Equal-Width波方程的高精度守恒差分格式

鐘瑞華,程宏，何育宇

（閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,福建漳州363000）

1984年，Morrison 等[1]提出了Equal-Width 波方程，該方程多應(yīng)用于模擬一維波在具有色散過程的非線性介質(zhì)中的傳播.隨后,許多人對該方程進行了大量的研究.Gardner 等[2]用三次Β-樣條有限元方法模擬了電子束發(fā)射過程中孤立波的遷移和相互作用.Zaki[3]用Petrov-Galerkin 方法求解修正的Equal-Width方程,并使用五次Β-樣條有限元模型模擬孤子的產(chǎn)生、運動和孤立波的相互作用.Abdulkadir[4]采用線性Galarkin 有限元方法對Equal-Width 波方程進行了研究. Rui[5]利用平面動力系統(tǒng)分支理論方法研究了Equal-Width 波方程的孤波解和周期解.

本文考慮如下Equal-Width波方程的初邊值問題

其中μ是給定的正常數(shù).可以驗證,式(1)-式(3)具有如下守恒律

首先建立式(1)-式(3)的三層線性差分格式,在時間上和空間上分別達到二階和四階精度,并證明所建立的差分格式的守恒性、收斂性和穩(wěn)定性,數(shù)值結(jié)果驗證了理論分析的可靠性.

1 差分格式的構(gòu)造

對求解區(qū)域[α,β]×[0,T]進行網(wǎng)格剖分,取空間步長h=(β-α)/J,時間步長τ=T/N,其中J、N為正整數(shù),記網(wǎng)格點xj=α+jh(0 ≤j≤J),tn=nτ(0 ≤n≤N).記

對任意un、vn∈定義如下記號[6]：

對式(1)-式(3)考慮如下差分格式：

其中

式(6)-式(8)可展開為一個五對角矩陣的線性方程組,可用“追趕法”求解.

由于式(6)-式(8)是三層線性隱式格式,所以需要下面的兩層格式來計算u1

2 差分格式的守恒性

引理1[7]對任意的un、vn∈,則

當(dāng)un=vn時,有

引理2[7]對任意的un∈,則

引理3[7]對任意的un∈則有

引理4[7](離散Sobolev不等式)對任意的un∈Z0h,存在兩個正常數(shù)a和b,使得

定理1設(shè)則式(6)-式(8)滿足質(zhì)量守恒和能量守恒,即

證明將式(6)兩端同時乘以h后對j從1到J- 1求和,根據(jù)邊界條件,得

即

由Qn的定義,對上式的n遞推即可得Qn=Qn-1= …=Q0.

將式(9)與2uˉn作內(nèi)積,由引理1可得

由En的定義,對式(10)的n遞推即可得En=En-1= …=E0.

3 差分格式解的存在唯一性和有界性

定理2式(6)-式(8)的解un是唯一存在的.

證明u0由式(7)確定,用C-N格式計算u1,則u0和u1是唯一確定的.設(shè)u0,u1,…,un(n≤N- 1)是唯一可解的,考慮式(4)中的un+1,我們有

將式(11)與un+1作內(nèi)積,又由引理2和引理3得

即||un+1||= 0,從而差分格式是唯一可解的.

定理3設(shè)則式(6)-式(8)的解滿足

證明由引理3和定理1,可得

其中

由于μ是正常數(shù),即||un||≤C,||unx||≤C, 根據(jù)引理4,有 ||un||∞≤C.

4 差分格式解的收斂性與穩(wěn)定性

引理5[7](離散Gronwall不等式)假設(shè){Gn/n≥0} 是非負(fù)數(shù)列,且滿足

其中A和B均為非負(fù)數(shù),則Gn=AeBnk,n= 0,1,2,….

定理4設(shè)u0∈H02[α,β],u(x,t)∈C6,3[α,β],式(6)-(8)的解un依L∞范數(shù)收斂到式(1)-式(3)的精確解,并且收斂階為O(τ2+h4).

證明令en=Un-un,則式(6)-式(8)的截斷誤差為

將式(12)與2eˉn作內(nèi)積,由引理1得

根據(jù)引理3及定理3,可得

同時,有

同理,有

將式(14)-式(16)代入式(13),可得

令

將式(17)從1到n累加,有

其中τ,C是正常數(shù),根據(jù)An的定義和引理3,有

其中c0= min(1,μ).由式(18)-式(19)得

令Gn= ||en||2+ ||en+1||2+ ||enx||2+ ||enx+1||2,則式(20)可以寫成其中

從而

式(21)可以寫成

對于τ足夠小,即1 -Cτ＞0,有

根據(jù)引理5,得

即有||en||≤C(τ2+h4),||enx||≤C(τ2+h4).由引理4,可得||en||∞≤C(τ2+h4).定理得證.

5 數(shù)值實驗

為驗證式(6)-式(8)的守恒性和穩(wěn)定性,選取以下模型問題[8]：

初始條件為

已知式(22)-式(23)的精確解為

設(shè)

其中Ujn=u(xj,tn)為精確解,un

j為式(6)-式(8)的數(shù)值解,定義時間和空間的收斂階為

取γ=0.1,μ= 1,α=- 20,β=30,T=1,x0= 10，分別取h= 0.1,τ= 1 和h= 0.05,τ= 1對式(6)-式(8)進行計算,不同時刻的數(shù)值解分別見圖1(左)和圖1(右).表1 驗證了格式在時間上具有二階收斂精度,表2 驗證了格式在空間上具有四階收斂精度,表3 驗證了格式的質(zhì)量和能量守恒性.以上結(jié)果表明所建立的差分格式(6)-式(8)是可靠和有效的.

圖1 h = 0.1,τ = 1(左)和h = 0.05,τ = 1(右)時不同時刻的數(shù)值解Fig.1 Numerical solution at different times with h = 0.1,τ = 1(left)and h = 0.05,τ = 1 (right)

表1 h = 0.05 和T=1時的誤差和時間收斂階Tab.1 Errors and temporal convergence orders with h = 0.05 and T=1

表2 τ = h2 和T=40時的誤差和空間收斂階Tab.2 Errors and spatial convergence orders with τ = h2 and T=40

表3 h = 0.25 和h = 0.5 時,不同T 下的守恒量Tab.3 The conserved quantities at different T with h = 0.25 and h = 0.5