也論形式主義與多宇宙觀

楊睿之

什么樣的數(shù)學(xué)研究是值得做的，什么樣的數(shù)學(xué)定理是好的數(shù)學(xué)研究成果?這顯然不是一個數(shù)學(xué)問題。但數(shù)學(xué)工作者對這個問題的看法無疑會影響他的研究志趣，進而影響他的具體工作，而數(shù)學(xué)家共同體對這個問題看法的分布則會影響數(shù)學(xué)這門學(xué)科的發(fā)展趨勢。按照典型的形式主義數(shù)學(xué)哲學(xué)的解讀，所有的數(shù)學(xué)研究都可以被看作是在某個給定的形式化公理系統(tǒng)中做證明。而一般認(rèn)為，該公理系統(tǒng)的定理集是能行可枚舉的（詳見后文），即，存在一個計算機程序來枚舉該公理系統(tǒng)所有可能的定理。然而，幾乎沒有人認(rèn)為數(shù)學(xué)工作應(yīng)該是這樣的。即使利用程序輔助尋找證明，數(shù)學(xué)工作者也至少需要解讀、挑選有意義的結(jié)果。因此，這個并非數(shù)學(xué)問題的問題卻與幾乎所有數(shù)學(xué)工作者的研究工作密切相關(guān)，難以回避。如果承認(rèn)對該問題以及相關(guān)問題的回答并非完全主觀任意，而是存在主體間就這些問題相互交流、考量、評判并形成共識的空間，那么數(shù)學(xué)哲學(xué)便是可能的了。

從早期以希爾伯特為代表的經(jīng)典形式主義到科恩等人關(guān)于公理化集合論的形式主義，形式主義在現(xiàn)代數(shù)學(xué)哲學(xué)的討論中一直在場。然而，自從哥德爾的兩個不完全性定理的發(fā)現(xiàn)揭示希爾伯特形式主義原版的研究綱領(lǐng)不可實現(xiàn)，形式主義在嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)哲學(xué)討論中始終處于相對弱勢的地位。盡管如此，形式主義對數(shù)學(xué)工作者仍然有著強烈的吸引力，盡管這一吸引力主要來自可以回避進一步的追問。正如Reuben Hersh寫道：“典型的‘?dāng)?shù)學(xué)工作者’是工作日的柏拉圖主義者，又是星期日的形式主義者?！盵1]

集合論多宇宙觀（set-theoretical multiverse view）是近年來興起的區(qū)別于集合論單宇宙觀（universe view）的集合論哲學(xué)觀點。后者是數(shù)學(xué)柏拉圖主義在集合論被廣泛接受為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)這一語境下的具體實現(xiàn)，即認(rèn)為存在唯一典范的集合概念以及由滿足這一概念的所有集合組成的集合論宇宙，集合論語言中的任何一則命題關(guān)于這個集合論宇宙的描述要么是真的要么是假的。集合論多宇宙觀則基于人們從構(gòu)造內(nèi)模型、力迫擴張及非標(biāo)準(zhǔn)模型以及在這些模型中“工作”的強健經(jīng)驗，宣稱存在許多不同的集合概念或集合論宇宙。筆者曾在《集合論多宇宙觀述評》中論證，集合論多宇宙觀要么是一種形式主義，要么是與傳統(tǒng)柏拉圖主義或集合論單一宇宙觀相容的[2]。

裘江杰在《集合論多宇宙觀與形式主義》中試圖把形式主義重新詮釋為一種本體論中立的，并且有助于推動數(shù)學(xué)實踐的數(shù)學(xué)哲學(xué)立場[3]。同時，裘江杰認(rèn)為集合論多宇宙觀可以被納入這樣一種形式主義立場，并且正是在這種形式主義的框架下體現(xiàn)出其對數(shù)學(xué)實踐的正面影響。由此，進一步佐證了這種本體論中立的形式主義對數(shù)學(xué)實踐是有益的。

在本文中，筆者試圖挑戰(zhàn)裘江杰的上述觀點。在第一節(jié)中，筆者擬論證數(shù)學(xué)哲學(xué)的形式主義是無法真正做到本體論中立的。在第二節(jié)中，筆者將針對性地討論形式主義就推動數(shù)學(xué)實踐而言的局限性。在除去結(jié)論的最后一節(jié)中，筆者將結(jié)合一些新結(jié)果再次審視圍繞集合論多宇宙觀的集合論研究與有關(guān)數(shù)學(xué)哲學(xué)立場的關(guān)系，試圖展現(xiàn)集合論多宇宙觀獨立于形式主義的價值。

