淺談線性映射在不同基下的矩陣表示及應用

方龍飛 王兵

【摘要】線性代數(shù)的核心內(nèi)容是線性空間的線性映射.研究有限維向量空間的線性映射時，向量在不同基下的坐標表示是不同的，并且線性變換在不同基下的矩陣是相似的.因此，講解線性變換的性質(zhì)與相似矩陣的性質(zhì)可以相互轉(zhuǎn)化，可以讓學生的思維在抽象思維和形象思維之間進行轉(zhuǎn)化，幫助學生加深對抽象概念的理解.

【關(guān)鍵詞】 矩陣;線性映射;基;相似矩陣

【基金項目】滁州學院教學研究項目（2019jyc050）

矩陣的概念和運算比較抽象難懂，并且很多教材在給出定義之前很少講其應用背景，從而導致學生不易理解和接受.同時，教材在安排教學內(nèi)容和案例時較為緊湊，導致學生雖然掌握了運算和性質(zhì)，但是仍然無法理解其內(nèi)涵，自然也不能應用于實際問題.線性代數(shù)課程包含的線性映射及其矩陣表示的思想和方法是處理很多問題的重要工具.線性映射最重要的是基和基變換，幾何上的基和基變換問題可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)上的矩陣問題，對于同一個線性變換，不同的基對應的矩陣也不同.因此，將矩陣的運算以及矩陣的性質(zhì)與直觀的線性變換問題相轉(zhuǎn)化，有助于學生進一步了解線性變換、矩陣相似、特征值和特征向量，讓學生對本門課程有更深刻地了解，并能應用它解決問題.

1 線性映射的概念及其矩陣表示

線性映射是研究線性空間中元素之間的最基本聯(lián)系.我們將說明線性變換與矩陣之間的關(guān)系，通過這種關(guān)系，我們可以將線性變換問題轉(zhuǎn)化為矩陣問題，再用矩陣的理論解決相關(guān)問題.為便于理解，我們將給出相關(guān)概念.

定義1 映射T：UMT ExtraaA@V稱為線性映射，若滿足以下兩個條件：

（1）對任意的u1，u2∈U，T（u1+u2）=T（u1）+T（u2）;

（2）對任意的向量u∈U和數(shù)k，T（ku）=kT（u）.

從以上定義可以看出，向量的和的像等于向量的像的和，向量數(shù)乘的像等于向量的像的數(shù)乘.也就是說，線性映射保持了向量空間的線性運算，保持了向量空間的結(jié)構(gòu).因此容易推出如下性質(zhì).

定理1 設(shè)映射T：RnMT ExtraaA@Rm是線性映射，則對于任意的x∈Rn，存在唯一的矩陣A，使得T（x）=Ax，其中A=Te1，T（e2），…，T（en）.

證明 對于任意的x∈Rn，不妨設(shè)x=x1x2xn=（e1，e2，…，en）x1x2xn，

則T（x）=x1T（e1）+x2T（e2）+…+xnT（en）

=Te1，T（e2），…，T（en）x1x2xn.（1）

令A=Te1，T（e2），…，T（en），則T（x）=Ax.矩陣A可以看作原來的基通過線性映射得到的新的基構(gòu)成的，映射可以看成原基到新基的函數(shù).由（1）式得，x在基{e1，e2，…，en}上的坐標為x，T（x）在基{e1，e2，…，em}上的坐標為Ax.若T（e1），T（e2），…，T（en）線性無關(guān)，則T（x）在基{T（e1），T（e2），…，T（en）}上的坐標也為x.因此，矩陣對向量的變換，其實是在其基底上的變換，而坐標仍然不變.

通過以上知識點的呈現(xiàn)，我們可以看出線性映射可以用矩陣表示，進而引導學生將線性映射問題轉(zhuǎn)化為矩陣問題.從以上知識點我們可以看出，數(shù)學中的概念都是現(xiàn)實生活中具體問題的概括和抽象.在教學中，教師可以將抽象的不容易理解的概念進行適當?shù)木唧w化和解析，從專業(yè)學科的應用上了解其來源，這樣更能激發(fā)學生的求知欲，使其體會數(shù)學之美.

2 向量空間中不同基下的坐標向量的聯(lián)系

在有限維向量空間中，任何向量都可以用一個基向量組做唯一的線性表示.對于一個向量空間，指定一個基相當于指定了一個坐標系，此坐標系使得向量空間的操作同Rn的操作一樣簡單.我們給出如下定義.

