從課本例題看初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想

黃爾迪

[摘 要]數(shù)學(xué)因較強(qiáng)的抽象性、縝密的邏輯性考查以及數(shù)字化語(yǔ)言的應(yīng)用，而成為學(xué)生心目中較難學(xué)的學(xué)科.想學(xué)好數(shù)學(xué)，絕非單純的“題海戰(zhàn)術(shù)”就可以達(dá)成的，更主要在于對(duì)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng).作為教學(xué)和學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)課本，其中所包含的數(shù)學(xué)例題是極具代表性和思想性的.文章針對(duì)數(shù)學(xué)課本中的例題進(jìn)行探究，甄選出蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)例題中的數(shù)形結(jié)合思想，并提出中學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)方法.

[關(guān)鍵詞]課本例題;數(shù)形結(jié)合思想;初中數(shù)學(xué)

[中圖分類號(hào)]??? G633.6??????? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]??? A??????? [文章編號(hào)]??? 1674-6058（2021）02-0033-02

作為一門抽象化的語(yǔ)言，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)難度是幾個(gè)學(xué)科中較大的，但這并不是學(xué)生學(xué)不好數(shù)學(xué)的根本原因，在數(shù)學(xué)的日常學(xué)習(xí)中，我們不應(yīng)把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和“刷題”簡(jiǎn)單粗暴地畫等號(hào).筆者認(rèn)為，培養(yǎng)好學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生在解題過(guò)程中可以數(shù)形結(jié)合地進(jìn)行思考，從更高的層次看待數(shù)學(xué)題和數(shù)學(xué)這門科目，這樣才會(huì)讓學(xué)生真正地了解數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)，并且能靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

一、數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵和培養(yǎng)目標(biāo)

數(shù)形結(jié)合，顧名思義，就是將數(shù)字和圖形這兩種數(shù)學(xué)構(gòu)成的基本元素有效融合，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用靈活的解題思維，在解題探究的過(guò)程中巧妙轉(zhuǎn)換數(shù)字與圖形的數(shù)學(xué)思想與方法.在初中階段，教師若想達(dá)到良好的數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)效果必然需要遵循數(shù)學(xué)教育理論，引導(dǎo)學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，重視理論教學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，要求學(xué)生準(zhǔn)確理解數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵和基礎(chǔ)原理，再利用課本例題加以應(yīng)用指導(dǎo)，使學(xué)生能游刃有余、靈活巧妙地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.

因此，初中數(shù)學(xué)教師在講解課本例題時(shí)，應(yīng)當(dāng)明確鞏固基礎(chǔ)知識(shí)和鍛煉數(shù)形結(jié)合運(yùn)用能力的教學(xué)目標(biāo)，強(qiáng)調(diào)“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”的思想，誘導(dǎo)學(xué)生將具體的數(shù)字和抽象的圖形靈活轉(zhuǎn)化，逐步挖掘出問(wèn)題背后生動(dòng)清晰的知識(shí)本質(zhì)，從而深化對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和應(yīng)用，大幅度地提升解題效果.對(duì)于初中生而言，養(yǎng)成良好的數(shù)形結(jié)合思想，不僅能夠強(qiáng)化他們的空間觀念和數(shù)字意識(shí)，也能激活他們潛在的創(chuàng)造性思維，促進(jìn)他們數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

二、數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)存在的問(wèn)題

很多學(xué)生在步入中學(xué)之后感覺(jué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)較為吃力，最直觀的原因在于，中學(xué)數(shù)學(xué)不再是簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)數(shù)字的堆放，而是進(jìn)行了系統(tǒng)化、邏輯化和體系化的建立.首當(dāng)其沖的就是數(shù)學(xué)的思想.數(shù)學(xué)思想是貫穿整個(gè)初中階段乃至學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯的脈絡(luò)，尤其是數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中的滲透，體現(xiàn)出了單純的數(shù)學(xué)題的堆積并不能引發(fā)質(zhì)變，只有在精雕細(xì)琢每一道數(shù)學(xué)題，并且認(rèn)真探究其中的思想，才能做到游刃有余.

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想時(shí)存在著以下問(wèn)題：一是大部分初中數(shù)學(xué)教師不了解數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用的意義，不重視將數(shù)形結(jié)合思想滲透在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中;有的教師在講解課本例題時(shí)，只是把數(shù)形結(jié)合思想看作解題思路和解題方法，純粹引導(dǎo)學(xué)生探求問(wèn)題答案，忽視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，使得數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)目標(biāo)缺乏教學(xué)實(shí)踐價(jià)值.二是多數(shù)學(xué)生在解題的過(guò)程中逐漸形成運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)，但是他們?nèi)耘f沒(méi)有透徹理解和把握數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用方法，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵存在狹隘認(rèn)知.有的學(xué)生過(guò)分重視“以形助數(shù)”的應(yīng)用，卻忽視了“以數(shù)化形”和“形數(shù)互變”，無(wú)法在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和直觀的幾何圖形有機(jī)結(jié)合使其變得更為簡(jiǎn)單形象.由此可見(jiàn)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想任重道遠(yuǎn)，數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)途徑也有待考究和探索.

三、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的有效策略

1.以數(shù)化形，厘清解題思路

初中數(shù)學(xué)教材中集中了大量典型的例題和習(xí)題，這些題目凝結(jié)了大量典型的數(shù)學(xué)思想方法，其中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想不可忽視.初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)積極展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合之“以數(shù)化形”方法，引導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)數(shù)與形的統(tǒng)一關(guān)系，幫助學(xué)生形成清晰的解題思路，將“數(shù)”寄托于“形”中，利用已有的所理解的“數(shù)”，構(gòu)建出形象直觀的“形”.只有這樣，學(xué)生才能準(zhǔn)確掌握以數(shù)化形的解題方法，避免生搬硬套公式、陷入“死做題、做死題、做題死”的局面，逐漸沖出解題的誤區(qū).

