dāng)于增加試驗(yàn)次數(shù)，在合并的過程中讓學(xué)生比較頻率的波動(dòng)情況，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律；

第四步，利用計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)，通過數(shù)據(jù)分析、直觀表示及觀察，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步驗(yàn)證自己的發(fā)現(xiàn).

通過以上教學(xué)，要使學(xué)生認(rèn)識(shí)到：

(1)頻率具有隨機(jī)性，即使相同次數(shù)的試驗(yàn)，頻率未必完全相同；

(2)頻率圍繞著概率波動(dòng)；

(3)試驗(yàn)次數(shù)增大時(shí)，頻率波動(dòng)的幅度減小.

在學(xué)生對(duì)頻率與概率的關(guān)系有了基本理解后，再通過解決實(shí)際問題，并利用計(jì)算機(jī)模擬復(fù)雜試驗(yàn)，從中體會(huì)試驗(yàn)次數(shù)對(duì)估計(jì)精度的影響，理解用頻率估計(jì)概率的合理性.

例在一次奧運(yùn)會(huì)男子羽毛球比賽中，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行決賽.根據(jù)以往的比賽記錄，發(fā)現(xiàn)每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4.試?yán)糜?jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)，估計(jì)甲獲得冠軍的概率.

(1)簡化試驗(yàn)：羽毛球比賽的規(guī)則是3局2勝制.甲獲得冠軍的可能結(jié)果是甲先勝2局，或者前2局1∶1平，第3局甲勝.為了便于計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)，設(shè)事件B表示“甲獲得冠軍”，則P(B)與打滿3局，甲勝2局或3局的概率相同(先認(rèn)可結(jié)論).

(2)利用隨機(jī)函數(shù)模擬一局比賽的結(jié)果.

單局比賽甲獲勝的概率為0.6，利用隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生1—5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)奇數(shù)時(shí)表示甲勝.在A1, B1, C1單元格鍵入=RANDBETWEEN(1, 5)，得到一組3個(gè)隨機(jī)數(shù).如果這組有2個(gè)或3個(gè)奇數(shù)時(shí)，表示事件B發(fā)生，即甲獲得冠軍.

(3)利用Excel中的函數(shù)自動(dòng)計(jì)算重復(fù)多次試驗(yàn)時(shí)事件B發(fā)生的次數(shù)以及頻率.

函數(shù)=MOD(n,2)輸出的結(jié)果為n被2除的余數(shù)，n是奇數(shù)時(shí)輸出為1，n是偶數(shù)輸出結(jié)果為0.經(jīng)過變換后，單局比賽中，“1”表示甲獲勝，“0”表示乙獲勝.將變換后的3個(gè)數(shù)求和，和大于或等于2，表示事件B發(fā)生.

(4)重復(fù)模擬試驗(yàn)，繪制頻率折線圖.

將次數(shù)為300的模擬試驗(yàn)，重復(fù)做10次，事件B的頻率折線圖如圖3所示：

圖3

P(B)的精確值為0.648.由圖3看出：試驗(yàn)次數(shù)為300時(shí)，頻率在0.65附近波動(dòng)，與概率的誤差大約為0.02.通過多次模擬試驗(yàn)，可使學(xué)生體會(huì)模擬試驗(yàn)的快速高效，并感悟頻率估計(jì)概率的誤差大小.

5 教學(xué)建議

5.1 根據(jù)概率的特點(diǎn)，選擇合適的類比對(duì)象，建立研究概率的整體架構(gòu)

前已指出，雖然概率的研究對(duì)象是隨機(jī)現(xiàn)象，但研究確定性數(shù)學(xué)的一般方法仍然適用于概率.根據(jù)概率的定義，設(shè)一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω，對(duì)于每個(gè)事件A?Ω，都有唯一確定的實(shí)數(shù)P(A)∈[0，1]與之對(duì)應(yīng).這說明，概率是建立在樣本空間全體子集所成集合到集合{x|0≤x≤1}的一個(gè)映射.函數(shù)也是一個(gè)映射，所以，類比函數(shù)的研究路徑構(gòu)建概率的研究架構(gòu)，是一條可供選擇的思路.事實(shí)上，人教A版構(gòu)建的結(jié)構(gòu)體系，即

隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)刻畫：樣本點(diǎn)、樣本空間——隨機(jī)事件——隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算；

概率：古典概型的特征、定義及計(jì)算——概率的基本性質(zhì)——頻率的穩(wěn)定性、隨機(jī)模擬——事件的特殊關(guān)系(獨(dú)立性)、利用獨(dú)立性簡化概率計(jì)算——條件概率、全概率公式、貝葉斯公式——……

