基于多柔體動力學(xué)理論的接觸網(wǎng)找形方法

邱江洋，梅桂明，王江文，羅 群

(西南交通大學(xué)牽引動力國家重點實驗室，成都 610031)

列車在高速運行時穩(wěn)定的受流質(zhì)量是高速列車設(shè)計的一個重要因素，而直接影響受流質(zhì)量的就是受電弓與接觸網(wǎng)之間的接觸關(guān)系[1?2]。研究弓網(wǎng)系統(tǒng)之間的接觸關(guān)系則需要進(jìn)行弓網(wǎng)系統(tǒng)的動力學(xué)建模[3]。

在進(jìn)行動力學(xué)計算之前，動力學(xué)模型的初始條件及其重要，它直接影響著動力學(xué)模型的計算結(jié)果[4?5]。對于弓網(wǎng)系統(tǒng)也是一樣，接觸網(wǎng)的初始條件表征了接觸網(wǎng)系統(tǒng)在重力場、預(yù)張力和約束條件下的平衡構(gòu)型。國內(nèi)外眾多學(xué)者對接觸網(wǎng)系統(tǒng)的平衡構(gòu)型進(jìn)行了計算，利用懸鏈線方程[6?7]，將接觸網(wǎng)系統(tǒng)離散為懸鏈線單元，忽略結(jié)構(gòu)的抗彎剛度，對接觸網(wǎng)的平衡構(gòu)型進(jìn)行計算；類似的采用拋物線單元[8]，對簡單鏈型懸掛接觸網(wǎng)進(jìn)行離散，然后進(jìn)行平衡構(gòu)型的計算；意大利學(xué)者Bruni等[9]總結(jié)了全球10家致力于研究弓網(wǎng)關(guān)系的團(tuán)隊針對一個標(biāo)準(zhǔn)的弓網(wǎng)模型進(jìn)行的動力學(xué)計算，里面也包含了每個單位對于接觸網(wǎng)的找形方法。不難看出，從現(xiàn)有的接觸網(wǎng)建模技術(shù)來看[10?19]，針對接觸網(wǎng)找形問題，國內(nèi)外學(xué)者都是針對接觸網(wǎng)的有限元模型，對其平衡狀態(tài)下的系統(tǒng)廣義坐標(biāo)(或者還包括單元初始長度)進(jìn)行計算，而計算精度大多都依賴于接觸網(wǎng)離散模型的自由度，這也是傳統(tǒng)有限單元基于小變形假設(shè)所帶來得一個不可避免的問題。

多柔體動力學(xué)理論在經(jīng)過幾十年的發(fā)展后，在工程領(lǐng)域取得廣泛應(yīng)用。其中由Shabana[20]提出的絕對節(jié)點坐標(biāo)法(ANCF)，由于系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)直接采用節(jié)點的絕對位置矢量和絕對梯度矢量，由于將節(jié)點廣義坐標(biāo)中的梯度矢量替換了傳統(tǒng)有限單元的小轉(zhuǎn)動矢量，所以沒有轉(zhuǎn)動幅度的限制，因此在描述鐵路接觸網(wǎng)系統(tǒng)、電梯升降繩以及流體建模等[19,21?23]眾多柔性大變形問題具有很多優(yōu)勢。而基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)[20]的ANCF在描述其有限單元時，其單元的二階連續(xù)性能夠使系統(tǒng)有限元模型的維度大大降低，因此能更好地進(jìn)行有限元模型的動力學(xué)計算。

本文采用基于ANCF描述的多柔體動力學(xué)理論建立接觸網(wǎng)的有限元模型，接觸網(wǎng)由兩節(jié)點的ANCF索單元進(jìn)行離散，模型考慮了接觸網(wǎng)中的彎曲變形和軸向變形，考慮到接觸網(wǎng)中幾乎不存在扭轉(zhuǎn)變形，所以忽略了接觸網(wǎng)中的扭轉(zhuǎn)變形。由于接觸網(wǎng)系統(tǒng)是一種張緊的工程結(jié)構(gòu)，在找形分析中使單元的初始長度變化來滿足接觸網(wǎng)中的張力要求。并根據(jù)拉式方程推導(dǎo)了在索單元長度未知情況下的動力學(xué)模型，針對平衡構(gòu)型的計算問題，對動力學(xué)模型進(jìn)行退化處理。在引入未知單元長度的模型后，需要根據(jù)接觸網(wǎng)中的張力條件進(jìn)行補充方程，得到的接觸網(wǎng)平衡構(gòu)型的計算模型整體計算維度非常小，僅與每跨中的吊弦數(shù)量相關(guān)。最后通過3個數(shù)值算例，分別從單元穩(wěn)態(tài)構(gòu)型的計算、簡單接觸網(wǎng)穩(wěn)態(tài)構(gòu)型的計算以及工程應(yīng)用中的接觸網(wǎng)穩(wěn)態(tài)構(gòu)型的計算上驗證了本文找形方法的可行性。

