基于實時混合試驗誤差累積規(guī)律的時滯影響修正方法

周子豪，李 寧,2，李忠獻,2

(1.天津大學建筑工程學院/濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點實驗室(天津大學)，天津 300350；2.中國地震局地震工程綜合模擬與城鄉(xiāng)抗震韌性重點實驗室(天津大學)，天津 300350)

1969年日本東京大學Motohiko課題組實現(xiàn)了第一個混合試驗[1]，開啟了混合試驗方法的研究歷程。經(jīng)過30余年發(fā)展，混合試驗結(jié)構(gòu)劃分的試驗理念得到了廣泛認同：將試驗對象中本構(gòu)關(guān)系明確、易于模擬的部分劃分為數(shù)值子結(jié)構(gòu)，而試驗對象中難于建模卻又對整體結(jié)構(gòu)的響應(yīng)起到重要作用的部分劃分為物理子結(jié)構(gòu)，并在試驗室中進行試驗以獲得其實際的響應(yīng)。從擬動力混合試驗到快速擬動力混合試驗再到實時混合試驗，混合試驗的應(yīng)用愈發(fā)成熟。近十年來，涌現(xiàn)了許多實時混合試驗成果。Karavasilis等[2]利用實時混合試驗對基于性能抗震設(shè)計的裝有阻尼器的鋼框架進行了性能評估測試。Chen等[3]利用實時混合試驗對安裝大型磁流變阻尼器的鋼框架進行了分析。Shao等[4]對大型結(jié)構(gòu)的振動臺和作動器聯(lián)合實時混合試驗方法進行了研究。Sorkhabi等[5]利用實時混合試驗對TLD在地震作用下的性能進行了研究。Chen等[6]研發(fā)了實時混合試驗平臺，考慮了作動器、控制架構(gòu)、數(shù)值積分算法以及時滯補償?shù)?，并對大型實時混合試驗的多作動器時滯自適應(yīng)補償[7]進行了探索。Chae等[8]利用實時混合試驗對大型MR阻尼器控制策略進行了研究。Xu等[9]利用實時混合試驗對結(jié)構(gòu)主動控制性能進行了研究。Eem等[10]對MRE智能基礎(chǔ)隔振的性能進行了研究和評估。Asai等[11]利用實時混合試驗對高聳結(jié)構(gòu)智能外伸阻尼系統(tǒng)進行了研究。Saouma等[12]進了非延性混凝土結(jié)構(gòu)的實時混合試驗，并將實時混合試驗的結(jié)果與振動臺試驗進行了對比。Gao等[13]對多自由度實時混合試驗的一般流程進行了研究和試驗驗證。Cha等[14]對比了多種MR阻尼器半主動控制實時混合試驗結(jié)果和純模擬結(jié)果。Jiang等[15]針對復(fù)雜數(shù)值子結(jié)構(gòu)的情況開展了安裝MR阻尼器的橋梁實時混合試驗。

目前實時混合試驗幾乎都是在少數(shù)幾個設(shè)備精良的高校實驗室中完成的。這些試驗室中環(huán)境干擾少，試驗人員專業(yè)知識和試驗經(jīng)驗較豐富，能夠較好地對試驗的過程進行把控，對試驗中的不足可以及時發(fā)現(xiàn)和修正。還有一個重要的原因是，由于實時混合試驗需保證試驗過程的實時性，對實時機、控制器和作動器都有較高的要求，造成試驗設(shè)備的成本高，這在一定程度上也阻礙了實時混合方法的發(fā)展和應(yīng)用[16?17]。此外，隨著作動器最大負載的增加，要達到實時的難度也隨之增加。目前大部分實時混合實驗中物理子結(jié)構(gòu)依然是縮尺結(jié)構(gòu)模型。對大型的結(jié)構(gòu)而言，如橋墩、高層建筑等，體系并不復(fù)雜，僅僅是體形較大，受限于加載設(shè)備能力，致使實時混合試驗難于開展原型試驗。近幾年，隨著實時子結(jié)構(gòu)試驗技術(shù)和設(shè)備的發(fā)展，國內(nèi)外也出現(xiàn)了許多針對大型結(jié)構(gòu)的實時混合試驗，例如，Liu等[18]基于實時混合試驗探究了鋼筋混凝土薄壁高墩橋在地震作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)以及提出了該結(jié)構(gòu)失效模型預(yù)測方法；Wu等[19]進行了足尺鋼框架的界面模型更新的實時混合試驗；Mei等[20]進了高墩混凝土橋梁的基于模型更新的實時混合試驗。

