優(yōu)化“分與合”數(shù)學(xué)解題策略

趙寧

【摘要】本文論述優(yōu)化“分與合”的數(shù)學(xué)解題策略，引導(dǎo)學(xué)生在筆算乘法運(yùn)算法則中，感受“先分后合”的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想、理解算法、優(yōu)化計算方法;利用分與合數(shù)學(xué)解題策略解決平面圖形中的復(fù)雜問題，為學(xué)習(xí)高階數(shù)理化知識做鋪墊。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想 分與合 建構(gòu)模型

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）13-0139-03

數(shù)學(xué)解題策略是人們?yōu)閷?shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題目標(biāo)而確定的具體方法，是更重要、更高級的思維能力。和其他事物一樣，數(shù)學(xué)解題策略有著內(nèi)在的規(guī)律性。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)是提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)，而教師指導(dǎo)學(xué)生掌握一些數(shù)學(xué)解題策略，則能幫助學(xué)生提高分析問題、解決問題的能力。以下，筆者就如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會用“分與合”的數(shù)學(xué)解題策略去分析數(shù)學(xué)問題，談?wù)劸唧w的策略。

一、探究筆算乘法的運(yùn)算法則

（一）口算中體現(xiàn)“先分后合”，感受轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想

人教版四年級上冊教材中，第四單元《三位數(shù)乘兩位數(shù)》例1充分運(yùn)用了分與合的數(shù)學(xué)解題策略，教師要利用好教材，引導(dǎo)學(xué)生熟悉這一數(shù)學(xué)解題方式。

例1.李叔叔從某城市乘火車去北京用了12小時，火車每小時行145千米。該城市到北京有多少千米？

在學(xué)生正確列式“145×12=? ?”后，筆者先讓學(xué)生進(jìn)行口算。學(xué)生經(jīng)過思考，得出：

把12分成10和2。

2×145=290（千米）

10×145=1450（千米）

290+1450=1740（千米）

學(xué)生口算的過程就是一種解題策略——先分后合，即把12分成10和2，分別去乘三位數(shù)145，然后把兩次乘得的積合起來，得出問題的答案。運(yùn)用這種策略，也是實(shí)施了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，把新知識轉(zhuǎn)化為舊知識，易于學(xué)生理解和吸收。

學(xué)生在口算過程中體驗(yàn)到了“先分后合”方式給解決問題帶來的便利，從中體會到了成功的快樂。

（二）筆算中學(xué)習(xí)“先分后合”，理解算理、掌握算法

筆者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法自主探究，目的是讓他們充分利用已有的知識經(jīng)驗(yàn)（兩位數(shù)乘兩位數(shù)）探求新知。雖然大部分學(xué)生都能夠正確計算出得數(shù)，但也要讓他們在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行方法內(nèi)化。

總結(jié)三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算的方法是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，教師要讓學(xué)生充分地理解與掌握。對此，可以適時提問：145×12你是怎樣筆算的？

學(xué)生答：相同數(shù)位要對齊，從個位乘起，先用兩位數(shù)12中個位上的2去乘145，得出290個一，得數(shù)的末位要與因數(shù)的個位對齊;再用兩位數(shù)12中十位上的1去乘145，得出145個十，得數(shù)的末位要與因數(shù)的十位對齊;最后把兩次乘得的積加在一起。

根據(jù)學(xué)生的回答，筆者適時總結(jié)：145×12在筆算時，把12分成2和10，也就是把12小時分成了2小時和10小時。先用兩位數(shù)中個位上的2去乘145，計算出火車2小時的路程;再用兩位數(shù)中十位上的1去乘145，計算出火車10小時的路程;最后把兩次乘得的積合起來，算出火車12小時的路程?？梢?，乘法筆算的過程體現(xiàn)了“先分后合”的數(shù)學(xué)解題策略。

（三）學(xué)會“先分后合”，優(yōu)化計算方法

“先分后合”數(shù)學(xué)解題策略的運(yùn)用為學(xué)生解決了數(shù)學(xué)計算的難題。有的學(xué)生在列豎式時，把兩位數(shù)放在上面、三位數(shù)放在下面，發(fā)現(xiàn)了把145分成5、40和100時，分得的數(shù)多了一個，計算的步驟也多出一步，這樣計算起來比較麻煩。由此得出：將位數(shù)少的那個數(shù)作為要分的數(shù)，計算起來步驟少且簡便?？梢?，“分與合”也能優(yōu)化算法，使學(xué)生少走“彎路”。

