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    數(shù)學(xué)歸納推理能力再探:內(nèi)涵與表現(xiàn)①

    2021-07-15 09:46:34吳惠玲郭玉峰
    數(shù)學(xué)通報(bào) 2021年5期
    關(guān)鍵詞:類別聚類分類

    吳惠玲 郭玉峰

    (1.北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 100875;2.深圳外國語學(xué)校 518110)

    1 問題提出

    數(shù)學(xué)歸納推理能力對學(xué)生學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展、數(shù)學(xué)問題解決等有重要作用[1-4],數(shù)學(xué)歸納推理與數(shù)學(xué)演繹推理一起,影響和推動數(shù)學(xué)的進(jìn)展[5].《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱為“2017數(shù)學(xué)課標(biāo)”)明確指出,邏輯推理素養(yǎng)是六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一,并給出主要表現(xiàn)與相應(yīng)的水平劃分.而歸納推理作為邏輯推理的一個重要組成部分,無論教材編寫還是教學(xué)實(shí)踐,研究清楚數(shù)學(xué)歸納推理的內(nèi)涵與學(xué)生具體表現(xiàn)等無疑有重要意義.

    歸納推理在邏輯學(xué)、心理學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域都有研究且各自關(guān)注點(diǎn)不盡相同.如,關(guān)注歸納推理形成過程所體現(xiàn)的形式共性[6]、信息加工過程[7]、任務(wù)表現(xiàn)[1]、歸納推理的邏輯性[8]等.歸納推理是一類重要的推理形式,與演繹推理不同.演繹推理可以得到必然的結(jié)論[9],而歸納推理的本質(zhì)是前提與結(jié)論的或然性聯(lián)系,那么類比推理也屬于歸納推理[8].從已有研究可見,結(jié)論的或然性和推理過程的邏輯性是歸納推理的特點(diǎn).如何將二者的敘述相整合,刻畫學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納推理能力,是本研究亟待解決的問題之一.

    數(shù)學(xué)歸納推理能力內(nèi)涵包含的主成分是什么?它體現(xiàn)在數(shù)學(xué)歸納推理活動中.一些研究從推理的環(huán)節(jié)[10, 11]或數(shù)學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)[12]劃分?jǐn)?shù)學(xué)歸納推理過程,宏觀認(rèn)識趨于一致,即包括從特殊到一般的猜想過程以及猜想的檢驗(yàn)過程.也有研究認(rèn)為,數(shù)學(xué)歸納推理的認(rèn)知過程常出現(xiàn)類的形成、類比、類的擴(kuò)展等行為.[13]伍春蘭等分析學(xué)生猜想線面垂直判定定理的過程,學(xué)生能夠進(jìn)行聯(lián)想、自我檢驗(yàn).[14]對知識間關(guān)聯(lián)的認(rèn)識和想象與聯(lián)想類比密切相關(guān).[15]較為全面的是,Jeannotte 和 Kieran[16]從認(rèn)知溝通的理論角度,給出9個數(shù)學(xué)推理詞匯,描述發(fā)現(xiàn)相似性或差異性過程及檢驗(yàn)猜想的過程.史亮[17]則統(tǒng)計(jì)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)版)》中關(guān)于歸納推理的詞匯.“2017數(shù)學(xué)課標(biāo)”涉及的數(shù)學(xué)歸納推理,其主要表現(xiàn)以及水平二和三仍較為模糊.除了理論視角,如何用實(shí)證研究分析能力結(jié)構(gòu)要素?以上研究較為全面地展示了數(shù)學(xué)歸納推理能力的成分,但未明確數(shù)學(xué)歸納推理能力的主成分.在教學(xué)實(shí)踐中,教師抓住主成分,更能有針對性培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納推理能力.因此,明確數(shù)學(xué)歸納推理能力的主成分,借此分析數(shù)學(xué)歸納推理能力的現(xiàn)狀,是本研究擬解決的另一方面.