為了保證實時混合試驗的實時性，問題主要集中在如何有效地對試驗中的時滯影響進行消除。在實時混合試驗中，相對于數(shù)值計算和數(shù)據(jù)傳輸?shù)臅r滯，作動器時滯是占主導地位的。為了消除時滯的影響，國內(nèi)外的學者進行了非常多的探索。其中代表性的有Horiuchi等[21]提出的多項式外插時滯補償方法、Chen[22]提出的一階反補償時滯補償算法以及Phillips等[23]提出的基于模型的時滯補償方法。筆者所在的科研團隊也在時滯補償算法的開發(fā)上做出了自己的貢獻。例如，將在線時滯預(yù)估[24]分別與多項式外插時滯補償[21]和一階反補償[22]相結(jié)合，提出了二階在線迭代時滯補償算法[25]以及自適應(yīng)時滯補償算法[26]；引入模型誤差提出了二階的基于模型的時滯補償方法[27]。但是，目前時滯補償算法依舊無法消除時滯，特別是對于高頻信號，補償?shù)男Ч匀徊焕硐搿?/p>

考慮到時滯普遍存在于實時混合試驗中，針對由于實驗設(shè)備性能限制或結(jié)構(gòu)負載較大而導致的時滯補償不理想等情況，本文提出了一種基于雙顯式數(shù)值積分算法誤差累積規(guī)律的試驗后時滯修正方法。可在試驗后對結(jié)果進行修正以消除時滯影響，降低試驗成本。首先，對雙顯示數(shù)值積分算法的誤差累積規(guī)律進行了探索，指出在實時混合試驗過程中，時滯導致的誤差是按照一定的規(guī)律進行累積傳播的；其次，根據(jù)得到的誤差累積規(guī)律提出了一種試驗后的時滯補償方法，在試驗后對試驗結(jié)果進行修正，以達到減小時滯影響的目的；最后對方法的有效性通過4種不同的物理子結(jié)構(gòu)工況進行了驗證。

1 數(shù)值積分算法的誤差累積規(guī)律

數(shù)值積分算法在實時混合試驗中是關(guān)鍵部分。物理子結(jié)構(gòu)的反饋進入數(shù)值子結(jié)構(gòu)之后，通過數(shù)值積分算法得到下一步的位移指令，進而發(fā)送到控制器驅(qū)動作動器運動。由于時滯的存在，在試驗過程中作動器的位置相對于位移指令滯后，導致物理子結(jié)構(gòu)反饋滯后，此時積分得到的結(jié)果也就必然與理想無時滯狀態(tài)存在誤差。因此，無時滯理想狀態(tài)下與有時滯狀態(tài)下數(shù)值子結(jié)構(gòu)計算的結(jié)果是不同的。無時滯、有時滯單自由度體系運動方程可寫為式(1)和式(2)。

雙顯式數(shù)值積分算法的通用表達式為式(4)、式(5)所示，速度和位移均為顯式遞推得出。

當數(shù)值積分算法分別在無時滯理想情況和有時滯情況下，可分別改寫為式(6)、式(7)及式(8)、式(9)。

式(8)減去式(6)，式(9)減去式(7)，得式(10)、式(11)。

式(10)、式(11)即為雙顯式數(shù)值積分的位移和速度誤差累積公式，其中：Ed、Ev和Ea分別表示位移誤差、速度誤差和加速度誤差?？梢钥吹剑浔磉_式與積分算法的形式是一致的，而且位移和速度的誤差累積公式是顯式的。將運動方程式(2)減去式(1)，可以得到式(12)、式(13)。

綜上所述，式(14)、式(15)及式(16)組成的方程組：

綜合上述的推導，將整體的修正過程總結(jié)如圖1所示。

圖1 試驗后修正方法框圖Fig.1 Flow chart of post-correction method

Gao等[28]對時滯試驗結(jié)果的影響進行了分析，其時滯微分方程列式如下：

令x=Asinωt，忽略Gao等[28]引入的幅值誤差，只考慮時滯，則xm=Asinω(t?δt)。其中：M、C、K分別為質(zhì)量、阻尼和剛度；下角標N、P分別代表數(shù)值和物理子結(jié)構(gòu)；x¨g為地震動加速度；xm為作動器量測位移；A和ω分別為結(jié)構(gòu)振動的幅值和頻率；δt為時滯。假設(shè)δt很小，將xm進行泰勒展開得式(22)～式(23)：

