2021年4月號問題解答
(解答由問題提供人給出)
(華中師范大學(xué)國家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心 彭翕成 430079)
即sinAsin(π-A-C-A-C)
即sinA·2sin(A+C)cos(A+C)
即sin(2A+C)=2sinC,
sin(2A+C)-2sinC
=sin(A+C)cosA+cos(A+C)sinA-2sinC
=0,
即bcosA+acos(A+C)-2c
2597證明2103-23能被1000整除.
(江西省共青城市國科共青城實驗學(xué)校 姜坤崇 332020)
=2(221-2)(281+261+241+221+2)
=4194300(281+261+241+221+2).
因為,21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,…,所以數(shù)列{2n}(n是正整數(shù))的個位數(shù)字?jǐn)?shù)列2,4,8,6,2,4,8,6,…是周期為4的周期數(shù)列.因為281=24×20+1,所以281的個位數(shù)字為2.同理,261,241,221的個位數(shù)字亦都為2,所以281+261+241+221+2的個位數(shù)字為0,從而4194300(281+261+241+221+2)可寫為1000m(m為整數(shù))的形式,所以2103-23能被1000整除.
2598如圖,已知在△ABC中AC+BC=3AB,G、I分別是△ABC的重心、內(nèi)心,求證:GI⊥AB.
(江蘇省無錫市第一中學(xué) 李廣修 214031)
由三角形的內(nèi)切圓的切線長公式、橢圓的焦半徑公式,得
因為xD>xA,所以
|AD|=xD-xA=xD+1=xI+1,
又由三角形的重心坐標(biāo)公式,得
所以xG=xI,故GI⊥x軸,即GI⊥AB.
2599設(shè)ai(i=1,2,…,n)是正實數(shù),n≥3,求證:
(1)
(四川成都金牛西林巷18號晨曦數(shù)學(xué)工作室 宿曉陽 610031)
證明由均值不等式,有
兩邊同除以n,即得不等式(1).
2600△ABC中,AB=AC,D、E分別是AB、AC延長線上的點,F(xiàn)、G分別是CD、AC上的點,且滿足DF=3FC,GC=2AG.求證:BD=2CE,DE⊥EA,EF⊥DG這三個條件,任意已知兩個,可得第三個.
(山西省臨縣一中 李有貴 033200)
BD=2CE等價于
AD=2CE+AC=2AE-AC,
(1)
(2)
(3)
命題得證.
2021年5月號問題
(來稿請注明出處——編者)
2601已知a,b,c∈R,a+b+c=abc,求證:
(a2+1)(b2+1)(c2+1)
≥(ab+bc+ca-1)2.
(陜西省咸陽師范學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院 安振平 712000)
2602已知,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點D,點F1,F(xiàn)2在BC上,且∠CAF1=∠BAF2,AF1,AF2與CD分別交于點E1,E2.
(北京市朝陽區(qū)教育研究中心 蔣曉東 100028;北京市朝陽區(qū)芳草地國際學(xué)校富力分校 郭文征 100121)
2603設(shè)△ABC的三邊長為a,b,c,對應(yīng)的高線、旁切圓半徑、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑和面積分別為ha,hb,hc,ra,rb,rc,R,r,Δ,則
(天津水運高級技工學(xué)校 黃兆麟 300456)
2604已知a,b,c>0,且abc=1.
(湖北省公安縣第一中學(xué) 楊先義 434300)
(安徽省六安第二中學(xué) 陶興紅 237005)