1 ANCF基本動力學(xué)理論

1.1 單元長度未知的ANCF索單元理論

兩節(jié)點的ANCF索單元如圖1所示，其中心線上任意點P的絕對位置矢量可表示為：

圖1 兩節(jié)點索單元變形前后示意圖Fig.1 Deformed and un-deformed two-nodes cable element

式中：L為單元初始長度；l為任意點P在中心線上的弧長坐標(biāo)，滿足：

單元初始長度L為時變的未知量，定義單元初始長度L為：

單元的動能可表示為[24]：

單元勢能由應(yīng)變能和重力勢能組成：

1.2 索單元動力學(xué)方程

在引入約束條件下，由帶約束乘子的第一類拉格朗日方程建立索單元動力學(xué)方程：

由式(15)可推導(dǎo)得變長度索動力學(xué)模型的另一種表達(dá)形式：

1.3 動力學(xué)方程求解方法

式(16)是一組典型的微分-代數(shù)方程(DAEs)，本文采用經(jīng)典的增廣法[26]進(jìn)行求解，為了使解趨于穩(wěn)定，引入閉環(huán)系統(tǒng)：

對于多單元系統(tǒng)，采用傳統(tǒng)有限元共用節(jié)點組裝的方法，根據(jù)式(20)，即可求出系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)q、廣義速度q˙和廣義加速度q¨。

2 動力學(xué)模型退化的找形方法

2.1 平衡狀態(tài)下的動力學(xué)模型

第1節(jié)推導(dǎo)了單元長度未知情況下的索單元動力學(xué)模型，而平衡狀態(tài)就是動力學(xué)模型中一個特殊情況。對應(yīng)的條件是與時間相關(guān)的一階、二階導(dǎo)數(shù)均為0，即：

而式(23)在找形問題中需要求解的變量只有單元的廣義坐標(biāo)，所以可以根據(jù)式(23)得到：

式中：DOFs為單元自由度，對于本模型的ANCF索單元，單元自由度為12；另外定義：

值得注意的是，在式(25)中，未知的只有由動能附加項引起的廣義力附加項，動能附加項表達(dá)式為：

而在應(yīng)用拉式方程建立索單元動力學(xué)模型時，動能附加項參與計算時，會引起兩項廣義力附加項：

但當(dāng)單元處于平衡狀態(tài)時，由于式(28)和式(29)中均含有與時間相關(guān)的導(dǎo)數(shù)項，根據(jù)式(22)可知：

由此可知，由動能附加項引起的廣義力附加項：

所以，式(25)可改寫為：

2.2 引入張力條件的找形方法

根據(jù)式(24)可知，由動力學(xué)模型退化得到一組獨立的非線性方程組的維度只是單元自由度數(shù)，但還需要求解的還有單元初始長度，所以需要再添加一個獨立的方程，對于張緊的單元，可根據(jù)張力條件補充方程：

式中，T為給定的張力條件。聯(lián)立式(24)和式(32)可得到一組非線性方程組：

3 接觸網(wǎng)找形問題

3.1 接觸網(wǎng)有限元模型

簡單鏈型懸掛接觸網(wǎng)如圖2所示，以3跨簡單鏈型懸掛接觸網(wǎng)為例，吊弦作為連接承力索和接觸線的結(jié)構(gòu)，使得接觸網(wǎng)成為一個彈性均勻分布的系統(tǒng)，同時，定位裝置將接觸線和承力索并不是沿軌道呈直線分布，而是呈“之”形分布，如圖2中俯視圖所示，從而使受電弓滑板能夠均勻磨耗。另外，接觸線和承力索的下錨處安裝了棘輪補償裝置，使得接觸線和承力索一直處于張緊狀態(tài)，在圖中用Tcw、Tmw表示。

