“圖形與幾何”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)案例舉隅

【摘 要】“圖形與幾何”這部分課程內(nèi)容的教學(xué)，可以結(jié)合學(xué)生實(shí)際，設(shè)計(jì)一些能引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)的實(shí)驗(yàn)活動，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)探究的過程中掌握知識、形成技能、感悟數(shù)學(xué)思想方法、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);動手操作;初中數(shù)學(xué)

【中圖分類號】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2021）37-0048-05

【作者簡介】黃秀旺，南京市江寧區(qū)教學(xué)研究室（南京，211100）副主任，高級教師，江蘇省特級教師。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱“2011年版課標(biāo)”）非常重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，如2011年版課標(biāo)在“課程基本理念”中指出“學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動過程”。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種探索性學(xué)習(xí)活動，在實(shí)驗(yàn)過程中，學(xué)生的手腦眼都要“動”起來，這樣的活動有利于促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑。

“圖形與幾何”是2011年版課標(biāo)界定的課程內(nèi)容之一，內(nèi)容包括三個(gè)部分：圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標(biāo)。我們可以把這些內(nèi)容分為數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)基本事實(shí)，數(shù)學(xué)規(guī)律（定理、公式、法則、運(yùn)算規(guī)律），問題解決（或知識應(yīng)用）四大部分。認(rèn)真研究這些內(nèi)容就會發(fā)現(xiàn)，大部分內(nèi)容都可以通過教師設(shè)計(jì)的問題，引導(dǎo)學(xué)生做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動完成學(xué)習(xí)任務(wù)。以下筆者舉部分案例來作說明。

一、數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)教材的基本結(jié)構(gòu)單位，是數(shù)學(xué)知識的核心。數(shù)學(xué)公式、法則、規(guī)律和定理等都是反映數(shù)學(xué)對象和概念之間關(guān)系的具體知識。概念學(xué)習(xí)至關(guān)重要，數(shù)學(xué)概念本身就是2011年版課標(biāo)強(qiáng)調(diào)的基礎(chǔ)知識，是學(xué)生感悟基本思想和方法的載體，也是學(xué)生進(jìn)行分析、判斷、歸納與推理等活動的重要依據(jù)。

對于從現(xiàn)實(shí)生活中抽象概括而來的一些數(shù)學(xué)概念，我們可以充分利用實(shí)物模型或通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來學(xué)習(xí)。

案例1：全等形與全等三角形的引入過程。

（1）觀察下面三組圖片，你能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象？你能把每組中的兩張圖片疊合在一起嗎？

（2）觀察圖2中的左、右兩個(gè)圖形，二者的形狀和大小分別有怎樣的關(guān)系？你能驗(yàn)證這些關(guān)系嗎？相互交流。

（3）每個(gè)同學(xué)先任意剪一個(gè)三角形硬紙片，在三個(gè)頂點(diǎn)處標(biāo)上A，B，C，記為△ABC。兩個(gè)同學(xué)作為一組互換自己剪好的三角形硬紙片。

（4）每個(gè)同學(xué)以手中拿的三角形硬紙片為“模板”，再剪一個(gè)與其完全一樣的三角形硬紙片，記為△A'B'C'（圖3），請問△ABC與△A'B'C'能重合嗎？他們是全等形嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】全等形是指能夠完全重合的兩個(gè)平面圖形，而全等三角形是全等形的子概念，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，所以在現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的“原型”或“模型”。根據(jù)2011年版課標(biāo)在“教材編寫建議”提出的“呈現(xiàn)內(nèi)容的素材應(yīng)貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)”的要求，我們設(shè)計(jì)了上述4個(gè)小問題。在學(xué)生觀察、思考（1）（2）問題的基礎(chǔ)上，教師給出全等形的概念。問題（3）（4）是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作的環(huán)節(jié)：學(xué)生通過自己剪硬紙片三角形的活動可以很自然地發(fā)現(xiàn)圖3所示的△A'B'C'與△ABC是全等的。

教學(xué)時(shí)，教師可拿著某個(gè)學(xué)生剪好的硬紙片三角形進(jìn)行演示，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)這個(gè)同學(xué)剪的硬紙片三角形與它的三角形“模板”是完全重合的，所以這兩個(gè)三角形是全等三角形，并及時(shí)給出對應(yīng)頂點(diǎn)、對應(yīng)邊和對應(yīng)角的概念。

“圖形與幾何”中的很多概念，如軸對稱、軸對稱圖形、線段的垂直平分線、角的平分線、位似圖形、圓的切線、割線等，都可以在教師創(chuàng)設(shè)好的問題引導(dǎo)下，讓學(xué)生動手實(shí)驗(yàn)，再給出這些概念。這樣導(dǎo)學(xué)有助于學(xué)生動手操作能力、創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)能力的形成與發(fā)展，能培養(yǎng)、發(fā)展和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、基本事實(shí)