與函數(shù)的研究路徑，即

預(yù)備知識(shí)：集合(概念、關(guān)系、運(yùn)算)、常用邏輯用語、不等式；

函數(shù)：函數(shù)的背景——函數(shù)的概念(定義、表示)——函數(shù)的性質(zhì)——基本初等函數(shù)——……

頗為相似.在具體的研究內(nèi)容上也可進(jìn)行一定的類比，例如：

函數(shù)y=f(x)的性質(zhì)概率P(A)的性質(zhì)(1)定義域:x的取值范圍I.(1)事件A的“取值范圍”,A是樣本空間Ω的子集,A中元素取自Ω.(2)值域:f(x)的取值范圍.(2)P(A)的取值范圍:0≤P(A)≤1.(3)特殊點(diǎn)的取值:如對(duì)于y=ax,(a>0,a≠1),a0=1.(3)特殊事件的概率:①P(?)=0;②P(Ω)=1;③設(shè)Ωi為基本事件,并且P(Ωi)=pi,i=1,2,…,n,那么p1+p2+…+pn=1.(4)單調(diào)性:任意x1,x2∈D,當(dāng)x1f(x2) ).(4)單調(diào)性:如果A?B,那么P(A)≤P(B).

在教學(xué)中我們可以引導(dǎo)學(xué)生通過類比函數(shù)的研究得到研究概率的一些思路和啟發(fā).不過，畢竟函數(shù)的研究對(duì)象是確定性現(xiàn)象，而概率的研究對(duì)象是隨機(jī)現(xiàn)象，所以概率有自己獨(dú)特的研究內(nèi)容，像頻率與概率的關(guān)系、各種概率計(jì)算問題等等，都是概率中特有的重要內(nèi)容.

5.2 通過典型、豐富的具體實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象

對(duì)于隨機(jī)現(xiàn)象，每個(gè)結(jié)果的發(fā)生都具有偶然性，但是在大量重復(fù)觀測下又呈現(xiàn)出必然規(guī)律.在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷中，以往接觸的問題主要是確定性現(xiàn)象，很少有意識(shí)地思考隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)，又由于概率內(nèi)容自身的特點(diǎn)，例如，①概念非常抽象，②對(duì)隨機(jī)性的不同理解會(huì)導(dǎo)致不同的結(jié)果，③利用概率進(jìn)行一次決策，合理的決策未必一定得到好的結(jié)果等等，所以對(duì)大多數(shù)學(xué)生而言，“隨機(jī)性”是一個(gè)難于把握的概念.

認(rèn)知心理學(xué)的研究表明，對(duì)于抽象內(nèi)容的理解，必須得到具體例子的支持.所以，概率的教學(xué)自始至終都要注意結(jié)合實(shí)例來展開.教學(xué)中應(yīng)通過豐富的、典型的隨機(jī)現(xiàn)象實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生分析歸納隨機(jī)現(xiàn)象的特征，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生提出有價(jià)值的概率問題.具體教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生分類列舉隨機(jī)現(xiàn)象.例如，游戲中的隨機(jī)現(xiàn)象(拋擲硬幣、拋擲骰子、抽取撲克牌、電腦游戲)，生活中的隨機(jī)現(xiàn)象(彩票、出生月份、摸球抽簽、上學(xué)遲到等)，實(shí)際應(yīng)用中的隨機(jī)現(xiàn)象(隨機(jī)抽樣、保險(xiǎn)問題、投資理財(cái)?shù)?.

要注意避免人為虛構(gòu)、脫離概率本質(zhì)的情境，情境也不宜過于復(fù)雜，更不能將生活常識(shí)、數(shù)學(xué)定理、成語俗語等當(dāng)成事件.例如，下列例子用于隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件的教學(xué)是不合適的：

(1)太陽從西方升起(不可能事件)；

(2)在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，將水加熱到100℃，水就沸騰(必然事件)；

(3)|x-3|<1的解集是{x|2

(4)一分耕耘一分收獲(隨機(jī)事件)；

……

這些例子，或者不是“不確定性現(xiàn)象”，或者不是概率所能定量描述的不確定性現(xiàn)象.

5.3 重視核心概念“隨機(jī)事件”的數(shù)學(xué)抽象

“隨機(jī)事件”是概率論的核心概念之一，如果理解不深刻，將影響整個(gè)概率的學(xué)習(xí).而引入樣本點(diǎn)、有限樣本空間概念，再用樣本空間的子集表示隨機(jī)事件，這是隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)學(xué)化的關(guān)鍵一步，教學(xué)中必須給予重視.