定義2 假設(shè)A=α1，α2，…，αn是向量空間U的一組基，則對U中的每一個向量x存在唯一的數(shù)c1，c2，…，cn，使得x=c1α1+c2α2+…+cnαn，即x=α1，α2，…，αnc1c2cn，則稱Rn中的向量[x]A=c1c2cn為x相對于A的坐標向量.

空間中的所有向量都可以由一組基線性表示，以上定義反映了向量空間U與Rn同構(gòu)，因此，向量空間U的線性運算可以轉(zhuǎn)化到Rn上的線性運算.同時我們需要注意，向量與向量的坐標表示是兩個不同的概念.只有在向量空間中取了基后才有向量的坐標表示（若對基沒有說明，則默認基是{e1，e2，…，en}，例如定義1）.對于同一空間中的某個向量，在定義1中我們?nèi)×艘唤M標準基，事實上不同的基會對應不同的坐標.我們可以將不同基下的坐標表示對應看成不同的數(shù)學語言，也就是說，同一個向量用兩種不同的數(shù)學語言表示.在某些應用下，我們需要將向量在一個基的坐標表示轉(zhuǎn)化為另一個基的坐標表示.

那么如何找到這兩個基的坐標表示之間的聯(lián)系呢？我們發(fā)現(xiàn)，用來描述映射的矩陣不僅可以把線性空間中的一個向量轉(zhuǎn)化為另一個空間中的向量，也可以把其中一個基的坐標表示轉(zhuǎn)化為另一個基的坐標表示.

定理2 設(shè)B={α1，α2，…，αn}和C={β1，β2，…，βn}是向量空間U的基，則存在一個矩陣PB→C使得[x]C=PB→C[x]B，其中PB→C=[[α1]C，[α2]C，…，[αn]C]，我們稱PB→C為由B到C的坐標變換矩陣.

證明 對于任意的x∈U，x=[α1，α2，…，αn][x]B=[β1，β2，…，βn][x]C.

由于B={α1，α2，…，αn}和C={β1，β2，…，βn}是向量空間U的基，因此存在n階可逆陣PB→C使得[α1，α2，…，αn]=[β1，β2，…，βn]PB→C，即PB→C=[[α1]C，[α2]C，…，[αn]C]，故[x]C=PB→C[x]B.

特別地，若向量空間U是Rn，則[α1，α2，…，αn]，[β1，β2，…，βn]為n階可逆矩陣，因此PB→C=[β1，β2，…，βn]-1[α1，α2，…，αn].

對上面定理的證明，可讓學生對矩陣的應用有更深層次的理解，從而提高學生的興趣，激發(fā)學生的求知欲.

3 相似矩陣與線性變換的關(guān)系

相似矩陣作為線性代數(shù)課程中非常重要的概念，它從何而來？這個概念不可能是憑空想象得出的，相似矩陣是線性變換在不同基或坐標系下的不同描述，因此它是為了解決實際問題而提出的.從矩陣角度，很多學生對這些共同的性質(zhì)不容易產(chǎn)生直觀的理解，但通過對此知識背景的了解，從線性變換的角度看待這些性質(zhì)，就會發(fā)現(xiàn)它很直觀，便于理解.例如，相似矩陣的特征值為什么相同，而特征向量不一定相同.

線性變換是線性空間U到自身的線性映射，要想了解線性變換，首先要取一組基，然而線性變換在兩個不同基下的矩陣表示是不同的，它們之間有著何種聯(lián)系呢？

現(xiàn)在我們考慮一般情形：若選擇B={α1，α2，…，αn}作為向量空間U的基，對于任意的x∈U，設(shè)x=（α1，α2，…，αn）[x]B，有T（x）=T（（α1，α2，…，αn）[x]B）=（T（α1），T（α2），…，T（αn））[x]B

=（α1，α2，…，αn）（[T（α1）]B，[T（α2）]B，…，[T（αn）]B）[x]B.

取定基后，從此基的坐標角度觀察線性變換，線性變換T可以表示為：T：[x]BMT ExtraaA@（[T（α1）]B，[T（α2）]B，…，[T（αn）]B）[x]B，則（[T（α1）]B，[T（α2）]B，…，[T（αn）]B）是線性變換T相對于基{α1，α2，…，αn}的矩陣.因此，當取定了一組基后，線性變換與矩陣有著一一對應的關(guān)系，研究線性變換的問題可以轉(zhuǎn)化為研究矩陣的問題.反過來，研究矩陣的性質(zhì)時，也可以將其轉(zhuǎn)化為研究線性變換的問題，通過研究線性變換的性質(zhì)，許多問題可以給出一個直觀的解釋.如果我們了解了這兩種不同的情況，那么就能夠從不同的角度去分析和解決問題.