    總之,本文希望在數(shù)學(xué)歸納推理能力內(nèi)涵基礎(chǔ)上,結(jié)合數(shù)學(xué)歸納推理過程、相關(guān)操作詞匯以及數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)猜想實(shí)例,給出數(shù)學(xué)歸納推理能力的可能成分.進(jìn)一步借助測試題,通過探索性因素分析法更深入揭示數(shù)學(xué)歸納推理能力的主成分,借助兩次聚類分析分別得到主成分下的學(xué)生表現(xiàn)層次以及不同主成分的關(guān)系,從而構(gòu)建數(shù)學(xué)歸納推理的框架結(jié)構(gòu),為課程建設(shè)和教學(xué)實(shí)踐提供一定的參考和借鑒.

    2 研究設(shè)計(jì)

    小學(xué)階段主要進(jìn)行枚舉歸納推理,小學(xué)高年級則逐漸開始科學(xué)歸納推理,用以理解數(shù)學(xué)概念和命題.[12]本研究希望揭示高中學(xué)生數(shù)學(xué)歸納推理的特點(diǎn).考慮到測試的便利性以及數(shù)據(jù)的可靠性,研究對象選取高二年級學(xué)生.測試題編制原則是:(1)題目所涉及的數(shù)學(xué)知識是高二學(xué)生已學(xué)過的,包括高一以及高一之前的知識;(2)題目可以從特例入手,借助觀察、分析、比較、聯(lián)想等方式,得到猜想.(3)題目類型是學(xué)生未接觸過的.教材中呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)歸納推理任務(wù)為本研究測試題的設(shè)計(jì)和開發(fā)提供了思路.測試卷共3大題,2道類比題,1道歸納題.測試時長40分鐘.

    第1題:關(guān)于正四面體性質(zhì)的類比.考察目的:(1)能否認(rèn)識到正三角形和正四面體的相似性;(2)能否依據(jù)正三角形的某些性質(zhì),對正四面體的性質(zhì)產(chǎn)生實(shí)質(zhì)的聯(lián)想,例如平面內(nèi)關(guān)于邊的問題,往往對應(yīng)于空間中的平面問題;(3)能否得出正四面體性質(zhì)的某個普遍規(guī)律;(4)能否用語言描述猜想.

    第2題:關(guān)于空間四面體勾股定理的類比.考察目的:(1)能否認(rèn)識到直角三角形和3個面兩兩垂直的四面體間的相似性;(2)能否根據(jù)直角三角形的勾股定理,產(chǎn)生空間四面體關(guān)于棱長或面積的聯(lián)想,并得出普遍規(guī)律;(3)對所得的猜想,是否會檢驗(yàn).例如演繹證明、用具體例子增強(qiáng)說服力、舉反例推翻等.(4)能否用語言描述猜想.

    第3題:探究一元n次實(shí)系數(shù)方程的根與系數(shù)關(guān)系.考察目的:(1)能否分析特殊例子的根與系數(shù)關(guān)系,并寫出特例的結(jié)論;(2)能否發(fā)現(xiàn)特例之間的共性和差異性;(3)如果猜出n為具體值時的根與系數(shù)關(guān)系,能否進(jìn)一步得到一元n次實(shí)系數(shù)方程的普遍規(guī)律.

    本研究給出數(shù)學(xué)歸納推理的8個成分假設(shè)(具體見第3.2節(jié)),三道測試題與這些成分假設(shè)的對應(yīng)關(guān)系以及具體分值(通過層次分析法得到)如表1,滿分為100.

    表1 研究假設(shè)維度與對應(yīng)題目與分值

    根據(jù)預(yù)測結(jié)果分別調(diào)整題目的提問方式、增設(shè)題目梯度、調(diào)整題量,以及調(diào)整區(qū)分度不大的題目等,形成最終測試問卷.考慮學(xué)生的數(shù)學(xué)層次分布與問卷發(fā)放的便利性,最終測試對象是山西一所重點(diǎn)中學(xué)(編碼SX)、廣東一所省級中學(xué)(編碼G)、廣西一所重點(diǎn)中學(xué)(編碼GX)的高二學(xué)生,其中發(fā)放問卷425份,回收問卷395,回收率93%.回收問卷中的作廢問卷是:存在一道空白的完整大題,或多于3個空白的小題,或兩張問卷答案一樣,這樣有效問卷共368份.

