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    數(shù)學(xué)問題解答

    2021-07-15 09:46:24
    數(shù)學(xué)通報 2021年5期
    關(guān)鍵詞:共青城個位數(shù)內(nèi)切圓

    2021年4月號問題解答

    (解答由問題提供人給出)

    (華中師范大學(xué)國家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心 彭翕成 430079)

    即sinAsin(π-A-C-A-C)

    即sinA·2sin(A+C)cos(A+C)

    即sin(2A+C)=2sinC,

    sin(2A+C)-2sinC

    =sin(A+C)cosA+cos(A+C)sinA-2sinC

    =0,

    即bcosA+acos(A+C)-2c

    2597證明2103-23能被1000整除.

    (江西省共青城市國科共青城實驗學(xué)校 姜坤崇 332020)

    =2(221-2)(281+261+241+221+2)

    =4194300(281+261+241+221+2).

    因為,21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,…,所以數(shù)列{2n}(n是正整數(shù))的個位數(shù)字?jǐn)?shù)列2,4,8,6,2,4,8,6,…是周期為4的周期數(shù)列.因為281=24×20+1,所以281的個位數(shù)字為2.同理,261,241,221的個位數(shù)字亦都為2,所以281+261+241+221+2的個位數(shù)字為0,從而4194300(281+261+241+221+2)可寫為1000m(m為整數(shù))的形式,所以2103-23能被1000整除.

    2598如圖,已知在△ABC中AC+BC=3AB,G、I分別是△ABC的重心、內(nèi)心,求證:GI⊥AB.

    (江蘇省無錫市第一中學(xué) 李廣修 214031)

    由三角形的內(nèi)切圓的切線長公式、橢圓的焦半徑公式,得

    因為xD>xA,所以

    |AD|=xD-xA=xD+1=xI+1,

    又由三角形的重心坐標(biāo)公式,得

    所以xG=xI,故GI⊥x軸,即GI⊥AB.

    2599設(shè)ai(i=1,2,…,n)是正實數(shù),n≥3,求證:

    (1)

    (四川成都金牛西林巷18號晨曦數(shù)學(xué)工作室 宿曉陽 610031)

    證明由均值不等式,有

    兩邊同除以n,即得不等式(1).

    2600△ABC中,AB=AC,D、E分別是AB、AC延長線上的點,F(xiàn)、G分別是CD、AC上的點,且滿足DF=3FC,GC=2AG.求證:BD=2CE,DE⊥EA,EF⊥DG這三個條件,任意已知兩個,可得第三個.

    (山西省臨縣一中 李有貴 033200)

    BD=2CE等價于

    AD=2CE+AC=2AE-AC,

    (1)

    (2)

    (3)

    命題得證.

    2021年5月號問題

    (來稿請注明出處——編者)

    2601已知a,b,c∈R,a+b+c=abc,求證:

    (a2+1)(b2+1)(c2+1)

    ≥(ab+bc+ca-1)2.

    (陜西省咸陽師范學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院 安振平 712000)

    2602已知,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點D,點F1,F(xiàn)2在BC上,且∠CAF1=∠BAF2,AF1,AF2與CD分別交于點E1,E2.

    (北京市朝陽區(qū)教育研究中心 蔣曉東 100028;北京市朝陽區(qū)芳草地國際學(xué)校富力分校 郭文征 100121)

    2603設(shè)△ABC的三邊長為a,b,c,對應(yīng)的高線、旁切圓半徑、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑和面積分別為ha,hb,hc,ra,rb,rc,R,r,Δ,則

    (天津水運高級技工學(xué)校 黃兆麟 300456)

    2604已知a,b,c>0,且abc=1.

    (湖北省公安縣第一中學(xué) 楊先義 434300)

    (安徽省六安第二中學(xué) 陶興紅 237005)

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