兩個吊弦之間的接觸線/承力索、接觸線/承力索與定位裝置之間，還有定位器均采用一個變長度索單元。接觸網(wǎng)系統(tǒng)離散為N個變長度ANCF索單元：

式中：ns為跨數(shù)；nd為一跨內(nèi)的吊弦數(shù)量。

3.2 接觸網(wǎng)中的約束處理

為了簡化接觸網(wǎng)中的約束，在接觸網(wǎng)有限元模型中的連接方式均采用球鉸約束[19]，在絕對坐標(biāo)系下的3單元球鉸連接如圖3所示。其數(shù)學(xué)模型表示為：{

圖3 3個單元球鉸連接示意圖Fig.3 Schematic diagram of spherical hinge connection of 3 elements

在接觸網(wǎng)中，吊弦與接觸線單元、吊弦與承力索單元均采用這種約束。

另外，接觸網(wǎng)系統(tǒng)的邊界條件也可簡化為接觸網(wǎng)系統(tǒng)的邊界單元鉸接在固定點：

式中：rb表示邊界處的位置矢量，即包含承力索和接觸線的兩端點的位置矢量；rfix表示邊界點約束的位置矢量。

3.3 接觸網(wǎng)的平衡構(gòu)型

接觸網(wǎng)的找形問題就是確定接觸網(wǎng)有限元模型在平衡狀態(tài)下系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，由于接觸網(wǎng)采用變長度索單元進(jìn)行有限元劃分，平衡構(gòu)型還需要確定的是單元的初始長度，用x表示為平衡構(gòu)型：

針對接觸網(wǎng)的找形問題，不僅只是確定接觸網(wǎng)系統(tǒng)在邊界條件下的平衡構(gòu)型，吊弦還有預(yù)分配的約束條件：

式中：rd為吊弦下端的位置矢量；rdesign為吊弦下端點的預(yù)設(shè)條件。

3.4 接觸網(wǎng)找形應(yīng)用

根據(jù)吊弦預(yù)配要求，那么接觸線就可從接觸網(wǎng)系統(tǒng)中分離出來單獨求解，再根據(jù)接觸網(wǎng)的離散方式，那么每個接觸線單元就可處理為兩端鉸接在已知點的張緊懸鏈線模型

3.4.1接觸線找形分析

將接觸線的每個單元處理為兩端懸掛在已知點的懸鏈線模型，而對于接觸網(wǎng)中的張力主要分量是水平分量，所以這里簡化處理為：

式中：Tcw為接觸線的張力條件：上標(biāo)“x”為張力的水平分量。

利用水平張力作為張力補充條件，那么應(yīng)用式(33)對每個接觸線單元進(jìn)行找形分析時，則需要改寫為：

式中，Ec、Ac分別為接觸線的彈性模量和截面積。

完成接觸線的平衡構(gòu)型求解之后，根據(jù)相應(yīng)接觸線單元的穩(wěn)態(tài)構(gòu)型，提取在定位點處的合力作為定位器單元的張力補充條件，可以得到定位器穩(wěn)態(tài)構(gòu)型的求解方程：

式中：i=[0,1,0]T；EcAc分別為定位器的彈性模量和截面積；Ts為反求得到的定位器所受張力。

3.4.2吊弦承力索系統(tǒng)的找形應(yīng)用

在確定了接觸線的平衡構(gòu)型后，與定位器類似的，每根吊弦單元的下端張力也可由相應(yīng)的接觸線單元的平衡構(gòu)型條件反求出：

式中，j=[0,1,0]T，補充了吊弦的張力方程，對于承力索，張力補充方程與接觸線的張力處理方式一致：式中：Tmw為承力索的張力條件；上標(biāo)“x”表示承力索張力的水平分量。

則對于承力索與吊弦組成的系統(tǒng)，其動力學(xué)方程由經(jīng)典的有限元填裝方法可得到，相應(yīng)的，對于由多單元組成的承力索吊弦系統(tǒng)，需要補充相應(yīng)單元數(shù)的張力條件。利用式(42)可補充吊弦單元的張力條件，再由承力索的水平張力條件，那么可以得到吊弦承力索系統(tǒng)的平衡構(gòu)型求解方程：

式中：n=nd+1；Em、Am、Ed、Ad分別為承力索和吊弦的彈性模量和截面積。張力補充方程的前n=nd+1個方程由各個承力索單元提供，而最后nd個方程由吊弦補充方程提供；對應(yīng)了每個單元的補充方程。

3.4.3小結(jié)

總結(jié)前兩部分的找形應(yīng)用過程，可以看出本文的方法是基于分模法[27]的思路，先將接觸網(wǎng)進(jìn)行分模處理，將接觸線的平衡構(gòu)型求出后，利用其平衡構(gòu)型求出相應(yīng)吊弦點處的吊弦力，以此補充相應(yīng)缺失的張力控制方程，最后完成整個接觸網(wǎng)的找形分析；整個流程如圖4所示。