    表2 問卷數(shù)量情況統(tǒng)計(jì)

    測試題的信效度來源于正式測試的數(shù)據(jù),基于368個數(shù)據(jù)樣本,本次問卷調(diào)查的信度(Cronbach α)是0.772,問卷各題項(xiàng)間的一致性較為合適.各維度與總分之間在顯著水平為0.01(雙側(cè))下,相關(guān)性是顯著的(0.429~0.808之間).可見總分與各維度之間的相關(guān)性良好,即調(diào)查問卷具有較好的效度.因此,可對這批數(shù)據(jù)進(jìn)行下一步分析,操作軟件是IBM SPSS Statistics 20.

    3 研究結(jié)果一:數(shù)學(xué)歸納推理能力的內(nèi)涵

    3.1 內(nèi)涵界定

    根據(jù)以上分析,借助“2017數(shù)學(xué)課標(biāo)”關(guān)于邏輯推理素養(yǎng)的界定,“從一些事實(shí)和命題出發(fā),依據(jù)規(guī)則推出其它命題的素養(yǎng)”,本研究界定數(shù)學(xué)歸納推理能力的內(nèi)涵是,“從具有某一性質(zhì)的一些特例(或一類事物)出發(fā),猜想包含這些特例的一類事物(或具有共同屬性的其他類事物)也具有一致的性質(zhì),并說明猜想合理性的能力.”包括以下要點(diǎn):

    第一,數(shù)學(xué)歸納推理是前提和結(jié)論之間存在或然性的推理形式,前提和結(jié)論之間的關(guān)系不是必然的;

    第二,同數(shù)學(xué)演繹推理一樣,數(shù)學(xué)歸納推理也是有邏輯的.界定中用文字語言的形式敘述這一邏輯性,也即性質(zhì)傳遞性[8]:Ⅰ(歸納):對于集合A和性質(zhì)P,x→P,若x∈A,則A→P;Ⅱ(類比):集合A和集合B都具有屬性Q,對于性質(zhì)P,若A→P,則B→P.

    第三,對于高中學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納推理,本研究更關(guān)注這樣兩個方面:(1)歸納:分析歸納多個特殊事物的屬性,得出一類事物(包含這多個特殊事物)的一般屬性,或找到具備此屬性的、合適的數(shù)學(xué)研究對象集合.值得注意的是,特殊事物不一定多個,也可以是某個極端的,或具有主導(dǎo)性的.(2)類比:分析比較兩類事物間的相似屬性,從而聯(lián)想到它們在其它屬性上也有相似之處.

    例如,一個主導(dǎo)作用的歸納[18]:面α和面β的夾角是θ,面積為A的多邊形在面α內(nèi),猜想其投影在面β所形成的圖形的面積是多少?矩形是一種便于處理且主導(dǎo)的特殊情形,底邊平行于面α和面β的交線l,設(shè)底邊為a,高為b,則投影圖形的底邊為a,高為bcosθ,面積為abcosθ.這可以推廣到一直角邊平行于交線l的直角三角形的投影面積,再推廣至任意三角形的投影面積,進(jìn)而推廣至多邊形的投影面積為Acosθ.

    3.2 內(nèi)涵成分再探

    表3 可能的內(nèi)涵成分解釋

    根據(jù)以上研究結(jié)果,運(yùn)用探索性因素分析法提取整合數(shù)學(xué)歸納推理能力的主成分.探索性因素分析法的八個原始變量為:分析、比較、分類、聯(lián)想、概括、類比猜想、歸納猜想、驗(yàn)證.反映象相關(guān)矩陣(表4)良好,主對角線元素的絕對值均大于0.6,基本大于0.8,主對角線外的元素絕對值絕大部分較?。籏MO=0.768以及Bartlett球體檢驗(yàn)的p值小于0.05.以上三個考慮因素均認(rèn)為該問卷的數(shù)據(jù)適合做因素分析.通過主成分方法,結(jié)合先前的文獻(xiàn)分析和表5的累積方差貢獻(xiàn)率,相比于2個主成分而言,抽取4個主成分更好(此時的累積方差貢獻(xiàn)率為84.141%).

