淺談中考幾何復習課的題組教學

張偉琴

【摘要】中考復習課是以某一知識為基準，對知識和方法的內(nèi)在聯(lián)系進行橫向網(wǎng)構(gòu)，對蘊含的數(shù)學思想進行縱向剖析的課.其注重數(shù)學思想和方法的滲透.中考復習課圍繞學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展需要，以提高學生的數(shù)學思維能力為核心，使學生掌握“四基” “四能”，達到講一題、得一法，會一類、通一片的效果.

【關鍵詞】中考復習課;核心素養(yǎng);四基;四能

1 復習教學設計的思考

“直線與圓的位置關系”這節(jié)課用代數(shù)的定量來解決幾何的定位.以問題帶動復習，主線是d和r的不變和變構(gòu)成的三種組合：（1）d定，r變;（2）d變，r定;（3）d變，r變.從架構(gòu)上講，這些問題非常合理，也符合學生認知規(guī)律，不僅有數(shù)學知識（用d和r的大小關系來判定直線和圓的位置關系） 這條明線存在，而且有數(shù)學思想與方法 （求解問題的“序”）這條暗線隱藏其中.所帶班級的學生是B層學生，本節(jié)課先低起點，用題組1回顧激活基本模型結(jié)構(gòu)，然后設置題組2，3，運用基本模型結(jié)構(gòu)解決相關問題，最后設置題組4，在復雜情境中進行模型的轉(zhuǎn)化.通過這樣的逐步提升，不同水平層次的學生都能得到不同的發(fā)展.本節(jié)課問題設計系列化，就是將幾個背景相似、角度不同、層次不同，但在解題思想方法上具有相似性或存在內(nèi)在聯(lián)系的幾個問題組合在一起，作為一個系列展開.學生在經(jīng)歷由淺入深、層層遞進的思維過程中，逐步體悟“建立求解問題的序”的精妙.題組教學體現(xiàn)了知識線索的有效串聯(lián)和數(shù)學思想方法的有效滲透.

2 教學過程

2.1 用遞進式題組構(gòu)建知識和方法，落實易漏點和易錯點

題組1：（d定，r變）如圖1，已知∠AOB=90°，OB=3 cm，OA=4 cm，⊙O的半徑為r.

（1）當r=2 cm，r=2.4 cm，r=3 cm時，判斷直線AB與⊙O的位置關系.

（2）若把直線AB改為射線，當r為何值時，⊙O與射線AB只有一個交點？

教學流程：學生在備用圖上完成，老師巡視，請學困生來回答.

老師點評：弄清兩個元素，即圓心的位置和直線的位置.找到圓心到直線的距離，得到d，再比較d和r的大小.

若把直線AB改為射線，當r為何值時，⊙O與射線AB只有一個交點？

學生用幾何畫板，通過動手操作，發(fā)現(xiàn)還有一種可能，故答案為r=2.4或r>4.

師：除了相切的時候有一個交點，還要考慮另一種情況：由于我們給的是射線，射線就涉及一個端點，所以我們要考慮這個圓剛過端點A的情形.這樣整個數(shù)軸就被2.4和4分成了三部分，我們將按04進行分類討論，這樣就不會遺漏了.

教學說明：

利用動態(tài)化教學手段彌補知識的缺漏和思維的不足，培養(yǎng)學生有效觀察的習慣，這么做便于基礎差的學生進行學習.

2.2 以探究式題組提升學生思維的深刻度

題組2：（d變，r定）如圖2，已知∠AOB=90°，OB=3 cm，OA=4 cm，半徑為1 cm的⊙C在邊OB上運動.

（1）當OC等于多少時，⊙C與直線AB相切？

（2）把“⊙C在邊OB上運動”改成“⊙C在射線OB上運動”，（1）的結(jié)果又是多少？

教學流程：教師讓學生在備用圖上完成.

（1）師：設⊙C與直線AB相切于點D，

方法1：S△AOC+S△ACB=S△AOB，即OC·AO2+AB·CD2=OB·AO2.

方法2：S△ABC=CB·AO2=AB·CD2.

以上都是用兩種不同的方法來表示同一塊三角形的面積，建立等量關系，構(gòu)造方程.所以，當出現(xiàn)垂線段的時候，我們往往想到高，然后就和面積掛鉤了.

方法3：已知條件在△AOB中，要求的未知量CB和半徑1在△CDB中，兩個三角形的問題，我們往往歸結(jié)為是否相似，利用△CDB∽△AOB，相似三角形中的對應線段成比例，構(gòu)造方程.我們也得到了一個相似的基本模型.

教師板書解題方法.

解題思路：

1.面積法 2.相似

（2）把“⊙C在邊OB上運動”改為“⊙C在射線OB上運動”，那么OC等于多少呢？

生：由于得出的兩個三角形是全等（△CDB≌△CDB）的，又BC=54，所以OC一個是3+54=174，另一個是3-54=74.

教學說明：

（1）同屏技術的運用：把學生在課堂中生成的知識實時上傳，更重要的是少了很多板書，提高教學效率 .同屏技術有利于教師在課堂上診斷學習狀況，也便于教師發(fā)現(xiàn)問題和解決問題.