一、形式主義不是本體論中立的

在《集合論多宇宙觀與形式主義》中，裘江杰承接科里（Haskell Curry）的形式主義立場，認(rèn)為形式主義應(yīng)該是本體論中立的，它不在形而上學(xué)上做任何假設(shè)，并且形式主義并不拘泥于特定的形式化系統(tǒng)。特別地，他們認(rèn)為形式主義不應(yīng)該受到希爾伯特所謂有窮數(shù)學(xué)的掣肘。但這種形式主義仍然要求形式系統(tǒng)滿足一定的可接受條件，其中包括一致性，卻不要求一個一致性證明。此外，裘江杰和科里都認(rèn)為關(guān)于這些形式系統(tǒng)的“元數(shù)學(xué)”研究是重要的。

在本節(jié)中，筆者首先試圖論證任何有意義的形式主義都無法做到真正的本體論中立。同時，筆者也試圖解釋，希爾伯特關(guān)于形式主義“元數(shù)學(xué)”必須是有窮數(shù)學(xué)的限制性立場為何不能任意放寬。

在后人的解釋中，一般認(rèn)為希爾伯特的形式主義不是本體論中立的。他將數(shù)學(xué)分割為可靠的有窮數(shù)學(xué)（finitary mathematics）以及其一致性有待證明的經(jīng)典數(shù)學(xué)，后者包括康托爾發(fā)明的集合論。的確可以說，希爾伯特本人關(guān)于包括集合論在內(nèi)的經(jīng)典數(shù)學(xué)的本體論問題試圖展現(xiàn)一種中立的立場，或者說試圖懸置抽象實體或無窮集合是否存在的問題。同時，希爾伯特捍衛(wèi)數(shù)學(xué)工作者在“康托爾的樂園”中自由探索的價值，其手段就是將這部分?jǐn)?shù)學(xué)形式化，并在可靠的有窮數(shù)學(xué)中證明這個形式化了的公理系統(tǒng)是一致的。這就是所謂的希爾伯特綱領(lǐng)（Hilbert’s Program）。我們知道，希爾伯特綱領(lǐng)因為哥德爾不完全性定理而注定無法在其原本意義上實現(xiàn)，但是希爾伯特形式主義乃至后哥德爾定理的希爾伯特形式主義變種在本體論上對數(shù)學(xué)進行區(qū)分的做法是一以貫之的。希爾伯特式的形式主義可以懸置那部分需要通過形式化方案來捍衛(wèi)的數(shù)學(xué)的本體論問題，但要求對這部分?jǐn)?shù)學(xué)的形式化給出一致性證明。這一立場意味著他們必須認(rèn)為其所期望的一致性證明是可靠的，或在某種意義上是真的。無論這種一致性證明是基于有窮數(shù)學(xué)或其他構(gòu)造主義數(shù)學(xué)的證明，他們必須或假設(shè)或嘗試論證這部分?jǐn)?shù)學(xué)是有意義的，它們對應(yīng)著某種可靠的信念或具體的客觀概念。

例如，竹內(nèi)外史在《證明論》中為ε0下歸納原理所作的辯護①ε0是一個可數(shù)無窮的序數(shù)，它是序數(shù)序列ω,ωω,ωωω……的極限。根岑（Gerhard Gentzen）基于ε0下的歸納原理證明了皮亞諾算術(shù)的一致性。這被認(rèn)為是希爾伯特綱領(lǐng)在哥德爾定理之后最重要的成就，也是現(xiàn)代證明論的開端。參見Takeuti G.,Proof Theory,2nd ed.,New York:Dover Publication,2013,第11節(jié)。。他定義了序數(shù)的可及性（accessible）概念來描述人們可以“切實地看到”或“構(gòu)造性地證明”可及序數(shù)下的每個嚴(yán)格下降鏈都是有窮的。他試圖論證，可及性在序數(shù)加法、乘法甚至冪運算下保持不變，從而證明ε0下的序數(shù)都是可及的。竹內(nèi)外史宣稱基于可及序數(shù)下的歸納原理相比完全的集合論是有窮主義的，相比直覺主義中抽象的“構(gòu)造”“證明”概念又更加具體。因而，這是所謂“希爾伯特—根岑有窮主義立場”可以接受的數(shù)學(xué)命題。