2011年版課標(biāo)在“圖形與幾何”部分給出了九個(gè)基本事實(shí)：①兩點(diǎn)確定一條直線;②兩點(diǎn)之間線段最短;③過一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線垂直;④兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，則兩直線平行;⑤過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行;⑥兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等;⑦兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等;⑧三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等;⑨兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。

對于這些基本事實(shí)，幾乎都可以通過實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)。

案例2：“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行”的發(fā)現(xiàn)過程。

2011年版課標(biāo)給出的第五個(gè)基本事實(shí)是“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行”。對于這個(gè)基本事實(shí)，我們可以引導(dǎo)學(xué)生通過下面的實(shí)驗(yàn)自主發(fā)現(xiàn)：

（1）P是直線a外的一點(diǎn)，請按照下頁圖4所示的步驟，利用三角尺和直尺過點(diǎn)P畫直線b，使b∥a。

（2）請用自己的語言把畫圖的步驟敘述出來，并相互交流。

（3）你認(rèn)為經(jīng)過點(diǎn)P能畫幾條與已知直線a平行的直線？相互交流。

【設(shè)計(jì)意圖】第一個(gè)問題是讓學(xué)生按照圖4給定的程序進(jìn)行畫圖活動，這個(gè)程序展現(xiàn)了利用三角尺和直尺過直線外一點(diǎn)畫已知直線平行線的全部過程。

教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)要求學(xué)生正確理解圖4中四個(gè)圖例的意義，并把握好操作要點(diǎn)：①把三角尺的斜邊與已知直線a重合;②把直尺緊靠三角尺中的短直角邊;③用左手按住直尺不動，右手將三角尺沿直尺向上推動，一直推到三角尺的斜邊恰好經(jīng)過點(diǎn)P為止，這時(shí)沿上面三角尺的斜邊畫出直線。按照這三步畫出的圖形④中的b就是所要畫的圖形，即b∥a。在學(xué)生理解了圖4中四個(gè)圖例的意義并畫出直線b以后，自然就能對第二個(gè)問題給出準(zhǔn)確的敘述。在畫圖的基礎(chǔ)上，經(jīng)過相互交流，學(xué)生對第三個(gè)問題也能給出確定的回答。

對于基本事實(shí)，除了要求學(xué)生能自主發(fā)現(xiàn)外，還要讓學(xué)生能利用這些基本事實(shí)完成下面任務(wù)：（1）證明涉及線段、角、直線、三角形、四邊形性質(zhì)的約40個(gè)定理;（2）探索圓、相似形的一些性質(zhì);（3）了解圓、相似形中某些定理的證明。

三、數(shù)學(xué)規(guī)律

這里的“數(shù)學(xué)規(guī)律”泛指2011年版課標(biāo)中的數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)、法則、運(yùn)算規(guī)律等。對于數(shù)學(xué)規(guī)律，幾乎都可以讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)操作的過程中自主發(fā)現(xiàn)。

案例3：勾股定理的逆定理的發(fā)現(xiàn)過程。

（1）首先取一根長度為24cm的細(xì)繩，將它首尾接在一起，然后用細(xì)繩圍成一個(gè)△ABC，使三邊的長度分別為AC=6cm，CB=8cm，BA=10cm，最后用圖釘把△ABC釘在一塊木板上（圖5）;

（2）驗(yàn)證△ABC各邊的長度是否滿足a2+b2=c2;

（3）用量角器度量∠C的大小，你有何發(fā)現(xiàn)？由此得出怎樣的判斷？

（4）再取一根長度為30cm的細(xì)繩，圍成一個(gè)邊長為5cm，12cm，13cm的三角形，然后重復(fù)（2）（3）兩個(gè)步驟（圖6）。你有何發(fā)現(xiàn)？

（5）一般地，如果△ABC的三邊為a，b，c（圖7），且滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形嗎？你能給出證明嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】2011年版課標(biāo)要求“探索勾股定理以及逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡單的實(shí)際問題”。為了讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)、操作等系列活動，得到邊長分別等于a，b，c且滿足a2+b2=c2的三角形是直角三角形，我們設(shè)計(jì)了上面的實(shí)驗(yàn)活動。

