SEP矩陣的性質(zhì)

李 金, 王 龍, 魏俊潮

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 揚(yáng)州 225002)

1 基本概念及引理

Cn×n表示復(fù)數(shù)域A上的全矩陣環(huán)．設(shè)A∈Cn×n, 矩陣A+稱為A的Moore-Penrose逆[2]．如果A+是方程A=AXA,X=XAX, (AX)H=AX, (XA)H=XA的解, 則矩陣A稱為MP逆．若關(guān)于X的方程A=AXA,X=XAX,AX=XA有解, 且解是唯一的, 則稱該解為矩陣A的群逆, 記為A#[1]． 若A=AAHA或等價于A+=AH, 則A稱為PI矩陣[3]．若A#存在, 且A#=A+, 則稱A為EP矩陣[7]．如果群可逆矩陣A既是PI的又是EP的, 則稱A為SEP矩陣, 即A#=A+=AH[4-5]．有關(guān)EP矩陣、PI矩陣以及SEP矩陣的相關(guān)研究, 可見參考文獻(xiàn)[8-14]．

引理1[4]設(shè)A∈Cn×n, 則A是PI矩陣當(dāng)且僅當(dāng)AA+=AAH．

引理2[4]設(shè)A∈Cn×n是群可逆矩陣, 則A是SEP矩陣當(dāng)且僅當(dāng)AH=A#．

引理3[4]設(shè)A∈Cn×n, 則A是SEP矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A2AH=A．

引理4[15]設(shè)A∈Cn×n是群可逆矩陣, 則如下結(jié)論成立:

i)A#=A#A+A=AA+A#;

ii)A+=A+(AA#)H=(AA#)HA+;

iii) 這些條件等價: 1)A是EP矩陣; 2)A=A2A+; 3)A=A+A2; 4)A+=A+A+A; 5)A+=AA+A+; 6)AH=AHA+A; 7)AH=AA+AH; 8)AA#=AA+; 9)A#A=A+A; 10) (AA#)H=AA#; 11)A+=A#AA+; 12)AH=AHA#A; 13)A#=A#AA+．

2 主要結(jié)論

引理5設(shè)A∈Cn×n為群可逆矩陣, 則: i) (A+)#=(AA#)HA(AA#)H; ii) (A#)+=A+A3A+．

證明 i) 設(shè)X=(AA#)HA(AA#)H, 易驗證

A+(AA#)H=A+AA+(AA#)H=A+(AA#AA+)H=A+(AA+)H=A+AA+=A+,

則根據(jù)群逆的定義可知

A+X=A+(AA#)HA(AA#)H=A+A(AA#)H=(AA#A+A)H=(AA#)H．

同理可知,XA+=(AA#)HA(AA#)HA+=(AA#)HAA+=(AA#)H, 故A+X=XA+．進(jìn)一步可知,A+XA+=A+(AA#)HA(AA#)HA+=(AA#)HA+=A+, 且XA+X=(AA#)HA(AA#)HA+(AA#)H·A(AA#)H=(AA#)H(AA#)HA(AA#)H=(AA#)HA(AA#)H．綜上可得,(A+)#=(AA#)HA(AA#)H．

ii) 注意到A#A+A=A#和AA+A#=A#．由Moore-Penrose 逆定義, 直接驗證可知A#A+A3A+=AA+,A#A+A3A+A#=AA+A#=A#,A+A3A+A#A+A3A+=A+AA+A3A+=A+A3A+, 故(A#)+=A+A3A+．

引理6設(shè)A∈Cn×n為群可逆矩陣, 則A為SEP矩陣當(dāng)且僅當(dāng)AHA+(A#)H=A#A+(A+)H．

證明 必要性．由A為SEP矩陣知A#=A+=AH, 有AHA+(A#)H=A#A+A=A#, 且A#A+(A+)H=A#A+A=A#, 故AHA+(A#)H=A#A+(A+)H．