再如，哥德爾對他的T系統(tǒng)的辯護。在《論一種迄今未用過的有窮主義觀點的擴張》中，哥德爾描述了一個擴張了有窮主義限制的系統(tǒng)T，并證明了直覺主義算術(shù)相對于該系統(tǒng)的一致性[4]。哥德爾試圖讓讀者相信，T系統(tǒng)基于的“自然數(shù)上的有限類型的可計算函數(shù)”概念是一個相比ε0更具體的、“意義清晰的”概念。讀者可以在《哥德爾在構(gòu)造主義數(shù)學(xué)方面的工作》中找到簡要的介紹[5]。

在希爾伯特形式主義及其變種中，數(shù)學(xué)被劃分為可靠的部分與“理想”的部分。這種立場的支持者有義務(wù)澄清劃分的具體位置，并為這種劃分辯護。對劃分的辯護可能暗含在對可靠部分可靠性的辯護中。這種“區(qū)別對待”本身揭示了形式主義者對關(guān)于“理想”數(shù)學(xué)的本體論地位的看法，它顯然不是中立的。

前希爾伯特的形式主義者或許可以聲稱他們對所有數(shù)學(xué)一視同仁。一些前希爾伯特的（往往是非自覺的）形式主義立場的確沒有對數(shù)學(xué)做類似的劃分，它們斷言所有數(shù)學(xué)都是無意義的。例如游戲形式主義，認(rèn)為數(shù)學(xué)工作者只是根據(jù)給定的游戲規(guī)則進行操作。但即使極端的游戲形式主義者也不得不承認(rèn)，關(guān)于他們所玩的游戲規(guī)則是否和諧的問題是有意義的。人們顯然不會認(rèn)為，一個已知走某步就定勝負(fù)（如證明出矛盾從而可以證明所有命題）的游戲是值得玩的。而在希爾伯特之后，人們逐漸厘清了那些數(shù)學(xué)游戲的規(guī)則，形成了明確定義的數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)，并借助于哥德爾編碼等技巧，將關(guān)于游戲規(guī)則的問題明確地翻譯成了對應(yīng)的算術(shù)問題。正如人們很難拒絕承認(rèn)圖靈機可計算是對能行可計算概念的正確刻畫。一旦這樣的工具出現(xiàn)在眼前，人們就很難再拒絕承認(rèn)這些翻譯的正確性，這些關(guān)于游戲規(guī)則的問題就是數(shù)學(xué)問題，而且這些數(shù)學(xué)問題是有意義的。因此，希爾伯特式的形式主義對數(shù)學(xué)基于本體論地位的劃分對一般的形式主義而言也是難以避免的。

或許，形式主義者可以聲稱所謂的本體論中立僅僅是指“理想元”部分的本體論中立。例如，作為哥德爾定理之后的形式主義者，科里不要求對公理系統(tǒng)的一致性證明。因此，也不需要承認(rèn)一個用以證明一致性的具有更高本體論地位的“元數(shù)學(xué)”，盡管他仍然認(rèn)為一致性是形式系統(tǒng)重要的屬性。

希爾伯特所強調(diào)的正是一致性標(biāo)準(zhǔn)。這樣做的原因大概是他……在尋找一個先天的合法性證明。但是，且不論對物理來說，一個先天的合法性證明的問題是不相關(guān)的，我堅持認(rèn)為一個一致性證明既不是可接受性的必要條件也不是充分條件。它顯然不是充分的。至于必要性，只要沒有不一致性被認(rèn)識到，一個一致性證明盡管帶給我們關(guān)于系統(tǒng)的知識，但并不改變它的有用性。即使不一致性被發(fā)現(xiàn)，這也不意味著這一理論被完全拋棄，而是意味著它的修改與提煉……因此，希爾伯特在關(guān)于一致性方面的這一奇怪的立場并不是數(shù)學(xué)形式主義觀念的一部分。[6][7]166