現(xiàn)在考慮Rn上的線性變換T為T（x）=Ax.若選擇標準基{e1，e2，…，en}，在基{e1，e2，…，en}下T（x）可以表示為坐標T：xMT ExtraaA@Ax，則A是線性變換T相對于{e1，e2，…，en}的矩陣.若任選一組基B={α1，α2，…，αn}，令P=（α1，α2，…，αn）， 則

（[T（α1）]B，[T（α2）]B，…，[T（αn）]B）

=（[Aα1]B，[Aα2]B，…，[Aαn]B）

=（P-1Aα1，P-1Aα2，…，P-1Aαn）

=P-1AP.

因此，P-1AP是線性變換T相對于{α1，α2，…，αn}的矩陣.從不同的基來觀察線性變換，作為描述同一個線性變換的兩個不同基下的矩陣A和P-1AP是相似的.進一步地，由相似的傳遞性，可推斷出同一個線性變換相對于不同基的矩陣是相似的.因此，通過換基可以將一個復雜的矩陣問題轉(zhuǎn)化為另一個簡單的矩陣問題，這里便涉及相似矩陣的概念和性質(zhì).由于矩陣A和P-1AP是線性變換在兩個不同基下的表現(xiàn)形式，那么線性變換的性質(zhì)與取定基的矩陣有哪些聯(lián)系呢？

設(shè)T為向量空間U上的線性變換，存在某個y∈U滿足T（y）=ay（a為常數(shù)），稱y是線性變換T的特征向量，a是線性變換T對應于特征向量y的特征值.設(shè)B={α1，α2，…，αn}是向量空間U的基，設(shè)y=（α1，α2，…，αn）[y]B，則在基B={α1，α2，…，αn}上的坐標表示為T：[x]BMT ExtraaA@M[x]B，[T（y）]B=[ay]B=a[y]B.y在基B={α1，α2，…，αn}上的坐標變換為T：[y]BMT ExtraaA@a[y]B，因此，稱[y]B是矩陣M的特征向量，a是矩陣M對應于特征向量[y]B的特征值.

綜上，線性變換T和其相對于某個基的矩陣的特征值是相同的，但是特征向量不同，線性變換T相對于某個基的矩陣的特征向量[y]B是線性變換T相對應的特征向量y在該基上的坐標表示.

現(xiàn)在通過例子對上面的知識加以理解和應用.

例 設(shè)R3上的線性變換為T（（a，b，c）T）=（a+3b+3c，-3a-5b-3c，3a+3b+c）T.

（1）求T在α1=（1，-1，1）T，α2=（-1，1，0）T，α3=（-1，0，1）T下的矩陣;

（2）求線性變換T的特征值和特征向量.

解 （1）T（（a，b，c）T）=（2b+c，a-c，3a）T=133-3-5-3331（a，b，c）T，

因此，線性變換T相對于{e1，e2，e3}的矩陣為A=133-3-5-3331.

令P=α1，α2，α3，于是T相對于{α1，α2，α3}的矩陣為P-1AP=1000-2000-2.

（2）P-1AP的特征向量分別為e1，e2，e3，對應的特征值分別是1，-2，-2，因此線性變換的特征向量分別為Pe1，Pe2，Pe3，即α1，α2，α3，對應的特征值分別為1，-2，-2.

通過以上應用，一個問題開始時是用一個基描述，但是通過換基后問題就變得容易解決了.

4 結(jié) 語

將線性代數(shù)這門課程與專業(yè)課對接，教師不僅需要熟悉課程的內(nèi)容，也要了解學生的專業(yè)涉及的內(nèi)容，這樣才能提高學習的積極性，讓學生能夠?qū)W有所用.線性變換是線性代數(shù)中較為抽象的內(nèi)容，直接去理解這部分內(nèi)容是有些難度的，但是我們可以將線性變換問題轉(zhuǎn)化為矩陣問題，這樣問題就變得更好解決了.教師在教學中要善于挖掘課本中知識點之間的聯(lián)系，從不同角度去理解相關(guān)知識，從而提高線性代數(shù)的教學效果.

【參考文獻】

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