學(xué)生在第（1）個(gè)問題引導(dǎo)下，通過動手得到了一個(gè)邊長分別為6，8，10的三角形，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)它三邊的長度滿足a2+b2=c2，在用量角器實(shí)際度量的基礎(chǔ)上，得出△ABC是直角三角形的結(jié)論。為驗(yàn)證結(jié)論具有普遍性，又作了邊長分別為5，12，13的三角形，得到了相同的結(jié)論。于是由“實(shí)驗(yàn)—計(jì)算—度量”等活動猜想出勾股定理的逆命題是正確的。為了用數(shù)學(xué)的方法給出一般性的證明，設(shè)計(jì)了問題（5），學(xué)生對這個(gè)問題的證明可能有一定的難度，教學(xué)時(shí)，教師要給出必要的點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生利用“同一法”給出證明，從而得到勾股定理的逆定理。有了這個(gè)定理，學(xué)生就可以根據(jù)三角形的邊長判定它是否為直角三角形了，這個(gè)方法實(shí)質(zhì)上是運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題，用三角形“邊長”的數(shù)量關(guān)系，判斷三角形“形狀”的性質(zhì)，在這個(gè)過程中，學(xué)生可以感受到數(shù)學(xué)內(nèi)部“數(shù)與形”之間存在的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系。

四、問題解決

強(qiáng)化問題解決是2011年版課標(biāo)提出的課程目標(biāo)，實(shí)施問題解決教學(xué)能讓學(xué)生“運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考”，并且增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力以及分析問題、解決問題的能力。在進(jìn)行問題解決教學(xué)時(shí)，需要解決的問題往往有個(gè)產(chǎn)生的“背景”，這就是教師應(yīng)下力氣“探索設(shè)計(jì)”的地方。通過實(shí)驗(yàn)操作給出問題情境是常用的方式之一。下面的這道中考題為這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)提供了一個(gè)有益的嘗試。

例4：折疊正方形中的問題。（2019年山西中考卷）

動手操作——

第一步：如圖8①正方形紙片ABCD沿對角線AC所在的直線折疊，展開鋪平，再沿過點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)B，點(diǎn)D都落在對角線AC上。此時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，記為點(diǎn)N，且點(diǎn)E，點(diǎn)N，點(diǎn)F三點(diǎn)在同一條直線上，折痕分別為CE，CF。如圖8②。

第二步：再沿AC所在的直線折疊，△ACE與△ACF重合，得到圖8③。

第三步：在圖8③的基礎(chǔ)上繼續(xù)折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，得到圖8④，展開鋪平，連接EF，F(xiàn)G，GM，ME，如圖8⑤。圖中的虛線為折痕。

問題解決：

（1）在圖8⑤中，∠BEC的度數(shù)是? ?，[AEBE]的值是? ?;

（2）在圖8⑤中，請判斷四邊形EMGF的形狀，并說明理由;

（3）在不增加字母的條件下，請你以圖8⑤中的字母表示的點(diǎn)為頂點(diǎn)，動手畫出一個(gè)菱形（正方形除外），并寫出這個(gè)菱形：? ? ?。

【思路分析】（1）通過折疊轉(zhuǎn)化角相等，進(jìn)而利用內(nèi)角和求∠BEC的度數(shù)，再利用45°的三角函數(shù)解決線段的比值問題;（2）第1問啟示我們可以通過折疊求角的度數(shù)，進(jìn)而得到四邊形各內(nèi)角的度數(shù)為90°，利用三個(gè)內(nèi)角為90°的四邊形是矩形，進(jìn)而可以判定四邊形是矩形;（3）利用多次折疊可以得到很多相等的線段以及互相垂直的線段，可以利用四邊相等的四邊形是菱形或?qū)蔷€互相垂直平分的四邊形是菱形來得到符合條件的菱形。

【設(shè)計(jì)意圖】考題以學(xué)生常見的“正方形”為出發(fā)點(diǎn)，以反復(fù)折疊正方形紙片為手段，分為“動手操作”“問題解決”兩大環(huán)節(jié)，第一個(gè)環(huán)節(jié)“動手操作”部分，對一個(gè)正方形紙片進(jìn)行了連續(xù)的三次折疊，并且給出了四個(gè)折疊圖以及打開后的圖形⑤;第二個(gè)環(huán)節(jié)“問題解決”部分，針對圖形⑤提出了三個(gè)問題要求學(xué)生解答。題目主要考查的知識點(diǎn)有折疊、三角形內(nèi)角和、三角函數(shù)、矩形、菱形等，屬于綜合性的“壓軸題”。這樣的問題有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力、動手操作能力、猜想發(fā)現(xiàn)能力以及數(shù)學(xué)推理能力等。

從以上案例看，“圖形與幾何”部分的很多內(nèi)容都可以通過實(shí)驗(yàn)操作而獲得。教師應(yīng)認(rèn)真研讀教材內(nèi)容，結(jié)合學(xué)生實(shí)際，在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)設(shè)計(jì)一些能引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)活動去探究的問題，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)探究的過程中達(dá)到掌握“四基”，形成技能，感悟思想方法以及積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的目的。

【參考文獻(xiàn)】

[1]教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]史寧中.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3]李樹臣.中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容選取的原則[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2010（6）：1-5.