科里不要求一個先行的一致性證明，這是對自弗雷格以來人們探索數(shù)學(xué)基礎(chǔ)基本動機的忽視。人們希望為數(shù)學(xué)尋找一個安全的基礎(chǔ)，或是邏輯或是形式化的公理系統(tǒng)，以避免可能的謬誤。弗雷格作為典型的實在論者可以不像希爾伯特那樣尋求一個有窮數(shù)學(xué)的一致性證明。因為在他看來：“公理不會彼此矛盾，因為它們是真的；而這不需要一個證明。”[8]這里的證明是指希爾伯特在《幾何基礎(chǔ)》中給出的相對一致性證明或是基于有窮數(shù)學(xué)的一致性證明。顯然，一則數(shù)學(xué)命題（在弗雷格看來是這則命題所表達的思想）作為公理仍然是需要辯護的，正如他在《算術(shù)基礎(chǔ)》中所做的工作那樣。無論希爾伯特的形式主義綱領(lǐng)、布勞威爾及其后繼者的直覺主義宣言還是引領(lǐng)當(dāng)代集合論研究的哥德爾綱領(lǐng)都繼承了自弗雷格以來的這一訴求?？评镌V諸物理學(xué)的比較來說明先天合法性證明是不需要的。然而在早已數(shù)學(xué)化了的物理學(xué)中，對一致性的辯護顯然是必要的。任何物理學(xué)理論被要求與其他理論和已知現(xiàn)象一致。例如，關(guān)于量子力學(xué)標(biāo)準(zhǔn)模型一致性的討論[9]。正是由于量子力學(xué)與廣義相對論之間顯然的沖突，人們清楚地意識到一個涵蓋所有四種基本力的萬物理論尚付闕如。因此，尋找一個兼容量子力學(xué)與相對論的一致的理論始終是理論物理學(xué)的核心問題。的確，無論在物理學(xué)還是數(shù)學(xué)實踐中，人們往往（甚至注定）是在某個理論的一致性證明或其他“安全保證”尚未確立的情況下工作于其中的。但這不妨礙這類基礎(chǔ)問題始終是數(shù)學(xué)、物理及其哲學(xué)的核心關(guān)切。而只要直面這一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題，無論柏拉圖主義者、直覺主義者還是形式主義者（正如前文所分析的）都無法做到所謂的本體論中立。

關(guān)于科里的形式主義立場，一個有趣的事實是，他非常重視關(guān)于形式系統(tǒng)的“元數(shù)學(xué)”，甚至以此為數(shù)學(xué)的本質(zhì)：“數(shù)學(xué)是關(guān)于形式系統(tǒng)的科學(xué)”[10]。他所關(guān)注的“元命題”主要是關(guān)于形式系統(tǒng)本身（諸如“命題x 是在形式系統(tǒng)X 中可證的”），以及形式系統(tǒng)之間關(guān)系（諸如，一個系統(tǒng)是另一個系統(tǒng)的子系統(tǒng)）這樣的命題。而“形式系統(tǒng)X 是一致的”無非是某個具體的謬誤（如0=1 或α∧?α）“不是在形式系統(tǒng)X 中可證的”。因此，無論科里對系統(tǒng)一致性證明持有怎樣的看法，他對所謂“元數(shù)學(xué)”地位的特別關(guān)注使他無法避免本體論上的二分立場。事實上，在關(guān)于數(shù)學(xué)的“形式主義”定義中，科里明確將“非構(gòu)造性命題排除在真正的數(shù)學(xué)的領(lǐng)域之外”。因為，“這些命題的真取決于與構(gòu)造主義命題中所蘊涵的形式不同的理想假設(shè)。”[10]56

科里在關(guān)于什么是“元數(shù)學(xué)”的界定中，的確還留下了進一步解釋的空間。他認(rèn)為“涉及關(guān)系到外在（extraneous，相對于形式系統(tǒng)本身而言）考量或無窮主義假設(shè)的元定理，例如對塔斯基和哥德爾關(guān)于一階謂詞邏輯完全性證明的語義研究”[10]也可以被算作元數(shù)學(xué)。筆者未能在科里的著作中找到關(guān)于這類元定理的明確例子。我們知道哥德爾完全性定理需要至少在二階算術(shù)語言中陳述，并且可以在二階算術(shù)公理系統(tǒng)WKL0中被證明。另一方面，我們不能無限擴大對這部分“元數(shù)學(xué)”的解釋。一般被認(rèn)為，下行的勒文海姆-斯寇倫定理是哥德爾完全性定理證明的推論。但其證明中使用了某種形式的選擇公理。準(zhǔn)確地說，在ZF 基礎(chǔ)之上，針對可數(shù)語言的下行的勒文海姆-斯寇倫定理與依賴選擇公理（dependent choice，DC）是等價的；而針對任意基數(shù)語言的下行的勒文海姆-斯寇倫定理與選擇公理等價[11]。顯然，科里不會承認(rèn)選擇公理是否為真也是他所謂的關(guān)于形式系統(tǒng)“元數(shù)學(xué)”的問題。