圖4 接觸網(wǎng)找形流程示意圖Fig.4 Schematic diagram of form-finding steps of the railway catenary

4 算例驗證

本節(jié)用3個算例對本文提出的找形方法進(jìn)行驗證，包括懸鏈線模型、兩吊弦簡單接觸網(wǎng)模型和EN50318中的簡單鏈型懸掛接觸網(wǎng)模型。本文在針對接觸網(wǎng)進(jìn)行找形分析時，針對接觸線的找形時是將每個接觸線單元視作一個懸鏈線模型(包含等高與不等高懸鏈線模型)，所以引入了懸鏈線模型進(jìn)行初步驗證本文提出方法的可行性。

4.1 懸鏈線模型

懸鏈線示意圖如圖5所示，兩端鉸接在固定點處，同時端部還滿足張力控制要求。懸鏈線的密度為ρ=7800 kg/m3，截面直徑D=0.01 m，彈性模量為E=2.01 GPa，端部張力控制為T=15 kN。

圖5 懸鏈線示意圖Fig.5 Schematic diagram of catenary

對該模型進(jìn)行找形分析，跨距d=20 m，懸掛高度差分別取h=0 m、0.1 m、0.2 m、0.3 m、0.4 m、0.5 m。找形結(jié)果如下圖6所示。

圖6 不同懸掛高度的懸鏈線找形結(jié)果Fig.6 Form-finding resultsof catenary at different suspension height

隨著懸掛高度的增大，懸鏈線穩(wěn)態(tài)構(gòu)型的最大靜撓度逐漸變小，穩(wěn)態(tài)懸鏈線構(gòu)型也逐漸逼近其對應(yīng)懸掛點之間的連線。通過提取施加張力段的豎直張力分量分別為54.88 N、129.88 N、204.87 N、279.85 N、354.81 N、429.75 N，而張力的主要分力是水平分量，所以在端部或者懸鏈線中任意點偏置水平位置角度是逐漸增大的。

為了驗證找形結(jié)果的正確性，建立相應(yīng)的動力學(xué)模型，再代入找形結(jié)果進(jìn)行動力學(xué)仿真，不進(jìn)行重復(fù)性的工作，只做圖6中高度為h=0 m,0.3 m的驗證，提取端部張力控制時程曲線如圖7所示。由張力的時程曲線可以看出，在使用本文中的方法進(jìn)行找形的結(jié)果在代入到動力學(xué)模型中時，懸鏈線的端部張力的幾乎是不變的，盡管圖7(b)不等高懸鏈線的端部張力最后的穩(wěn)態(tài)值與目標(biāo)張力在數(shù)值上有一點差異(20 N)，但是其相對誤差僅為0.13%，這完全可以認(rèn)為模型是穩(wěn)定的。

圖7 懸鏈線端部張力時程曲線Fig.7 Time history of tension at the tip of catenary

4.2 兩吊弦簡單接觸網(wǎng)模型

文獻(xiàn)[28]提出的兩吊弦單跨簡單接觸網(wǎng)如圖8所示，用于驗證弓網(wǎng)接觸的動力學(xué)響應(yīng)。材料參數(shù)由表1給出，幾何參數(shù)由表2給出。作為一個經(jīng)典的標(biāo)準(zhǔn)模型(benchmark catenary)，文獻(xiàn)[6,29]也對該模型進(jìn)行了找形分析，也不乏基于絕對節(jié)點坐標(biāo)法的找形方法[29]。