    表4 反映像矩陣

    表5 解釋的總方差

    由于成分矩陣的維度與成分之間的關(guān)系糅合在一起,不明顯,成分解釋難度加大,故借助旋轉(zhuǎn)變換方法得到旋轉(zhuǎn)矩陣(如表6).成分1對“聯(lián)想”、“概括”、“類比猜想”三個維度的載荷較大,命名成分1為聯(lián)想類推;成分2對“觀察分析”、“比較”、“歸納猜想”三個維度的載荷較大,命名成分2為比較遞推;成分3對“分類”維度的載荷較大,命名成分3為分類;成分4對“驗(yàn)證”維度的載荷較大,命名成分4為驗(yàn)證.

    表6 抽取4個成分的旋轉(zhuǎn)矩陣

    4 研究結(jié)果二:高二學(xué)生數(shù)學(xué)歸納推理能力的表現(xiàn)

    數(shù)學(xué)歸納推理能力的主成分包括分類、聯(lián)想類推、比較遞推、驗(yàn)證,學(xué)生在這四個主成分的表現(xiàn)如何?四個主成分間有何關(guān)系?本研究將學(xué)生測試成績的總分、成分1得分、成分2得分、成分3得分、成分4得分作為變量,對368份測試樣本進(jìn)行聚類分析.借助兩次聚類分析分別得到這四個主成分下的學(xué)生表現(xiàn)層次以及不同主成分之間的關(guān)系,得到以下數(shù)據(jù)結(jié)果.

    4.1 高二學(xué)生數(shù)學(xué)歸納推理能力的表現(xiàn)層次

    為了對學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納推理能力按照各成分進(jìn)行分層,用距離表示樣本之間的關(guān)系,具體方法為:平方歐氏距離.由表7可見,第365步到第366步的聚類系數(shù)變化(7.331-5.921=1.41)與第364步到第365步的聚類系數(shù)變化(5.921-5.288=0.633)的相差較大,認(rèn)為聚類為3類是合理的.再者,考慮到層次區(qū)分在實(shí)際操作的便利與明顯,本研究將數(shù)學(xué)歸納推理能力的表現(xiàn)劃分為三個層次.

    表7 聚類表

    根據(jù)以上分類結(jié)果,統(tǒng)計(jì)三個類別下學(xué)生的得分均值與得分率,如下表8:

    表8 三個類別下的各變量得分均值與得分率

    4.2 高二學(xué)生數(shù)學(xué)歸納推理能力的不同成分之間的關(guān)系

    數(shù)學(xué)歸納推理能力的四個主成分可分別劃分三個層次,反映學(xué)生可能處于的不同認(rèn)知階段,以及在這些主成分的表現(xiàn)有何特點(diǎn).除此之外,主成分間存在怎樣的關(guān)系?此時,學(xué)生的得分高低不是主要關(guān)注點(diǎn),關(guān)注的是學(xué)生各個變量上分?jǐn)?shù)的相似程度,也即各成分間有何關(guān)系.為此,本文選擇用相似系數(shù)描述樣本之間的關(guān)系,具體方法為:夾角余弦.

    表9顯示了層次聚類分析的聚類過程,類與類之間的距離采用一種使用較廣、聚類效果較好的方法——類平均法.相鄰步驟聚類系數(shù)的變化遠(yuǎn)大于前面相鄰步驟聚類系數(shù)的變化,這在統(tǒng)計(jì)意義上認(rèn)為聚類分析進(jìn)行到這一步是較為合理的.[19]由表9可知,第364步到第365步的聚類系數(shù)變化(0.524-0.333=0.191)遠(yuǎn)大于第363步到第364步的聚類系數(shù)變化(0.525-0.524=0.001),認(rèn)為聚類為4類是合理的.