（四）感受“先分后合”，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系

筆者接下來讓學(xué)生觀察兩組算式并進(jìn)行比較。一組是三位數(shù)乘兩位數(shù)的口算與筆算;一組是兩位數(shù)乘兩位數(shù)與三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算。學(xué)生通過仔細(xì)對比發(fā)現(xiàn)：三位數(shù)乘兩位數(shù)的口算與筆算，都是把12小時分成2小時和10小時，分別去乘三位數(shù)，然后把兩次乘得的積合起來，即運(yùn)用了“先分后合”的解題策略。

第一組：? ? ? （口算）? ? ? ?（筆算）

把12分成10和2

2×145=290（千米）

10×145=1450（千米）

290+1450=1740（千米）

第二組：? ?（兩位數(shù)乘兩位數(shù)）? （三位數(shù)乘兩位數(shù)）

兩位數(shù)乘兩位數(shù)與三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算時，也是把第二個因數(shù)分成幾個一和幾個十，分別去乘第一個因數(shù)，然后把兩次乘得的積合起來，還是運(yùn)用了先分后合的數(shù)學(xué)解題策略。學(xué)生通過觀察兩組算式的特點(diǎn)，解釋了科學(xué)計算的合理性，解題時有規(guī)律可循、有方法可依。

（五）運(yùn)用“先分后合”，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

利用好分與合的數(shù)學(xué)解題策略，就可以讓學(xué)生學(xué)一道題、解決一類題。如：1145×12，學(xué)生自然迎刃而解：把12分成2和10，先用2去乘1145，再用10去乘1145，最后把兩次乘得的積加起來。筆者再出示題目：11145×12，學(xué)生很快說出了方法。學(xué)生在“解決具體問題—抽象出數(shù)學(xué)模型—解釋并說明模型—用模型解決問題”這一系列的數(shù)學(xué)活動中，建立初步的模型化數(shù)學(xué)思想方法。一旦學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思維建立起來，這類題目的框架就會根植學(xué)生的腦海中。

（六）學(xué)習(xí)格子乘法，深化“先分后合”

課的結(jié)尾，筆者引導(dǎo)學(xué)生觀看15世紀(jì)意大利的一本算術(shù)書介紹的“格子乘法”，如下圖所示。

格子乘法，顧名思義，是用方格進(jìn)行乘法計算。如果是兩位數(shù)乘兩位數(shù)就打2×2的格子，如果是三位數(shù)乘兩位數(shù)就打3×2的格子，以此類推。把因數(shù)分別寫在格子的上方和右側(cè)，使格子和數(shù)字對齊。先用最高位上的兩個數(shù)字相乘，得數(shù)分別寫在第一格的左上角和右下角;再用第一個因數(shù)最高位上的數(shù)和第二個因數(shù)次高位上的數(shù)相乘，得數(shù)分別寫在第二格的左上角和右下角，依次算下去;最后把格子左斜線上的數(shù)加起來，寫在格子的左邊和下邊，依次把數(shù)字連在一起，就是乘得的積。

學(xué)生通過看視頻感受到了格子乘法的奇妙，也發(fā)現(xiàn)意大利的格子乘法與我們本節(jié)課學(xué)習(xí)的筆算一樣，都體現(xiàn)了先分后合的解題策略?！跋确趾蠛稀钡臄?shù)學(xué)解題策略有規(guī)律可循，學(xué)生在解題過程中明白了筆算三位數(shù)乘兩位數(shù)每一個步驟的意義，理解了算理，又掌握了算法，從中形成了合理、靈活的計算能力，而且培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)感、分析綜合能力及推理能力。