圖8 兩吊弦接觸網(wǎng)示意圖Fig.8 Schematic diagram of two dropperscatenary

表1接觸網(wǎng)材料參數(shù)Table 1 Material parameters for the benchmark catenary

應(yīng)用動力學(xué)退化方法進(jìn)行找形分析，得到接觸網(wǎng)的穩(wěn)態(tài)構(gòu)型如圖9所示。

圖9 兩吊弦接觸網(wǎng)找形結(jié)果Fig.9 Form-finding result of the benchmark catenary

提取吊弦點處的吊弦力均為75.69 N，吊弦長度均為0.9552 m；從仿真結(jié)果也體現(xiàn)出了結(jié)構(gòu)的對稱性；另外對于吊弦長度的計算結(jié)果來看，與文獻(xiàn)中給出的計算結(jié)果分別為：0.9579 m[6]、0.95 m[28]及0.9540 m[29]非常接近，相對誤差分別為0.55%、0.13%、0.28%。而在文獻(xiàn)[6]的模型中，接觸網(wǎng)的穩(wěn)態(tài)構(gòu)型是通過懸鏈線方程推導(dǎo)得到的解析形式，并沒有考慮接觸網(wǎng)的彎曲和軸向變形，但其他兩個模型以及本文中的模型均是將接觸網(wǎng)離散為有限單元模型，同時考慮了單元的軸向剛度和抗彎剛度，這說明針對該模型的軸向和彎曲變形在找形分析中是可以忽略的。另外值得注意的是，本文中接觸網(wǎng)的有限元模型僅采用8個ANCF索單元，但應(yīng)用本文的找形方法得到的結(jié)果精度卻沒有降低，這是由于ANCF單元的插值函數(shù)是基于三次多項式插值推導(dǎo)得到的，具有二階連續(xù)性。

表2接觸網(wǎng)幾何參數(shù)Table 2 Geometrical parameters for the benchmark catenary

同樣的，將求解到的平衡構(gòu)型代入到相應(yīng)的動力學(xué)模型中進(jìn)行驗證，提取控制端張力時程曲線如下：

由端部張力時程曲線圖10(a)接觸線端部和圖10(b)承力索端部，可以看出，由本文提出的找形方法得到的平衡構(gòu)型代入到動力學(xué)模型中，動力學(xué)模型幾乎是不震蕩的，端部的張力的穩(wěn)態(tài)值與設(shè)計張力的相對誤差分別為：接觸線0.0023%，承力索0.067%?？梢钥闯觯瑢τ谠撃Ｐ?，本文提出的找形方法能夠精確的求解到其平衡構(gòu)型。

圖10 接觸網(wǎng)端部張力時程曲線Fig.10 Time history of tension of the benchmark catenary

4.3 鐵路接觸網(wǎng)系統(tǒng)

在工程應(yīng)用上，本文采用歐洲標(biāo)準(zhǔn)EN50318[30]中的簡單鏈型懸掛接觸網(wǎng)為例，分別進(jìn)行單跨和多跨接觸網(wǎng)找形分析。單跨接觸網(wǎng)如圖11所示。

圖11 簡單鏈型懸掛接觸網(wǎng)示意圖Fig.11 Schematic diagram of a samplecatenary in EN50318

這個模型也在文獻(xiàn)[9]中作為一個標(biāo)準(zhǔn)模型進(jìn)行研究，有全球10個致力于弓網(wǎng)研究的團(tuán)隊針對本模型進(jìn)行找形分析和弓網(wǎng)動力學(xué)性能評估。這種簡單鏈型懸掛結(jié)構(gòu)應(yīng)用在法國的LN2和意大利的C270接觸網(wǎng)系統(tǒng)中。接觸網(wǎng)的材料參數(shù)如表3所示，幾何參數(shù)如表4所示；另外由于存在吊弦的預(yù)分配條件，吊弦的預(yù)分配位置如表5所示。

表5 吊弦預(yù)配參數(shù)Table 5 Pre-allocated parametersfor droppers

應(yīng)用本文的動力學(xué)方程退化方法進(jìn)行找形分析，得到單跨接觸網(wǎng)的平衡構(gòu)型如圖12所示。

圖12 簡單鏈型懸掛接觸網(wǎng)平衡構(gòu)型Fig.12 Equilibrium configuration of thesample catenary

10家單位都做過該模型的找形研究，由于方法的不同和模型約束考慮的不同，每家單位得到的結(jié)果都有差異，但大體上近似[9]。這里采用西班牙的一家單位PACDIN[19]的結(jié)果進(jìn)行對比，提取接觸線的平衡構(gòu)型對比如圖13所示。

表3接觸網(wǎng)材料參數(shù)Table 3 Material parameters for the EN50318 catenary

表4接觸網(wǎng)幾何參數(shù)Table 4 Geometrical parametersfor the EN50318 catenary

圖13 接觸線平衡構(gòu)型的對比結(jié)果Fig.13 Comparison of equilibrium configuration of contact wire

吊弦是接觸網(wǎng)的重要部件，對于吊弦長度和吊弦力的計算，也與參考文獻(xiàn)進(jìn)行對比，如表6所示。

從表6可以看出，在量化之后的找形結(jié)果對比中，對于吊弦長度的計算，兩種方法得到的結(jié)果相對誤差不大于1%，雖然吊弦力的計算上相對

表6 吊弦長度與吊弦力計算結(jié)果對比Table 6 Comparison of the dropper's length and force by different methods