將其代入時滯微分方程得：

觀察式(25)，發(fā)現(xiàn)物理子結(jié)構(gòu)的剛度向運動方程中引入了負阻尼CKp=?KPδt，向系統(tǒng)中引入了能量，這與Horiuchi等[21]得到的結(jié)論一致。從式(25)還可以發(fā)現(xiàn)，物理子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量向運動方程中引入了正阻尼CMp=MPω2δt，耗散了系統(tǒng)的能量；物理子結(jié)構(gòu)的阻尼向運動方程中引入了負質(zhì)量MCp=?CPδt，向系統(tǒng)中引入了能量。

因此，當存在時滯時，物理子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量會增加系統(tǒng)的能耗、降低系統(tǒng)的能量；而物理子結(jié)構(gòu)的剛度和阻尼則會向系統(tǒng)中引入能量。故此，當物理子結(jié)構(gòu)質(zhì)量耗散的能量小于剛度和阻尼引入的能量時，實時混合試驗的結(jié)構(gòu)響應(yīng)要大于無時滯的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。因此，在物理子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量相對較小的情況下，可以在有時滯的實時混合試驗結(jié)果中找到無時滯條件下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。

至此得到應(yīng)用本文提出方法的第一個限制條件：物理子結(jié)構(gòu)質(zhì)量配比相對較小，并使得物理子結(jié)構(gòu)質(zhì)量耗散的能量小于物理子結(jié)構(gòu)剛度和阻尼引入的能量。這一點在實際的應(yīng)用中很容易滿足，其原因在于質(zhì)量帶來的慣性力可以比較準確的進行測量，且質(zhì)量在試驗過程中一般是不變的，其物理規(guī)律是比較清晰的。故在實時混合試驗中一般不會將質(zhì)量占總結(jié)構(gòu)比例非常大的構(gòu)件作為物理子結(jié)構(gòu)[29]。

圖2 搜索方式示意圖Fig.2 Schematic diagram of search method

3 模擬驗證

本文采用4種典型工況對所提出方法進行模擬驗證：物理子結(jié)構(gòu)分別為線性剛度、線性阻尼、非線性剛度及非線性阻尼構(gòu)件。其中非線性剛度構(gòu)件采用的是非線性彈簧[30]以及Bouc-Wen模型[31]，而非線性阻尼構(gòu)件則是采用MR阻尼器模型[32]。

首先，分析了時滯對試驗結(jié)果的影響。對于單自由度體系，取數(shù)值子結(jié)構(gòu)的MN、CN、KN分別為7 kg、36 (N·s)/m、100 N/m；物理子結(jié)構(gòu)的MP、CP、KP分別為3 kg、4(N·s)/m、900 N/m；引入如圖3所示的時滯量，根據(jù)目前作動器的性能，其時滯數(shù)值的取值在15/1024 s～25/1024 s波動；地震激勵為El-Centro波。有時滯與無時滯的模擬結(jié)果對比如圖4所示。有時滯情況得到的試驗結(jié)果與無時滯情況得到的試驗結(jié)果誤差如圖5所示。

圖3 人為引入時滯Fig.3 Artificially introduced time delay signal

圖4 有/無時滯試驗結(jié)果對比Fig.4 Test results with/without time delay

圖5 有時滯與無時滯試驗結(jié)果誤差Fig.5 Errorsbetween testing resultswith/without delay

3.1 線性剛度、阻尼構(gòu)件

表1 數(shù)值與物理子結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Parametersof numerical and physical substructures

從圖6～圖7可以看出，在時滯相同、物理子結(jié)構(gòu)為線性剛度的情況下，隨著物理子結(jié)構(gòu)剛度占總體剛度比例的增加，有時滯與無時滯試驗結(jié)果的位移、速度和加速度誤差呈近似指數(shù)增長。且通過上述的模擬結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，在相同的時滯條件下，隨著物理子結(jié)構(gòu)剛度占比的增加，有時滯與無時滯情況下的準確值相差越來越大。上述模擬的結(jié)果均為理想模擬得到，在實際的試驗過程中，由于環(huán)境噪聲、系統(tǒng)擾動等因素的干擾下誤差勢必會進一步增加。