二、解決平面圖形中的復(fù)雜問題

（一）數(shù)一數(shù)，下圖中有幾條線段

剛開始接觸這樣的題目時，學(xué)生都感覺無從下手，被這個四邊形中復(fù)雜的端點(diǎn)所迷惑。首先，筆者先幫助學(xué)生梳理思路、看懂圖意，明確線段的特征是有2個端點(diǎn)，兩點(diǎn)之間就有一條線段。其次，把這個四邊形分成幾大塊，學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)，可以將四邊形分成三部分：第一部分是四邊形的四條邊，第二部分是四邊形中的一條對角線，第三部分是四邊形中的另一條對角線。這樣就是把四邊形分成6條線段，這個四邊形的四條邊都有一個共同的特點(diǎn)，就是有3個端點(diǎn)，每條邊有幾條線段，可以列式為2+1=3（條），共有四條邊，那就是3×4=12（條）。再看其中一條對角線，上面有四個端點(diǎn)，這條對角線上的線段可以列式為3+2+1=6（條）。學(xué)生馬上掌握了規(guī)律，把四邊形的每條邊和對角線都看作一條獨(dú)立的線段，有助于分析問題和解決問題。另一條對角線上面有五個端點(diǎn)，列式為4+3+2+1=10（條）。最后，把三部分中的得數(shù)加起來：12+6+10=28（條）。

通過這道題，學(xué)生明白了做這類題型的時候，要把多邊形拆分成獨(dú)立的線段，然后逐一計算出每條邊上的線段總數(shù)，最后把所有的線段數(shù)合在一起就得出了答案。這里也用到了重要的數(shù)學(xué)解題策略——先分后合。在平面幾何中，運(yùn)用“先分后合”的解題策略可以化難為易、化繁為簡，把復(fù)雜的知識簡單化。學(xué)生在解決問題的過程中體驗(yàn)到了成功的樂趣，有助于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高其數(shù)形結(jié)合的解題能力。

（二）求下列圖形中陰影部分的面積

這是一個組合圖形，求組合圖形的面積可以用分割法，就是把一個組合圖形根據(jù)它的特征和已知條件，分割成幾個簡單的規(guī)則圖形，分別算出各個圖形的面積，再求出它們的面積的和。從圖中我們可以看到，可以把這個組合圖形分割成1個正方形和2個長方形，分別算出它們的面積。

正方形的面積：3×3=9cm2

小長方形的面積：（9-3）×（9-3-3）=18cm2

大長方形的面積：9×3=27cm2

組合圖形的面積：9+18+27=54cm2

由這類題型可知，分割法是求不規(guī)則圖形的重要方法，恰當(dāng)?shù)姆指钅軌蜃審?fù)雜的題目迅速得解，而分割的宗旨就是先分成規(guī)則圖形，再把面積合在一起，體現(xiàn)“先分后合”的數(shù)學(xué)解題策略。

三、為學(xué)習(xí)高階的數(shù)理化知識做鋪墊

在小學(xué)階段，“湊十法”“乘法分配律”等數(shù)學(xué)方法，都暗含著“先分后合”的策略;而在初中階段，“拆分”與“合并”在代數(shù)式化簡中至關(guān)重要;到了高中階段，學(xué)生將要學(xué)習(xí)牛頓力學(xué)中的平拋運(yùn)動等。由此，小學(xué)階段的知識是基礎(chǔ)，學(xué)生只有打好“地基”，才能牢固“上層建筑”。從小學(xué)一年級起，數(shù)學(xué)教材就出現(xiàn)了“分與合”，主要是以數(shù)的組成呈現(xiàn)的，比如：10可以分成1和9，1和9組成10。“分與合”是重要基石，學(xué)生初步明確幾個數(shù)之間的關(guān)系，利用好“分與合”為后面學(xué)習(xí)加減法做好了充分的準(zhǔn)備，體現(xiàn)了整體與部分之間最基本的關(guān)系。

“分與合”是數(shù)學(xué)思想的起步階段，學(xué)好了這種數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生的思維能力會得到有效提升。教師在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，能夠系統(tǒng)整合學(xué)生的綜合能力，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中帶著數(shù)學(xué)的眼光去觀察、帶著數(shù)學(xué)思維去思考問題、用數(shù)學(xué)語言去交流總結(jié)，并在頭腦中形成數(shù)學(xué)模型，為學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識奠基，讓學(xué)生終生受益。

（責(zé)編 楊 春）