二、形式主義對數(shù)學(xué)實踐的影響

筆者在《結(jié)構(gòu)主義是一種有效的數(shù)學(xué)哲學(xué)嗎？》中質(zhì)疑結(jié)構(gòu)主義是有效的數(shù)學(xué)哲學(xué)[12]。在同樣的意義上，形式主義無疑是有效的數(shù)學(xué)哲學(xué)。希爾伯特的形式主義綱領(lǐng)直面數(shù)學(xué)工作者的困惑。無論是希爾伯特本人關(guān)于幾何的公理化工作，還是一階謂詞邏輯和集合論的公理化，抑或前文提到的根岑和哥德爾關(guān)于皮亞諾算術(shù)的一致性和相對一致性證明，都是在希爾伯特形式主義綱領(lǐng)啟發(fā)下的數(shù)學(xué)工作。在這個意義上，形式主義的確對數(shù)學(xué)實踐有著積極的影響。

裘江杰在《集合論多宇宙觀與形式主義》中認(rèn)為，元數(shù)學(xué)“作為對數(shù)學(xué)的反思性研究”是“形式主義的重要組成部分”，并且形式主義，尤其是被納入形式主義框架的集合論多宇宙觀有助于為集合論搜尋新公理。本節(jié)中，筆者則試圖說明：形式主義者尤其關(guān)注的元數(shù)學(xué)研究恰恰非常依賴超出形式主義的思想和直觀；而形式主義對探究集合論新公理的作用是有限的。

（1）?xφ(x)蘊含{σi:i∈We}=ZFC；

（2）ZFC+Con({σi:i∈We})??xφ(x)。

這里我們援引遞歸論中的術(shù)語，用We表示編碼為e 的圖靈機的定義域，或“第e 個遞歸可枚舉集”。我們說，ZFC 是一個遞歸可枚舉的（實際上是遞歸的）公理集，也即存在一個自然數(shù)d 使得ZFC={σi:i∈Wd}。所以事實陳述中的{σi:i∈We}=ZFC 實際上是We=Wd這樣一則一階算術(shù)命題。此外，Wd又可以被表示為一個遞歸函數(shù)δ的值域：Wd={δ(i):i∈N}。

事實的證明假設(shè)ZFC={δ(i):i∈N}。我們可以構(gòu)造一個部分遞歸函數(shù)Φe：

驗證（2）：我們在ZFC中工作，如果??xφ(x)，那么We中就包含0=1。因而，?Con(We)。證畢。

科里認(rèn)為，當(dāng)我們證明一個數(shù)學(xué)命題的時候，重要的是我們證明了這個命題在某個公理系統(tǒng)中可證這一元數(shù)學(xué)事實。一度作為ZFC形式主義②在典范翻譯下也是一則集合論語句，即把自然數(shù)集定義為第一個無窮序數(shù)ω，再以標(biāo)準(zhǔn)的方式定義其上的運算。者的謝赫拉（Saharon Shelah）在已知ZFC關(guān)于正則基數(shù)為指數(shù)的冪所知甚少的情況下，提議盡可能在ZFC中證明關(guān)于奇異基數(shù)為指數(shù)的冪的取值上限，并證明了著名的不等式：2?ω＜?ω4。證明使用了謝赫拉發(fā)明的相比基數(shù)冪運算更精細(xì)的共尾可能性理論（pcf theory），涉及在各種超積模型中可能的共尾數(shù)。這依賴于相當(dāng)深刻的集合直觀。盡管所有在ZFC公理系統(tǒng)中的證明自然都會有相應(yīng)的元定理作為副產(chǎn)品，但即使在ZFC形式主義者看來，他所證明的是一則關(guān)于集合的事實，而不是一則有窮的算術(shù)“元數(shù)學(xué)”命題。事實上，沒有人真正給出過見證ZFC?2?ω＜?ω4的形式化證明的編碼。