誤差較大，但也沒有超過2%。這也說明了本文找形方法的正確性，但本文中接觸網(wǎng)有限元模型的自由度卻非常小，相比于文獻(xiàn)[9]中10家單位的接觸網(wǎng)模型的自由度具有極大的優(yōu)勢。

除此之外，從動力學(xué)的角度進(jìn)行驗證，將得到的平衡構(gòu)型代入到動力學(xué)模型中，驗證模型是否震蕩，提取得到的接觸線和承力索的端部張力如圖14所示。

圖14 簡單鏈型懸掛接觸網(wǎng)端部張力時程曲線Fig.14 Time history of tension at thesample catenary’s tips

通過提取接觸線張力時程圖14(a)和承力索端部張力時程圖14(b)曲線可以看出，動力學(xué)模型在該初始條件下是基本處于穩(wěn)態(tài)的，雖然一開始會有輕微的震蕩，但是可以看出張力的振幅并不是很大(20 N左右)，并且最終趨于穩(wěn)定，穩(wěn)定的端部張力數(shù)值與控制張力的相對誤差均小于1%。通過驗證動力學(xué)模型是否震蕩，更加直接地證明了平衡構(gòu)型的正確性，進(jìn)一步證明了本文提出的找形方法的可行性。

最后，對于該模型，進(jìn)行多跨建模，需要考慮定位器的影響，得到找形結(jié)果如圖15所示。

圖15 10跨簡單鏈型懸掛接觸網(wǎng)平衡構(gòu)型Fig.15 Equilibrium configuration of the sample catenary with ten spans

同樣的，建立多跨接觸網(wǎng)動力學(xué)模型，將找形結(jié)果代入動力學(xué)模型中作為仿真初始條件，提取接觸線和承力索的端部張力時程曲線如圖16所示。

與單跨接觸網(wǎng)的驗證結(jié)果一致，根據(jù)接觸線張力時程圖16(a)和承力索的端部張力時程圖16(b)曲線可以說明系統(tǒng)是基本處于穩(wěn)定的，開始震蕩的賦值相比也設(shè)計張力來說非常小,最后收斂的張力數(shù)值與設(shè)計張力的相對誤差不超過1%。

5 結(jié)論

本文提出了一種基于動力學(xué)退化模型的接觸網(wǎng)找形方法，根據(jù)平衡條件將未知單元長度的索單元動力學(xué)模型退化，再補充求解單元的初始長度的張力控制方程，推導(dǎo)了張緊索單元的找形方程?；诜帜７ǖ乃枷耄瑢⒔佑|線的平衡構(gòu)型預(yù)先求出，進(jìn)而得到吊弦單元的張力補充方程，再根據(jù)有限元填裝技術(shù)，推導(dǎo)了承力索吊弦系統(tǒng)平衡構(gòu)型的計算方程，最后根據(jù)三個算例驗證，可以得到以下結(jié)論：

(1)基于ANCF理論和未知單元初始長度條件，根據(jù)平衡條件對動力學(xué)模型進(jìn)行退化處理，推導(dǎo)了張緊單元的靜態(tài)構(gòu)型的計算模型；該模型適用于長大張緊結(jié)構(gòu)的靜態(tài)構(gòu)型的計算，如鐵路接觸網(wǎng)，輸電線等。

(2)應(yīng)用該模型進(jìn)行EN50318中的簡單鏈型懸掛接觸網(wǎng)的找形分析，對比Benchmark中的某單位的計算結(jié)果，得到的接觸線的靜態(tài)構(gòu)型幾乎一致，并且在吊弦長度的計算上，相對誤差均小于1%，吊弦力的計算上，相對誤差小于2%。滿足工程應(yīng)用的要求。并且通過動力學(xué)模型的驗證，得到的張力控制的相對誤差小于1‰，驗證了本文方法的準(zhǔn)確性。

(3)由于模型中能夠考慮穩(wěn)態(tài)構(gòu)型下的吊弦預(yù)分配條件，所以該模型適用于所有簡單鏈型懸掛接觸網(wǎng)的找形計算，能夠指導(dǎo)接觸網(wǎng)的設(shè)計和施工。

(4)由于該找形方法是基于動力學(xué)模型推導(dǎo)得到的，所以找形結(jié)果可應(yīng)用于接觸網(wǎng)系統(tǒng)的動力學(xué)計算，動力學(xué)模型能夠快速地趨于穩(wěn)定。