    表9 聚類表

    根據(jù)以上分類結(jié)果,統(tǒng)計(jì)四個類別學(xué)生的各成分與總成績的得分均值和得分率,如下表10:

    表10 四類情況的各變量得分均值與得分率

    5 研究結(jié)論

    (1)數(shù)學(xué)歸納推理能力內(nèi)涵體現(xiàn)結(jié)論的或然性及推理的邏輯性,主成分明確推理關(guān)鍵環(huán)節(jié)

    內(nèi)涵界定中的猜想合理性要求學(xué)生意識到結(jié)論是或然成立的,從特例(或一類事物)的性質(zhì)到包含這些特例的一類事物(或具有共同屬性的其他類事物)的一致性質(zhì)猜想,揭示了推理的邏輯性.

    數(shù)學(xué)歸納推理能力的四個主成分——分類、聯(lián)想類推、比較遞推、驗(yàn)證是對假設(shè)成分的整合,突出歸納推理過程的重點(diǎn)與核心.前三個主成分屬于從特殊到一般情形的猜想過程.分類是此過程的初始階段,學(xué)生依據(jù)特例或某類推廣,確定一類事物或其他類別,是對研究對象的分類,從而更有利于學(xué)生得到更可靠的猜想.聯(lián)想類推和比較遞推均是第二步,二者沒有明顯的遞進(jìn)關(guān)系.聯(lián)想類推注重聯(lián)想,更適合用于通常所說的類比推理;比較遞推關(guān)注性質(zhì)的比較,更傾向教學(xué)中所理解的狹義歸納推理.驗(yàn)證是猜想的檢驗(yàn)過程,是對猜想可靠性和合理性的解釋和說明,體現(xiàn)歸納推理結(jié)論的價值.

    (2)數(shù)學(xué)歸納推理能力具有明顯的三個層次

    通過聚類表(表7),將樣本學(xué)生群體分成三類,分析數(shù)學(xué)歸納推理能力的各主成分表現(xiàn).類別1的各項(xiàng)得分均值均低于類別2和3;三個類別在“分類”成分的得分均值差別較?。活悇e3的“驗(yàn)證”成分得分率遠(yuǎn)高于類別1和2的.再統(tǒng)計(jì)各成分下各類別學(xué)生大部分集中于哪個分?jǐn)?shù)段,并分析這些學(xué)生的具體作答情況.以“分類”成分為例,思考平面中的直角三角形對應(yīng)于空間中的哪種四面體時,類別1的學(xué)生較容易選擇所有四面體,或有一個面是直角三角形的四面體;類別2的學(xué)生會考慮空間和平面的關(guān)系,選擇有兩個面互相垂直的四面體;類別3的學(xué)生會選擇三個面兩兩垂直的四面體.以此,概括數(shù)學(xué)歸納推理能力的“分類”、“聯(lián)想類推”、“比較遞推”、“驗(yàn)證”成分的三個層次(表11),該層次揭示了學(xué)生對事物的認(rèn)識深刻程度,對簡單和復(fù)雜問題的解決程度.

    表11 表現(xiàn)層次

    (3)數(shù)學(xué)歸納推理能力的“聯(lián)想類推”與“比較遞推”不存在明顯關(guān)系,但與“分類”相關(guān)

    第二次聚類分析關(guān)注數(shù)學(xué)歸納推理能力不同成分之間的關(guān)系,也即取樣學(xué)生數(shù)學(xué)歸納推理能力各成分得分的波動相似程度.結(jié)合表10以及學(xué)生具體作答情況,得到以下結(jié)論:

    學(xué)生在聯(lián)想類推方面的表現(xiàn)與比較遞推方面的表現(xiàn)不存在一致的強(qiáng)或弱.由表10可見:類別③的聯(lián)想類推和比較遞推的得分均值整體較高,超過類別②和④;但另一種情況更為明顯:學(xué)生類別②的“聯(lián)想類推”成分得分均值比類別④多,但“比較遞推”成分得分均值比類別④少;同樣,學(xué)生類別①和②之間、類別②與③之間的聯(lián)想類推和比較遞推的得分均值高低明顯相反.進(jìn)一步分析學(xué)生具體作答情況,例如,多數(shù)類別④學(xué)生能分析有n個實(shí)根的一元n次方程,猜想根與系數(shù)關(guān)系,但平面的結(jié)論類比至空間結(jié)論時,卻進(jìn)行無關(guān)聯(lián)想;又或者,多數(shù)類別②能推廣出平面到空間的較為普遍結(jié)論,但對于一元n次方程,只分析n=1,n=2的情形.本研究的歸納推理采用學(xué)界的廣義觀點(diǎn),也即“2017數(shù)學(xué)課標(biāo)”表述的“從特殊到一般的推理”,有兩種推理方式:歸納和類比,此處的歸納是狹義的觀點(diǎn),本文的比較遞推是其具體形式.數(shù)學(xué)教育把類比推理作為一類特殊的歸納推理,特別強(qiáng)調(diào)也就不足為奇了.對學(xué)生而言,類比推理的難度較大,往往是聯(lián)想強(qiáng)弱的緣故.

    分類對聯(lián)想類推的影響存在兩種情況:(Ⅰ)學(xué)生對事物的分類較弱時,其聯(lián)想類推也較弱;(Ⅱ)當(dāng)分類的水平較強(qiáng)時,對聯(lián)想類推的影響不明顯.表10顯示,學(xué)生類別④和其他類別的“分類”成分得分均值相差較多,“聯(lián)想類推”成分也如此;但類別①,②和③的“分類”和“聯(lián)想類推”成分得分均值沒有呈現(xiàn)一致的高或低.再結(jié)合學(xué)生具體作答情況,“分類”成分在6分及其以下的學(xué)生,其聯(lián)想類推的得分也相對較低,例如,沒有發(fā)現(xiàn)需要類比的性質(zhì),答非所問.“分類”得分6分以上的取樣學(xué)生,其聯(lián)想類推的得分波動較大.

    6 討論

    隨著“2017數(shù)學(xué)課標(biāo)”的發(fā)布,六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理論研究及其在實(shí)踐中的真正貫徹落實(shí)成為關(guān)注的熱點(diǎn).核心素養(yǎng)的重要組成部分是關(guān)鍵能力,數(shù)學(xué)歸納推理能力作為邏輯推理素養(yǎng)的一部分,研究清楚數(shù)學(xué)歸納推理能力的內(nèi)涵和學(xué)生表現(xiàn)無疑對課程實(shí)施以及教學(xué)實(shí)踐有重要意義.與已有研究相比,本研究的貢獻(xiàn)主要有以下方面:

    (1)從理論上析出了數(shù)學(xué)歸納推理能力的主成分,為實(shí)踐中有目的地指導(dǎo)學(xué)生提供了方向

    數(shù)學(xué)歸納推理能力的主成分包括分類、聯(lián)想類推、比較遞推和驗(yàn)證,細(xì)化了“2017數(shù)學(xué)課標(biāo)”的邏輯推理素養(yǎng)主要表現(xiàn)關(guān)于歸納推理的部分.這并不代表全面的數(shù)學(xué)歸納推理能力,而是強(qiáng)調(diào)在高中數(shù)學(xué)教育階段,對學(xué)生數(shù)學(xué)歸納推理能力的發(fā)展起關(guān)鍵作用的不可或缺成分.主成分有利于教師在有限的時間內(nèi)對學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納推理行為做出快而準(zhǔn)的觀察與分析,發(fā)現(xiàn)學(xué)生的薄弱之處,從而有針對性地引導(dǎo)學(xué)生排除障礙;另一方面,面面俱到地評價學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納推理能力,是困難的、不切實(shí)際的,而數(shù)學(xué)歸納推理能力的主成分可以為教師提供幾個重要方面,著手評價.