例如，學(xué)生在解答復(fù)雜、抽象的代數(shù)式時(shí)，所采用的解法大多相對(duì)單一，常通過(guò)等式和代數(shù)式之間的變換使式子更加簡(jiǎn)單易解，但是在特殊情況下，一些典型的代數(shù)式可轉(zhuǎn)化為圖形，化抽象為具體，方便學(xué)生解題.尤其是在解決二次函數(shù)的相關(guān)題目時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想對(duì)二次函數(shù)形式的代數(shù)式進(jìn)行簡(jiǎn)單的變換.以“已知二次函數(shù)為[y=x?-x+m]，畫出它的圖像，判斷它的開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)”一題為例，學(xué)生先運(yùn)用配方法將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的二次函數(shù)式，然后將其大致形狀描繪在坐標(biāo)上，以此來(lái)判斷出二次項(xiàng)系數(shù)[a=1>0]，開口向上;再由[y=x?-x+m=x?-x+122-14+m=x-122+4m-14]和圖像得出對(duì)稱軸是直線[x=12]，頂點(diǎn)坐標(biāo)為[12，4m-14].由此看來(lái)，在講解課本例題時(shí)有意識(shí)地滲透數(shù)形結(jié)合思想極其重要，教師應(yīng)當(dāng)結(jié)合具體例題的情況來(lái)適當(dāng)調(diào)整滲透方向，引導(dǎo)學(xué)生既快又準(zhǔn)地完成數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，逐步提升解題的效率.

2.以形變數(shù)，捕捉一題多解

以形變數(shù)是數(shù)形結(jié)合思想的重要構(gòu)成部分，它直接體現(xiàn)數(shù)與形的對(duì)立思維，要求學(xué)生借助數(shù)的形式來(lái)加以計(jì)算和判定簡(jiǎn)單圖形.在素質(zhì)教育對(duì)學(xué)生思維能力創(chuàng)新的要求下，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“以形變數(shù)”的解題方法，培養(yǎng)學(xué)生從“一”探究“多”的解題方法，是初中數(shù)學(xué)教師需要加以重視的話題.一題多解，意味著教師和學(xué)生都需要突破固有“答案式”的解題思維局限，不斷在解題過(guò)程中實(shí)現(xiàn)再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，捕捉隱藏于題目背后的更多令人驚喜的“意外途徑”，使學(xué)生能夠在思維的拓展延伸中創(chuàng)造和挖掘出新觀點(diǎn)和新解法.

例如，“全等三角形的判定”是學(xué)生在初中階段需要重點(diǎn)把握的知識(shí)，而有關(guān)全等三角形的判定例題的解題途徑也是多樣化的，如邊邊邊、邊角邊、角角邊等.學(xué)生在解決有關(guān)全等三角形的判定問(wèn)題時(shí)，需要從圖形中探尋判定的切入點(diǎn)，逐步歸納出其中的全等條件，從而完成全等三角形的判定過(guò)程.那么，教師在引導(dǎo)學(xué)生分析全等三角形的判定的例題時(shí)，應(yīng)當(dāng)基于教學(xué)內(nèi)容來(lái)對(duì)例題進(jìn)行有目的地“深加工”，全方位挖掘出課本例題的多樣化解法，并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生拓展思維，學(xué)會(huì)從多方位切入解題，實(shí)現(xiàn)思路的創(chuàng)新和解法的創(chuàng)造，而不是僅僅被一種解題思路所束縛.如對(duì)于例題“如圖1所示，已知D是AB的中點(diǎn)，[∠ACB=90°]，求證[CD=12AB]”，教師可先讓學(xué)生回憶全等三角形的判定方法主要包括SSS、SAS、ASA，AAS、HL等，再要求學(xué)生多角度完成“以形變數(shù)”的解題過(guò)程.在結(jié)合全等三角形判定方法來(lái)觀察圖形后，學(xué)生列出了清晰的解題步驟：延長(zhǎng)CD至P點(diǎn)，使D為CP中點(diǎn).連接AP，BP，∵[DP=DC]，[DA=DB]，∴四邊形ACBP為平行四邊形，又[∠ACB=90]，∴平行四邊形ACBP為矩形∴[CD=CP=12AB].

在這個(gè)尋求“新元素”和創(chuàng)造“新途徑”的過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生在解決課本的空間圖形例題時(shí)，能夠運(yùn)用“以形輔數(shù)”的解題思維來(lái)挖掘出更多的解決方法.由此可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合思想能夠促進(jìn)學(xué)生思維能力和解題能力得到鍛煉和提高.

由此看來(lái)，在講解課本例題的過(guò)程中有意識(shí)地滲透數(shù)形結(jié)合思想極其重要，教師應(yīng)當(dāng)結(jié)合具體例題的情況來(lái)適當(dāng)調(diào)整滲透方向，引導(dǎo)學(xué)生既快又準(zhǔn)地完成數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，使他們逐漸形成獨(dú)特的數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用方法，開拓思路，積極創(chuàng)新，實(shí)現(xiàn)解題效率的提高和學(xué)科素養(yǎng)的提升.

[參考文獻(xiàn)]

[1]? 呂莉.農(nóng)村初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)[D].哈爾濱：哈爾濱師范大學(xué)，2019.

[2]? 徐德明.高中解析幾何知識(shí)中數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略研究[D].哈爾濱：哈爾濱師范大學(xué)，2019.

[3]? 董磊.數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值和意義[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（29）：46-48.

（責(zé)任編輯 陳 昕）