裘江杰在《集合論多宇宙觀與形式主義》中認(rèn)為形式主義能夠幫助探究集合論新公理。后者是哥德爾綱領(lǐng)的核心議題，也被認(rèn)為是柏拉圖主義面對不完全性現(xiàn)象的標(biāo)準(zhǔn)回應(yīng)。裘江杰寫道：“為獲得具有某種獨立性的常規(guī)數(shù)學(xué)結(jié)果所必須的命題可能可以作為新公理的候選。這一進路是形式主義的?！盵3]對這句話可以有兩種解讀。一種是，得到獨立性結(jié)果這種“元數(shù)學(xué)”結(jié)果所必須的命題可以作為新公理的候選；第二種是，要證明已知獨立命題（如獨立于ZF的CH）所必須的命題可以作為新公理的候選。已知的獨立性元數(shù)學(xué)結(jié)果（由一對相對一致性命題組成）往往是在弱如PRA這樣的有窮主義公理系統(tǒng)中可證的，并不需要什么擴張了現(xiàn)有集合論公理系統(tǒng)的新公理候選。因此，第一種解讀可以排除。關(guān)于第二種解讀，來自形式主義對新公理的要求是證明目標(biāo)已知獨立命題所必須的命題。筆者認(rèn)為，這是不合理的。按照哥德爾綱領(lǐng)對新公理的標(biāo)準(zhǔn)的討論，集合論新公理除了必須滿足符合我們關(guān)于集合概念的直觀這一內(nèi)在性要求，還應(yīng)該具有成果豐富性這一外在性要求，即可以加深我們關(guān)于集合論宇宙的理解。除去豐富性要求，最“安全的”新公理無疑是將目標(biāo)獨立問題或其否定本身作為新公理，這恰好符合形式主義者的上述要求。目前關(guān)于集合論新公理的主要候選理論（W.Hugh Woodin的終極L、力迫公理和內(nèi)模型假設(shè)）都有遠超連續(xù)統(tǒng)假設(shè)問題的豐富后承。又或許形式主義者思考的對新公理的探究是類似反推數(shù)學(xué)的工作，后者試圖厘清被廣泛接受的數(shù)學(xué)成果所需要的最小二階算術(shù)公理系統(tǒng)是什么。由此，構(gòu)造主義者可以在選擇他們所認(rèn)可的公理系統(tǒng)之前就了解他們能夠保留什么以及必須放棄什么。反推數(shù)學(xué)的一些工作的確被宣稱為希爾伯特綱領(lǐng)的部分實現(xiàn)[13]。但筆者認(rèn)為這類工作意義在于為部分懷疑論者在選擇可接受的極小系統(tǒng)時提供參考，所涉及的都是在柏拉圖主義者看來顯然成立的公理系統(tǒng)。它與為集合論乃至全部數(shù)學(xué)尋找新公理的哥德爾綱領(lǐng)的志趣相去甚遠。綜上，形式主義思想對探究新公理的作用十分有限。

三、集合論多宇宙觀與形式主義

筆者曾在《集合論多宇宙觀述評》中論證集合論多宇宙觀要么就是一種形式主義，要么與集合論單一宇宙觀相容[2]。近年來，圍繞集合論多宇宙觀的研究出現(xiàn)了更多的結(jié)果。這讓我們有理由再次審視集合論多宇宙觀是如何推動有關(guān)數(shù)學(xué)實踐的。本節(jié)中，筆者嘗試通過展示這些基于集合論多宇宙觀的新進成果以顯示形式主義的思想何以在其中缺位，相反它們的靈感仍然主要來自多宇宙觀與柏拉圖主義單一宇宙觀的對話。

近年來，與集合論多宇宙觀密切相關(guān)的成果中最引人注目的是薄葉季路在2017年證明的下述定理。

定理

（1）假設(shè)V滿足ZFC，那么V的地基是強向下直的（strongly downward directed）。即對任意索引集I和V的地基“集”{Ni}i∈I，存在V的地基N?i∈INi。

（2）假設(shè)集合論宇宙V中存在超巨基數(shù)（hyper-huge cardinal），那么V的地幔（mantle）就是V的地基（ground）[14]。

其中，我們稱V的一個內(nèi)模型M是V的地基，當(dāng)且僅當(dāng)V是M的一個集合力迫擴張，也即存在一個偏序P∈M以及一個(M,P)-泛型濾G 使得，V=M[G]。Richard Laver 和Woodin-Joel D.Hamkins 獨立證明了V的地基可以被統(tǒng)一地在V中參數(shù)定義。V的地幔被定義為V的所有地基的交。由于地基們可以被統(tǒng)一的參數(shù)定義，地幔也是V的一個可定義的子類。但地幔是一個ZFC 內(nèi)模型或進一步是V的地基并不是一個平凡的事實。