教學(xué)中，要注意利用典型例子，以“隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)學(xué)化”為導(dǎo)向，以“不同語言的相互轉(zhuǎn)化”為手段，針對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的特征、樣本點(diǎn)、樣本空間、隨機(jī)事件及其關(guān)系等提出問題，并要讓學(xué)生自己提出問題.這樣的訓(xùn)練是基礎(chǔ)性的，對(duì)于認(rèn)識(shí)和理解隨機(jī)現(xiàn)象有重要意義，不能匆匆而過.

例如，并不是任意的不確定性現(xiàn)象都能成為概率的研究對(duì)象，高中的概率課程中研究的是具有“有限性”、“隨機(jī)性”、“穩(wěn)定性”等特征的隨機(jī)現(xiàn)象.對(duì)這些特征的感悟就不是一件容易的事情，教學(xué)中應(yīng)通過具體實(shí)例讓學(xué)生進(jìn)行分析、表述.

又如，隨機(jī)現(xiàn)象一般是現(xiàn)實(shí)情境化的，例如拋擲一枚硬幣、拋擲一個(gè)骰子、購買一次“七星彩”彩票、從裝有顏色分別為紅黃白的三個(gè)球(除顏色外沒有其他區(qū)別)的袋子中隨意摸出一個(gè)球等等，將它們“數(shù)學(xué)化”得出樣本空間，學(xué)生比較習(xí)慣的是用自然語言，例如Ω={正面朝上，反面朝上}，Ω={紅，黃，白}，等等.教學(xué)中要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生用符號(hào)語言表達(dá).例如：

如圖4，一個(gè)電路中有A，B，C三個(gè)電器元件，每個(gè)元件可能正常，也可能失效.把這個(gè)電路是否為通路看成是一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，觀察這個(gè)電路中各元件是否正常.如果用自然語言表達(dá)，那么會(huì)非常繁瑣；如果引入符號(hào)語言，則會(huì)非常簡潔：

圖4

分別用x1，x2和x3表示元件A，B和C的可能狀態(tài)，則這個(gè)電路的工作狀態(tài)可用(x1,x2,x3)表示.進(jìn)一步地，分別用1和0表示“正常”、“失效”狀態(tài)，則樣本空間為

Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),

(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}.

由此，就可以用集合表示與這個(gè)背景相關(guān)的任意一個(gè)隨機(jī)事件，例如：

M=“恰好兩個(gè)元件正?！钡葍r(jià)于(x1,x2,x3)∈Ω，且x1,x2,x3中恰有兩個(gè)為1.所以

M={(1,1,0),(1,0,1)，(0,1,1)}；

N=“電路是通路”等價(jià)于(x1,x2,x3)∈Ω，x1=1，且x2,x3中至少有一個(gè)是1.所以

N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}；

T=“電路是短路”等價(jià)于(x1,x2,x3)∈Ω，x1=0，或x1=1,x2=x3=0.所以

T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),

(0,1,1),(1,0,0)}.

加強(qiáng)用數(shù)學(xué)語言描述隨機(jī)現(xiàn)象的教學(xué)，對(duì)于促進(jìn)學(xué)生理解樣本點(diǎn)和樣本空間的含義、隨機(jī)事件和樣本點(diǎn)的關(guān)系、隨機(jī)事件的發(fā)生、隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算等等都是非常有用的.事實(shí)上，除了用符號(hào)(字母、數(shù)字或數(shù)對(duì))表示試驗(yàn)結(jié)果，抽象出樣本點(diǎn)、樣本空間，由事件發(fā)生的意義抽象出“隨機(jī)事件”是樣本空間的子集之外，本單元有許多培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的契機(jī)，例如：抽象概括隨機(jī)試驗(yàn)的本質(zhì)特征，建立各種概率模型；借助樹狀圖表示試驗(yàn)的所有可能結(jié)果，判斷樣本點(diǎn)的等可能性；從兩個(gè)事件的發(fā)生互相不影響中抽象出事件的獨(dú)立性；等等.