充分性．因AHA+(A#)H=A#A+(A+)HAA+,左乘AA+得AA+AHA+(A#)H=AA+A#A+(A+)H=A#A+(A+)H=AHA+(A#)H, 右乘AH得AA+AHA+=AHA+, 再右乘A(AA#)H得AA+AH=AH．由引理4知A為EP矩陣, 故A#=A+,AA+=A+A, 于是AHA+(A#)H=A#A+(A+)H, 右乘AH有AHA+=A#A+．進(jìn)一步可知,AH=AHAA+=AHA+A=A#A+A=A#, 所以A為SEP矩陣．

引理7矩陣A為SEP矩陣當(dāng)且僅當(dāng)AH也為SEP矩陣．

證明 必要性．若A為SEP矩陣, 則A#=A+=AH, 有(A#)H=(A+)H=A, 從而(AH)#=(AH)+=(AH)H, 故AH為SEP矩陣．

充分性．若AH為SEP矩陣, 由必要性知(AH)H為SEP矩陣, 即A為SEP矩陣．

由引理7知, 可用AH代替引理6中的A可得下面推論．

推論8設(shè)A∈Cn×n為群可逆矩陣, 則A為SEP矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A(A+)HA#=(A#)H(A+)HA+．

引理9設(shè)A∈Cn×n為群可逆矩陣, 若A+AH=A+A#, 則A為SEP矩陣．

證明 由題設(shè)A+AH=A+A#, 知A+A#=A+AHAA+=A+A#AA+, 左乘A得A#=A#AA+．由引理4知A為EP矩陣, 則AH=A+AAH=AA+AH=AA+A#=A#, 故由引理2知A為SEP矩陣．

引理10設(shè)A∈Cn×n為群可逆矩陣, 若A2=(A#)HA, 則A為SEP矩陣．

證明 因為A2=(A#)HA, 左乘A+A得A+A3=(A#)HA=A2,A=A2A#=A+A3A#=A+A2, 由引理4知A為EP矩陣, 則有A=A2A+=(A#)HAA+=(A#)H, 故AH=A#, 因此A為SEP矩陣．

由推論8構(gòu)造方程

AXA#=(A#)HXA+．

(1)

定理11設(shè)A∈Cn×n為群可逆矩陣, 則A為SEP矩陣當(dāng)且僅當(dāng)方程(1)在集合ρA中有解, 其中ρA={A,A#,A+,AH, (A#)H,(A+)H,(A+)#,(A#)+}．

證明 必要性．若A為SEP矩陣, 則由推論8知X=(A+)H為一個解．

充分性．1) 若X=A為解, 則A2A#=(A#)HAA+=(A#)H, 即A=(A#)H．取共軛轉(zhuǎn)置, 得AH=A#, 故A為SEP矩陣．

2) 若X=A#, 則A#=AA#A#=(A#)HA#A+=(A#)HA#A+AA+=A#AA+, 由引理4知A為EP矩陣, 故A=A#A2=(A#)HA#A+A2=(A#)HA#A=(A+)H．取共軛轉(zhuǎn)置, 得AH=A+, 故A為SEP矩陣．

3) 若X=A+, 則AA+A#=(A#)HA+A+, 即A#=(A#)HA+A+, 左乘A+A得AA+A#=A#, 由引理4知A為EP矩陣, 于是X=A+=A#, 由2)知A為SEP矩陣．

4) 若X=AH, 則AAHA#=(A#)HAHA+=A+,左乘AA+得A+=AAHA#=AA+A+,由引理4知A為EP矩陣．又因AA+=A+A=AAHA#A=AAHAA#=AAH, 由引理1知A為PI矩陣, 故A為SEP矩陣．

5) 若X=(A+)H, 則A(A+)HA#=(A#)H(A+)HA+, 右乘A得A(A+)H=(A#)H(A+)H．取共軛轉(zhuǎn)置, 得A+AH=A+A#, 由引理9知A為SEP矩陣．