    (2)聚類得到數(shù)學(xué)歸納推理能力的表現(xiàn)層次,體現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知的規(guī)律性

    數(shù)學(xué)歸納推理能力的三個層次是針對四個主成分進(jìn)行展開的,體現(xiàn)了學(xué)生不同歸納推理認(rèn)知階段的特點(diǎn),同時也顯示了學(xué)生的發(fā)展規(guī)律,由表象到本質(zhì),由簡單到復(fù)雜.例如,“分類”的層次揭示對事物認(rèn)識的深刻程度,依次為:不能發(fā)現(xiàn)兩類研究對象的關(guān)系、發(fā)現(xiàn)兩類研究對象的非本質(zhì)相似之處、發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)相似處或一致性.“比較遞推”的層次體現(xiàn)學(xué)生對簡單和復(fù)雜事物的解決順序,依次為:可分析簡單熟悉的特例、將簡單特例的情形遷移至其他特例、將特例推廣至一般情形.細(xì)化和補(bǔ)充“2017數(shù)學(xué)課標(biāo)”關(guān)于邏輯推理素養(yǎng)的水平劃分;有利于教師分層教學(xué),從而有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納推理能力.

    (3)分類是數(shù)學(xué)歸納推理能力基礎(chǔ)且重要的部分

    發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納推理能力時,注重“分類”成分的基礎(chǔ)性是必要的.聯(lián)想類推的提升需要較強(qiáng)的分類.分類是在認(rèn)識事物的相似和差異的基礎(chǔ)上,對事物進(jìn)行歸類;聯(lián)想是通過熟悉的類別來思考一個新的類別,主要聯(lián)系這兩個類別的相似性.本研究結(jié)論發(fā)現(xiàn),學(xué)生對事物的分類較弱時,其聯(lián)想類推也較弱;當(dāng)分類的水平較強(qiáng)時,對聯(lián)想類推的影響不明顯.這現(xiàn)象反映,在進(jìn)行類比推理初期,學(xué)生更需要學(xué)會如何分類;分類到達(dá)較好的水平時,學(xué)生學(xué)習(xí)如何聯(lián)想更有利于提高類比的能力,例如主動聯(lián)想、相似聯(lián)想和大跨度聯(lián)想.也即,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納推理能力并不是一蹴而就的,需講究策略.

    總之,數(shù)學(xué)歸納推理能力研究可進(jìn)一步推動數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的進(jìn)展,但仍需從理論和實(shí)踐兩方面相互推進(jìn).本文的四個主成分呈現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要思維方式,例如,抓住問題的本質(zhì)、建立待解決問題與熟悉問題的聯(lián)系、用質(zhì)疑的眼光看待問題等,與數(shù)學(xué)“三會”相一致,是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的具體體現(xiàn).主成分下的三個層次水平不局限于數(shù)學(xué)知識考核,轉(zhuǎn)而關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與思維過程,朝著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測評的方向前進(jìn).朱立明[20]提到,深入數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的結(jié)構(gòu)關(guān)系是其研究趨勢之一,目前關(guān)于內(nèi)涵、要素、測評等研究方面仍處于淺層階段,需要不斷挖掘與驗(yàn)證.因此,本文不僅補(bǔ)充和豐富邏輯推理素養(yǎng)的研究,也進(jìn)一步推動數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的進(jìn)展.未來,這四個主成分的創(chuàng)新方面也是今后進(jìn)一步的研究方向.創(chuàng)造性的概括、類比和模式對創(chuàng)新的歸納推理至關(guān)重要[21].什么是創(chuàng)造性的分類、聯(lián)想類推、比較遞推和新穎的檢驗(yàn)猜想思路,仍值得研究,這對于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造能力具有重要作用.又如,分析學(xué)生在各種歸納推理任務(wù)情境下的表現(xiàn),可以更好地補(bǔ)充和完善數(shù)學(xué)歸納推理能力的主成分.

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