集合論地質(zhì)學(xué)（set-theoretic geology）由Gunter Fuchs、Hamkins 和Jonas Reitz 提出[15]，目的是研究V的地基組成的結(jié)構(gòu)，它可以被看作包含V的整個泛型復(fù)宇宙（generic multiverse）①認(rèn)為集合論（甚至一般數(shù)學(xué)工作）就是在ZFC這個公理系統(tǒng)中做證明，科恩（Paul Cohen）是其代表。基于這個立場，他認(rèn)為他關(guān)于連續(xù)統(tǒng)假設(shè)獨立性的證明已經(jīng)終結(jié)了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)問題，即它和它的否定都不可證。的一段向下的錐形（downward cone）子結(jié)構(gòu)，因而也是多宇宙觀框架下研究的一部分。其中的一個重要的問題是V的地基們是否是向下直的（downward direct，即V的任何兩個地基的交包含一個V的地基）或強向下直的。地基是向下直的對整個泛型復(fù)宇宙是很重要的性質(zhì)。如果V的地基是向下直的，那么V地幔就是一個力迫不變的概念，即，V的任意集合力迫擴張V[G]的地基仍然是V的地基。例如，可構(gòu)成集類L 和Woodin 設(shè)想的終極L 都是力迫不變的。并且V的地幔也是V的內(nèi)模型（V中可定義，V中傳遞，與V等高的ZFC 模型）。事實上，V的地幔是V的最大的力迫不變的內(nèi)模型。此外，V的地幔是V所在泛型復(fù)宇宙中任何一個宇宙的地幔，也是包含V的整個泛型復(fù)宇宙的交。由向下直性可以證明，泛型復(fù)宇宙中的任何兩個宇宙N0，N1之間可以通過先取一次地基再做一次力迫擴張從而兩步連接起來。

注意，我們?nèi)匀恍枰銐驈姷拇蠡鶖?shù)假設(shè)，也即在上述薄葉季路的第二個定理下，才能得到V的地幔也是V的一個地基，從而屬于包含V的泛型復(fù)宇宙。薄葉季路的第二個結(jié)論來自假設(shè)V中存在足夠強的大基數(shù)κ，那么V的任何地基都是通過一個＜κ的力迫得到V的。因此，V的地幔可以通過一步集合力迫得到V。他將這里的大基數(shù)假設(shè)進一步削弱為存在一個可擴張基數(shù)（extendible cardinal）[16]。每個超巨基數(shù)是可擴張基數(shù)的極限，它本身也是可擴張基數(shù)。在整個大基數(shù)強度層譜中，可擴張基數(shù)相比超緊基數(shù)并沒有強很多。Woodin 的終極L 計劃來自他的下述發(fā)現(xiàn)：對V中的存在的任何已知的大基數(shù)κ（可能遠強于超緊基數(shù)），如果N是V的一個超緊基數(shù)的弱張子模型（weak extender model），那么κ大基數(shù)性質(zhì)相對于N是絕對的。因此，如果我們能找到一個包含超緊基數(shù)的具有精細(xì)結(jié)構(gòu)的類似L 的弱張子模型（終極L），那么它也兼容任何V中存在的大基數(shù)。由此，假設(shè)V=終極L 在大基數(shù)層譜上不會損失任何解釋力強度。注意，薄葉季路的結(jié)果表明，如果存在可擴張基數(shù)κ，那么κ以上的大基數(shù)在整個泛型復(fù)宇宙中（相對地幔）是絕對的（無法通過Lévy力迫坍塌κ及以上的基數(shù)）。地幔的這個性質(zhì)與上述終極L的性質(zhì)相呼應(yīng)。加之，地幔本身是最大的力迫不變的（作為一種類似L 的性質(zhì)，Woodin 要求終極L 也是力迫不變的）內(nèi)模型，無怪乎Woodin 為這一結(jié)果歡呼并聲稱：“任何V=終極L 的公理候選都蘊含V就是泛型復(fù)宇宙的那個極小元②一般定義泛型復(fù)宇宙為一個集合論宇宙組成的類，它可以由其中任何一個集合論宇宙通過在取力迫擴張和地基下封閉得到。?！盵17]需要注意的是，根據(jù)Fuchs 等人的證明[15]，任何一個ZFC 模型可以是某個ZFC 模型的地幔。所以假設(shè)V=V的地幔并不能直接帶來多少有價值的推論，這與V=終極L 仍然相去甚遠。