圖7 線性阻尼物理子結(jié)構(gòu)修正前后誤差對比Fig.7 RMScomparison for linear damping physical substructure tests before and after correction

當物理子結(jié)構(gòu)為線性阻尼的情況下，隨著物理子結(jié)構(gòu)阻尼占總體阻尼比例的增加，有時滯與無時滯的試驗結(jié)果表明，位移、速度和加速度誤差同物理子結(jié)構(gòu)為線性剛度時都呈現(xiàn)出增大趨勢。當物理子結(jié)構(gòu)為線性剛度時，物理子結(jié)構(gòu)的剛度占總體結(jié)構(gòu)的比例為20%時，其RMS值已經(jīng)達到了400%，試驗結(jié)果已不具備任何參考價值；而當物理子結(jié)構(gòu)為線性阻尼時，物理子結(jié)構(gòu)的阻尼占總體結(jié)構(gòu)的比例為5%～80%，但是其RMS卻遠遠小于物理子結(jié)構(gòu)為線性剛度的情況。而且，物理子結(jié)構(gòu)為線性阻尼時，其占總體阻尼比例的增加對位移、速度和加速度的影響是依次遞增的，并不象物理子結(jié)構(gòu)為線性剛度時，物理子結(jié)構(gòu)剛度占比的增加對位移、速度和加速度誤差增速的影響是基本一致的。

3.2 非線性剛度構(gòu)件

對于非線性的剛度物理子結(jié)構(gòu)，我們采用了兩種不同的模型：1)高階非線性彈簧模型[30]，如式(27)所示；2) Bouc-Wen模型[31]如式(28)、式(29)所示。模型中物理子結(jié)構(gòu)和數(shù)值子結(jié)構(gòu)參數(shù)的取值見表2及表3。高階彈簧及Bouc-Wen模型的位移-力曲線如圖8所示，其中Bouc-Wen模型采用6種不同幅值的正弦激勵，A代表正弦激勵的幅值。

圖8 高階彈簧及Bouc-Wen模型特性Fig.8 Characteristicsof high-order spring and Bouc-Wen model

表2高階彈簧及Bouc-Wen模型參數(shù)Table2 Parametersof high-order spring and Bouc-Wen model

表3數(shù)值子結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 3 Parametersof numerical substructure

為了驗證算法的普適性，以及保證實時混合試驗的穩(wěn)定性，本文將物理子結(jié)構(gòu)的反饋力乘以一個系數(shù)之后再反饋到數(shù)值子結(jié)構(gòu)中，分別稱為高階彈簧系數(shù)及Bouc-Wen系數(shù)。隨著系數(shù)不斷增大，物理子結(jié)構(gòu)的剛度占總體剛度的比例不斷增加。圖9為有時滯情況下高階彈簧及Bouc-Wen模型修正前后的誤差(RMS值)對比。通過圖9可以發(fā)現(xiàn)，類似于線性剛度情況，時滯對于試驗結(jié)果的影響隨著物理子結(jié)構(gòu)的剛度占比增加而增加。而且，本文方法在物理子結(jié)構(gòu)為高階彈簧時表現(xiàn)出了與純剛度情況下一樣的準確性，這是因為物理子結(jié)構(gòu)為高階彈簧時，根據(jù)位移就可以準確地對應(yīng)其反饋力。其修正前、后的位移、速度和加速度誤差對比如圖10～圖12所示。

圖9 高階彈簧及Bouc-Wen模型修正前后誤差對比Fig.9 Error comparison of high-order spring and Bouc-Wen model before and after correction

圖10 修正前后誤差對比位移時程圖(系數(shù)0.8)Fig.10 Displacement comparison before and after correction(physical substructure:Bouc-Wen model,coefficient:0.8)

圖12 修正前后誤差對比加速度時程圖(系數(shù)0.8)Fig.12 Acceleration comparison beforeand after correction(physical substructure:Bouc-Wen model,coefficient:0.8)