5.4 引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程自然而然地提出問題

學(xué)生在學(xué)習(xí)確定性數(shù)學(xué)的時(shí)候，因?yàn)橛虚L期的經(jīng)驗(yàn)積累，所以在面對(duì)一個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)，對(duì)如何發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的問題，還能做到“心中有數(shù)”，但在概率的學(xué)習(xí)中，因?yàn)橐延薪?jīng)驗(yàn)不足，他們往往不知道該如何入手、從哪些角度去思考問題.因此，教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)引導(dǎo)，幫助學(xué)生運(yùn)用類比、歸納、一般化、特殊化等推理方法，逐步領(lǐng)悟概率的研究內(nèi)容和方法.我們可以根據(jù)概率的必修課程內(nèi)容，循著人教A版構(gòu)建的整體架構(gòu)，循序漸進(jìn)地提出一些問題：

(1)概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支，概率是對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量.什么叫隨機(jī)現(xiàn)象？隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)特征是什么？

(2)什么叫樣本空間？人們說，利用樣本空間定義隨機(jī)事件真正實(shí)現(xiàn)了隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)化，對(duì)此你有什么認(rèn)識(shí)？由“隨機(jī)事件是樣本空間的子集”你能提出哪些值得研究的問題？

(3)古典概型的研究對(duì)象有怎樣的特征？概率的古典定義是什么？有人說“概率是客觀存在的，雖然隨機(jī)事件發(fā)生的概率是未知的，但它本身是不變的”，你能利用古典概型對(duì)此作出解釋嗎？

(4)求解古典概型問題的一般思路是怎樣的？

(5)類比確定性數(shù)學(xué)的研究，在給出概率的定義后，應(yīng)該研究它的基本性質(zhì).你認(rèn)為可以從哪些角度研究概率的性質(zhì)？

(6)具有某種特殊關(guān)系的事件，它們的概率一定有特定的關(guān)系，例如互斥事件、對(duì)立事件的概率有特定關(guān)系，事件A∪B的概率可以通過事件A，B的概率進(jìn)行計(jì)算.同樣的，積事件AB發(fā)生的概率一定與事件A，B發(fā)生的概率有關(guān).那么，這種關(guān)系會(huì)是怎樣的呢？

(7)如果事件A與事件B相互獨(dú)立，那么它們的對(duì)立事件也相互獨(dú)立嗎？

(8)對(duì)于樣本點(diǎn)等可能的試驗(yàn)，我們可以用古典概型公式計(jì)算有關(guān)事件的概率.現(xiàn)實(shí)中，很多試驗(yàn)的樣本點(diǎn)往往不是等可能的或者等可能性不容易判斷，這時(shí)該怎么辦？

(9)概率與頻率之間是一種怎樣的關(guān)系？如何理解“頻率的穩(wěn)定性”？是不是試驗(yàn)的次數(shù)越多，頻率就越接近概率？

5.5 要加強(qiáng)“統(tǒng)計(jì)與概率的聯(lián)系”的教學(xué)

統(tǒng)計(jì)與概率既有聯(lián)系，又有區(qū)別.我們知道，采用隨機(jī)抽樣、用樣本推斷總體，其結(jié)果也具有隨機(jī)性.評(píng)價(jià)推斷結(jié)果的精確程度、推斷方法的“好”與“壞”都需要概率知識(shí).在概率的教學(xué)中，要適當(dāng)?shù)仃P(guān)注二者的聯(lián)系.例如：

(1)統(tǒng)計(jì)中的總體與概率中的樣本空間之間的聯(lián)系，總體沒有隨機(jī)性，只有采用隨機(jī)抽樣，其結(jié)果才具有隨機(jī)性；

(2)從概率角度比較有放回簡單隨機(jī)抽樣、不放回簡單隨機(jī)抽樣、按比例分層隨機(jī)抽樣三種抽樣方式對(duì)總體均值的估計(jì)效果；

(3)在頻率與概率的教學(xué)中，可以利用“孟德爾遺傳規(guī)律”，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)，一方面可以通過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律提出遺傳機(jī)理的概率模型(正態(tài)分布模型也采用這種方式構(gòu)建)，另一方面也可以利用統(tǒng)計(jì)方法，用頻率來驗(yàn)證理論模型的正確與否.

5.6 重視信息技術(shù)的應(yīng)用

信息技術(shù)使大量重復(fù)試驗(yàn)成為可能.在本單元教學(xué)中，可以發(fā)揮信息技術(shù)的優(yōu)勢，通過產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，隨機(jī)模擬擲硬幣、擲骰子、摸球等試驗(yàn).通過這些模擬的大量重復(fù)試驗(yàn)，揭示頻率既具有隨機(jī)性，又具有穩(wěn)定性，理解頻率與概率的聯(lián)系與區(qū)別.