另一個值得注意的有關(guān)多宇宙觀的進展來自Hamkins等人關(guān)于集合論潛在主義系統(tǒng)的模態(tài)邏輯刻畫。Hamkins 和Benedikt L?we 曾證明了ZFC 可證的力迫擴張關(guān)系的模態(tài)邏輯理論恰好是S4.2[18]。然而，Hamkins 主張的多宇宙觀遠不止由力迫法生成的泛型復(fù)宇宙。Hamkins 和Woodin 定義了一個普遍有窮集（universal finite set）{x:φ(x)}。φ是一個集合論Σ2公式，ZFC可證它定義的集合是有窮的[19]。而如果它在某個可數(shù)ZFC 模型M中定義了一個有窮集合y∈M，那么對任何有窮z∈M都存在M的一個頂擴張N使得{x∈N|φN(x) }=z。這里，我們稱N是M的一個頂擴張（top-extension），當(dāng)且僅當(dāng)M是N的子模型，并且每個N?M中的元素在N中馮諾依曼層譜上的秩（rank）都在M中的每個序數(shù)之上。利用普遍有窮集在諸頂擴張中可以被任意擴張，可以構(gòu)造一系列“鐵路開關(guān)”（railway switches）。即一系列集合論語句σ，使得◇□σ和◇□?σ都成立，同時□σ和□?σ都尚未成立。這里◇σ在某個集合論模型上成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在它的一個滿足σ的頂擴張。這些“鐵路開關(guān)”的存在導(dǎo)致.2公式◇□σ→□◇σ無法成立。由此可以證明由可數(shù)集合論模型在頂擴張關(guān)系下生成的潛在系統(tǒng)（potentialism system，也是整個集合論復(fù)宇宙的一個子結(jié)構(gòu)）的模態(tài)理論恰好是S4，也即任何一個潛在系統(tǒng)模態(tài)理論的下界。

薄葉季路的結(jié)果同時被作為單一宇宙觀代表的Woodin 以及作為多宇宙觀代表的Hamkins 喝彩。前者將其看作是一個非常強烈的信號，指示存在著典范的集合論宇宙，它同時具有力迫不變性和保持對大基數(shù)的解釋力這兩條良好的性質(zhì)。后者將其視作對集合論復(fù)宇宙研究的一個典范成果，它大幅推進了我們對ZFC泛型復(fù)宇宙結(jié)構(gòu)的理解，同時他又沒有削減這個復(fù)宇宙的豐富性（任何ZFC模型都可以是地幔）。Hamkins 關(guān)于基于頂擴張的潛在系統(tǒng)模態(tài)性質(zhì)的研究與他關(guān)于其他集合論復(fù)宇宙子結(jié)構(gòu)的研究一樣，意在展示復(fù)宇宙的豐富性與復(fù)雜性。為了維持實在論的立場同時擺脫傳統(tǒng)單一宇宙觀的統(tǒng)領(lǐng)，集合論多宇宙觀的擁護者總試圖通過展示復(fù)宇宙的豐富性來揭示人們關(guān)于“集合”的概念是不清晰的，甚至并不存在“真正的集合概念”?？梢?，有關(guān)集合論多宇宙觀的研究仍然緊密圍繞著這些經(jīng)典的本體論問題。在其中，來自形式主義的啟發(fā)、助探和事后的解釋是缺位的。

四、結(jié)論

自哥德爾不完全性定理至今，形式主義作為一種在數(shù)學(xué)工作者共同體中被廣泛接受的數(shù)學(xué)哲學(xué)立場，在嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)哲學(xué)的思考與討論中始終處在邊緣地位，除了受希爾伯特綱領(lǐng)啟發(fā)而發(fā)展起來的證明論研究，這種往往被用來躲避哲學(xué)討論的消極立場并沒有為數(shù)學(xué)實踐帶來更多的啟發(fā)，這一狀況在有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的最新研究進展中也沒有顯著改善，形式主義的擁護者需要拿出更具體且具有吸引力的研究綱領(lǐng)才能使這種經(jīng)典的數(shù)學(xué)哲學(xué)立場重獲生機。

反觀集合論多宇宙觀自提出以來明顯推動了集合論的有關(guān)研究，薄葉季路的工作不僅對集合論多宇宙觀本身，而且對集合論和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究整體有著可觀的推動作用。圍繞集合論多宇宙觀的這些結(jié)果訴說著多宇宙觀這種基于集合論研究實踐產(chǎn)生的新興的數(shù)學(xué)哲學(xué)立場超出形式主義的價值。