圖11 修正前后誤差對比速度時程(系數(shù)0.8)Fig.11 Velocity comparison before and after correction(physical substructure:Bouc-Wen model,coefficient:0.8)

但物理子結(jié)構(gòu)為Bouc-Wen模型時，本文所提方法的誤差卻隨著系數(shù)的增加而不斷的增加。這主要是由于：1)Bouc-Wen模型的反饋力是由位移和速度共同決定，本文提出方法的適用條件之一是位移相關(guān)力或者速度相關(guān)力占據(jù)反饋力的主導地位，而Bouc-Wen模型反饋力由位移和速度共同決定的特性決定了根據(jù)位移對其反饋力進行確定會造成誤差；2)Bouc-Wen模型的滯回特性是造成誤差的另一個重要原因，本文提出的方法是根據(jù)位移和速度其中之一進行反饋力的修正，然而在位移曲線的拐點處，Bouc-Wen模型由于滯回的特性，即使位移大小一致，但在拐點前后所對應(yīng)的反饋力是不一致的，也會造成修正反饋力的誤差。但還是可以非常明顯地看到本文提出的算法對試驗結(jié)果的修正效果尚可。

3.3 非線性阻尼構(gòu)件

非線性阻尼構(gòu)建的模型采用的是Spencer提出的磁流變阻尼器模型[32]，其表達式如式(30)～式(32)所示，其模型如圖13所示，其在正弦激勵下的響應(yīng)如圖14所示，其中I為輸入磁流變阻尼器的電流。

圖13 磁流變阻尼器模型Fig.13 Magnetorheological damper model

圖14 磁流變阻尼器性能Fig.14 Performanceof magnetorheological damper

式中，α、c0、k0、k1、c1、γ、β、n和A為阻尼器模型的參數(shù)，如表4所示[34]。

表4 磁流變阻尼器模型參數(shù)Table 4 Parameters of magnetorheological damper

當物理子結(jié)構(gòu)為磁流變阻尼器時，同樣將其反饋力乘以一個系數(shù)，以此來調(diào)節(jié)物理子結(jié)構(gòu)在整體結(jié)構(gòu)中的占比。結(jié)果表明(如圖15所示)，本文修正方法可以較好地降低時滯引起的試驗誤差。由磁流變阻尼器的模型可知，模型中也存在Bouc-Wen模型，是位移和速度共同決定的。由于本文提出的方法不能同時根據(jù)位移或速度來完全準確的對反饋力進行修正，故修正結(jié)果的誤差隨著物理子結(jié)構(gòu)占比的增加而不斷增加，但總體而言其誤差還是較大幅度地降低了。

圖15 修正前后誤差對比Fig.15 Error comparison before and after correction

4 結(jié)論

實時混合試驗中，在線補償方法存在以下2個主要的問題：第一，在線時滯補償本質(zhì)上是一種預(yù)測方法，使得這種方式無法完全消除時滯，目前的時滯補償方法對于低頻信號能夠較好的補償，但是對高頻信號效果卻不理想，所以實時混合試驗中，時滯普遍存在，并對試驗結(jié)果產(chǎn)生影響；第二，實時混合試驗的實時加載，對加載設(shè)備和控制系統(tǒng)要求過高，對大型構(gòu)件，對加載能力要求較高，現(xiàn)有試驗條件很難或者需要付出巨大的經(jīng)濟成本才能達到實時要求。

針對上述問題，基于數(shù)值子結(jié)構(gòu)積分算法誤差累計規(guī)律提出了一種試驗后時滯修正方法，并進行線性剛度、阻尼、非線性剛度阻尼驗證，結(jié)論如下：

(1)該方法可同時對試驗的位移、速度和加速度結(jié)果進行修正；

(2)試驗后時滯修正方法的提出，允許在試驗的過程中存在一定的時滯，等于放寬了對于加載設(shè)備和控制系統(tǒng)的要求，一些性能稍顯不足的作動器也可以在保證試驗穩(wěn)定的情況下完成實時混合試驗，然后通過本文提出的方法對結(jié)果進行修正得到較為準確的結(jié)果。

(3)對于試驗后發(fā)現(xiàn)時滯補償效果并不理想的試驗，也可以通過本文提出的方法對結(jié)果進行修正，從而避免必須重復(fù)試驗的窘境，可以節(jié)約試驗成本。