6) 若X=(A#)H, 則A(A#)HA#=(A#)H(A#)HA+, 右乘A+A得(A#)H(A#)HA+=(A#)H·(A#)HA+A+A, 左乘AHAH得A+=A+A+A,由引理4知A為EP矩陣, 故X=(A#)H=(A+)H為解, 由5)知A為SEP矩陣．

7) 若X=(A+)#=(AA#)HA(AA#)H, 則A(AA#)HA(AA#)HA#=(A#)H(AA#)HA(AA#)HA+=(A#)H, 左乘AA+得(A#)H=AA+(A#)H, 取共軛轉(zhuǎn)置得A#=A#AA+, 由引理4知A為EP矩陣, 故X=(A+)#=(A#)#=A, 由1)知A為SEP矩陣．

8) 若X=(A#)+=A+A3A+, 則AA+A3A+A#=(A#)HA+A3A+A+, 右乘AA+得A2A+=A, 由引理4知A為EP矩陣, 故X=A+A3A+=A, 由1)知A為SEP矩陣．

對于方程AXA#=(A#)HXA+, 當(dāng)A為EP矩陣時, 得AXA#AA+=(A#)HXA+, 故可構(gòu)造方程

AXA#AY=(A#)HXY．

(2)

下面將利用方程(2)的可解性來刻畫SEP矩陣．

充分性．1) 當(dāng)Y=A時, 方程(2)轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

AXA=(A#)HXA,

(3)

則: i)X=A時, 有A3=(A#)HA2, 右乘A#得A2=(A#)HA, 故由引理10知A為SEP矩陣; ii)X=A#時, 有A=(A#)HA#A, 右乘A得A2=(A#)HA, 故A為SEP矩陣; iii)X=A+時,A=AA+A=(A#)HA+A, 左乘AH得AHA=A+A, 由引理1知A為PI矩陣, 有A+=AH=((A#)HA+A)H=A+AA#, 則A為EP矩陣, 故A為SEP矩陣; iv)X=AH時,AAHA=(A#)HAHA, 右乘A+得AAH=(A#)HAH=(AA#)H, 有AA#=(AAH)H=AAH=(AA#)H, 故A為EP矩陣, 于是AAHA=(A+)HAHA=A,則A為PI矩陣, 從而A為SEP矩陣; v)X=(A#)H時,A(A#)HA=(A#)H·(A#)HA,右乘A+得A(A#)H=(A#)H(A#)H, 右乘(AH)3得A(AH)2=AH, 取共軛轉(zhuǎn)置得A=A2AH, 由引理3知A為SEP矩陣; vi)X=(A+)H時,A(A+)HA=(A#)H(A+)HA,右乘A#得A(A+)H=(A#)H(A+)H, 右乘AH得A2A+=(A#)H, 有A#=AA+AH, 于是A+A#=A+AH, 故由引理9知A為SEP矩陣; vii)X=(A+)#=(AA#)HA(AA#)H時, 則易得A(AA#)HA(AA#)HA=(A#)H·(AA#)HA(AA#)HA=(A#)HA(AA#)HA, 右乘A+A+(AH)2得A(AA#)HA(AA#)HAA+A+(AH)2=(A#)HA(AA#)HA+(AH)2=A(AA#)H(AH)2=(A#)H(AH)2=AAHAH=AH,故A為SEP矩陣; viii)X=(A#)+=A+A3A+時, 有A(A+A3A+)A=(A#)HA+A3A+A, 即A3=(A#)HA+A3, 右乘(A#)2得A=(A#)HA+A, 由(iii)可知A為SEP矩陣．

2)Y=A#時, 方程(2)轉(zhuǎn)變?yōu)锳XA#AA#=(A#)HXA#．該方程右乘A2得方程(3), 由(1)的證明可知A為SEP矩陣．

3)Y=A+時,可得方程

AXA#AA+=(A#)HXA+,

(4)

