尋問題模型之源 挖教材潛在之能①

吳莉娜

(江蘇省常州高級(jí)中學(xué) 213003)

“數(shù)學(xué)教材為‘教’與‘學(xué)’活動(dòng)提供學(xué)習(xí)主題、基本線索和具體內(nèi)容，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要教學(xué)資源.”[1]面對(duì)各種教學(xué)情境，怎樣利用好教材的“源”，是每一個(gè)教師需要研究的問題.本文以2017全國(guó)新課標(biāo)平面向量試題為載體,探索高中數(shù)學(xué)教學(xué)如何回歸教材，挖掘教材的潛在功能，對(duì)教材典型問題進(jìn)行引申、推廣，在教學(xué)中有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生尋找問題模型的源頭，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題，提高學(xué)生的思維品質(zhì)和創(chuàng)造性解決問題的能力，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1 問題由來

本題題面簡(jiǎn)約，背景清晰，主要考查：(1)平面向量基本定理的應(yīng)用；(2)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；(3)直線與圓的位置關(guān)系.

解析如圖1以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

圖1

則A(0,1)，B(0,0)，C(2,0)，D(2,1)，

設(shè)圓C上任意一點(diǎn)P(x,y)，

又點(diǎn)P(x,y)在圓C上，

=2-sin(θ-φ)≤3，

多角度、多層次地考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能以及數(shù)學(xué)思想方法的掌握情況.諸如此類的，已知圖形關(guān)系求基向量系數(shù)問題或者已知系數(shù)條件求圖形的有關(guān)問題，在歷年的高考真題與模擬題中屢見不鮮，能有效地考查學(xué)生思維的靈活性和敏捷性.而學(xué)生在解決此類問題時(shí)，往往思路并不清晰且解題繁瑣，得分率普遍不高.

2 追本溯源

針對(duì)這個(gè)問題的典型性，筆者認(rèn)為有必要對(duì)其展開研究，細(xì)細(xì)品味，發(fā)揮試題教學(xué)的價(jià)值.于是研究了幾套教材向量部分的編寫，發(fā)現(xiàn)教材中都可以找到此類問題的源頭所在，下面以人教版和蘇教版教材來談一談.

人教版教材

圖2

蘇教版教材

圖3

3 撥云見日

圖4

圖5

圖6

因此由等和線結(jié)論2，我們可以另起爐灶來建構(gòu)新的思路解決引例.

圖7

4 延伸拓展

雖然引例的解題思路和方法并不唯一，但是相比較而言，利用向量等和線結(jié)論求解向量線性運(yùn)算中共起點(diǎn)基向量的系數(shù)和問題，比建系轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解更顯自然和流暢，能有效降低知識(shí)綜合性要求與運(yùn)算能力要求.不僅拓展了學(xué)生對(duì)平面向量的認(rèn)知，而且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想大有裨益.在歷年的全國(guó)高考題、?？碱}中，以等和線為背景的平面向量問題受到了命題者的青睞.

應(yīng)用1等和線結(jié)論應(yīng)用于基向量系數(shù)的線性關(guān)系式aλ+bμ的最值問題.

圖8

分析本題通過改編將系數(shù)和問題推廣為系數(shù)的線性關(guān)系式，由于向量的數(shù)乘運(yùn)算從形的角度，可以通過將原向量在共線的前提下，進(jìn)行伸長(zhǎng)、壓縮等操作，那么從理論上來說，所有的系數(shù)之間的線性關(guān)系，我們都可以通過調(diào)節(jié)基底向量，使得所求系數(shù)線性關(guān)系變換為兩個(gè)新基底向量的系數(shù)和問題，然后尋找到系數(shù)的線性關(guān)系式取得最值的等和線，利用等和線結(jié)論2解決問題.

應(yīng)用2等和線結(jié)論應(yīng)用于條件中三個(gè)向量不共起點(diǎn)時(shí)基向量系數(shù)和的問題.

圖9

應(yīng)用3等和線結(jié)論應(yīng)用于基向量的終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化的一類動(dòng)態(tài)問題.

圖10

5 源清流澈

“向量理論具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、豐富的物理背景.向量既是代數(shù)研究對(duì)象，也是幾何研究對(duì)象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁.”[1]因此，平面向量是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容和重要思想方法，也是高考中經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容.怎樣讓學(xué)生理解向量的內(nèi)涵，充分認(rèn)識(shí)向量的“橋梁”作用，在教學(xué)中，我們從一個(gè)典型問題出發(fā)，通過以上變式問題的層層深入探究，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)利用等和線結(jié)論解決向量線性運(yùn)算的基底系數(shù)和問題，可以巧妙的將復(fù)雜的求值、最值等一系列代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題，將具體的代數(shù)式運(yùn)算轉(zhuǎn)化為距離的長(zhǎng)度比例關(guān)系問題，用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型溝通了相關(guān)問題，完美地呈現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在解題中的優(yōu)勢(shì)，提高了學(xué)生的思維品質(zhì)和創(chuàng)造性解決問題的能力，從而達(dá)到提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的.

費(fèi)里德曼在《怎么學(xué)會(huì)解數(shù)學(xué)題》中提出：“如果我們著手解答一道習(xí)題，那么，第一件事就想知道：這是道什么題？它是什么形式，屬于哪種類型？換句話說，就是需要識(shí)別給定習(xí)題的類型.”[2]教材中的每一個(gè)例題、習(xí)題的設(shè)置都有其目的和作用，體現(xiàn)著本節(jié)知識(shí)所應(yīng)達(dá)到的能力要求，教學(xué)不僅要緊扣教材中的基礎(chǔ)知識(shí)，還要發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用教材習(xí)題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，更要挖掘和利用教材習(xí)題潛在的功能.因此，指導(dǎo)學(xué)生回歸教材，依“綱”固“本”，挖掘教材的潛在功能，對(duì)教材典型問題進(jìn)行引申、推廣，教材素材之“源”清楚，學(xué)生思維之“流”才能清澈，“源于教材，高于教材”，帶領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)略更靚麗的風(fēng)景.