（2）優(yōu)化提升及反思：教師要適時引導學生探索一題多解，并對方法進行比較，從中挖掘通法通性.解題后的反思能讓偶然的思維變成必然，零散的思考變得凝練.

2.3 題組教學把方法遷移到新情境中，使學生體會運動變化過程中的不變性

題組3：（d變，r變）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，P是AC上的動點（P不與A，C重合）.設PC=x，點P到AB的距離為y.

（1）求y關于x的函數(shù)解析式.

（2）試討論以點P為圓心，半徑為x的圓與AB所在直線的位置關系，并指出相應的x的取值范圍.

教學流程：教師巡視，同屏學生作品.

（1）設PD⊥AB于點D.

方法1：△PDA∽△BCA.

方法2：S△BPC+S△APB=S△ACB，

即PC·BC2+AB·PD2=CA·BC2.

方法3：S△ABP=CB·AP2=AB·PD2.

（2）試討論以點P為圓心，半徑為x的圓與AB所在直線的位置關系，并指出相應的x的取值范圍.

同學們先在備用圖上試試看.

生：由y=x，得4（3-x）5=x，x=43.故當0

師：同學們，你們覺得這名同學做得對嗎？

學生思考片刻，有同學指出，當⊙P與直線AB相交時取值范圍不對，因為點P在AC上運動，點P不與A，C重合，所以43<x<3.

教學說明：

在連續(xù)的、螺旋式的系列問題探究中，將難點分散設計成有梯度的問題，減緩問題的難度，先求y關于x的函數(shù)解析式.這個y就是下一問中圓心到直線的距離d.隨著問題的不斷深入與發(fā)展，相切是一個等量關系，從而把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程，讓學生體會到方程就是函數(shù)當因變量y為一個數(shù)值時的特殊情況.

2.4 題組教學創(chuàng)設促進深度學習的真實情境，引導學生積極體驗

題組4：如圖4，在平面直角坐標系中，⊙O的圓心在坐標原點，半徑為3.點A（-7，9），D點是x軸上的一個動點，連接AD.

（1）若點D的坐標為D（3，0）.請直接寫出此時直線AD與⊙O的位置關系.

（2）若直線AD和⊙O相切，求D點的坐標.

（3）當直線AD和⊙O相交時，求D點橫坐標的取值范圍.

教學流程：

生：問題（1）是相交.

師：問題（2）由相切得到什么？

生：垂直.

師：由點A的坐標如何轉(zhuǎn)化成線段？

生：作點A到x軸的垂線段，點A到x軸的距離是9，到y(tǒng)軸的距離是7（如圖4所示）.

師：我們是不是就把這個圖轉(zhuǎn)化成我們熟悉的基本圖形了，我們要求什么？

生：D點的坐標.

師：要求什么，我們就設什么為x，剛才發(fā)現(xiàn)這里有一個相似的模型，它們的相似比是多少呢？

生：1∶3.

師：哪條線段可以用x表示出來呢？

生：AD=3x.

師：我們用什么來構(gòu)造方程呢？

生：勾股定理.在Rt△AHD中，HD2+AH2=AD2，即（7+x）2+92=（3x）2.

師：此時得到點D的坐標是（5，0）.

師：其實還有一個點.在Rt△AHD中，HD2+AH2=AD2，即（7-x）2+92=（3x）2，得點D的坐標是-134，0.

師：當直線和圓相交時，點D的橫坐標在什么范圍？

大屏幕顯示第（3）問：當直線AD和⊙O相交時，求D點橫坐標的取值范圍.

學生馬上回答：-134<x<5.

師：對了，我們只要求出相切時的臨界點，很快就可以得到相交時點D的橫坐標的范圍了.

小結(jié)：

教學說明：

（1）深度學習重視學習的遷移運用和問題解決，在相似情境中能夠做到“舉一反三”，也能在新情境中分析判斷差異并將原則思路遷移運用.題組2.4教學創(chuàng)設促進深度學習的真實情境，引導學生積極體驗，將新知識與已有的知識經(jīng)驗聯(lián)系起來，在已有知識結(jié)構(gòu)的基礎上建構(gòu)新知識.

（2）在題組2.4的教學過程中，教師給學生提供備用圖，設置第一問，從簡單處小步走，讓所有學生都能夠參與進來.教師適當給予學生必要的指導，使學生在不斷解決困惑的過程中獲得學習成功的體驗.

（3）注重建立知識間的關聯(lián)，提高學生知識運用的靈活性.這個過程解決了知識傳授難度與學生認知水平之間的矛盾，學生本身已有的知識儲備加上解決前面問題積累的經(jīng)驗，使學生再一次經(jīng)受了問題考驗，從而對這部分內(nèi)容有了更透徹的感悟，有了更深入的理解.

（4）在小結(jié)提升環(huán)節(jié)，教師通過思維導圖梳理本文教學過程，讓學生對相關知識、方法和思維形成清晰的脈絡，將經(jīng)驗結(jié)構(gòu)化，進一步升華了活動經(jīng)驗，提升了學生的思維水平.