則: i)X=A時,A2A+=(A#)H, 由1)中(vi)知A為SEP矩陣; ii)X=A#時,AA#A+=(A#)H·A#A+, 右乘A3得A2=(A#)HA, 由引理10知A為SEP矩陣; iii)X=A+時,A#AA+=(A#)H·A+A+, 左乘A+A得A+=A#AA+, 由引理4知A為EP矩陣, 故A#=A#AA+=(A#)HA+A+=(A#)HA#A#, 右乘A3得A2=(A#)HA, 由引理10知A為SEP矩陣; iv)X=AH時,AAHA#AA+=(A#)HAHA+=A+, 右乘A2得AAHA=A+A2, 左乘AA+得A+A2=AA+A+A2, 右乘A#A+得A+=AA+A+, 由引理4知A為EP矩陣, 故AAHA=A+A2=A,即A為PI矩陣, 因而A為SEP矩陣; v)X=(A#)H時,A(A#)HA#AA+=(A#)H(A#)HA+, 左乘A+A得A+A2(A#)HA#AA+=A(A#)HA#AA+,右乘A2A+得A+A2(A#)H=A(A#)H, 取共軛轉(zhuǎn)置得A#AHA+A=A#AH, 左乘A+A2得AHA+A=AH, 取共軛轉(zhuǎn)置得A=A+A2, 由引理4知A為EP矩陣, 故A(A+)HA#=A(A#)HA#=(A#)H(A#)HA#=(A#)H(A+)HA+, 由推論8知A為SEP矩陣; vi)X=(A+)H時,A(A+)HA#AA+=(A#)H(A+)HA+, 即A(A+)HA+=(A#)H(A+)HA+,右乘A得A(A+)H=(A#)H(A+)H, 取共軛轉(zhuǎn)置得A+AH=A+A#, 由引理9知A為SEP矩陣; vii)X=(A+)#=(AA#)HA(AA#)H時,A(AA#)HA(AA#)HA#AA+=(A#)H(AA#)HA(AA#)HA+=(A#)HAA+=(A#)H, 左乘AA+得(A#)H=AA+(A#)H, 取共軛轉(zhuǎn)置得A#=A#AA+, 所以A為EP矩陣,X=(A+)#=(A#)#=A, 由(i)知A為SEP矩陣; viii)X=(A#)+=A+A3A+時,AA+A3A+A#AA+=(A#)HA+A3A+A+, 即A2A+=(A#)HA+A3A+A+, 左乘A+A得A+A3A+=A2A+, 右乘A#得A+A=AA#, 由引理4知A為EP矩陣,X=(A#)+=(A+)+=A, 由(i)得到A為SEP矩陣．

4)Y=AH時, 方程(2)轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

AXA#AAH=(A#)HXAH,

(5)

右乘(A+)HA+, 得到方程(4),故由(3)知A為SEP矩陣．

5)Y=(A#)H時, 方程(2)轉(zhuǎn)變?yōu)锳XA#A(A#)H=(A#)HX(A#)H, 右乘(AH)2得方程(5), 由(4)知A為SEP矩陣．

6)Y=(A+)H時, 方程(2)轉(zhuǎn)變?yōu)锳XA#A(A+)H=(A#)HX(A+)H, 右乘AHA得方程(3), 由(1)知A為SEP矩陣．

7)Y=(A+)#=(AA#)HA(AA#)H時, 方程(2)轉(zhuǎn)變?yōu)锳XA#A(AA#)HA(AA#)H=(A#)H·X(AA#)HA(AA#)H, 右乘A+得AXA#A(AA#)H=(A#)HX(AA#)H, 再右乘AH得方程(5), 由(4)知A為SEP矩陣．

8)Y=(A#)+=A+A3A+時, 方程(2)轉(zhuǎn)變?yōu)锳XA#A(A+A3A+)=(A#)HX(A+A3A+),右乘A#得AXA#A=(A#)HXA+A, 再右乘AH得方程(5), 由(4)知A為SEP矩陣．