對數(shù)的歷史及其德育價(jià)值

摘要：對數(shù)歷史最重要的教育價(jià)值就在于數(shù)學(xué)學(xué)科德育。從人物、思想、知識等方面入手，著眼于理性精神、活動(dòng)本質(zhì)、學(xué)習(xí)情感、個(gè)人品質(zhì)等數(shù)學(xué)德育元素，挖掘?qū)?shù)歷史素材，設(shè)計(jì)對數(shù)概念教學(xué)，架設(shè)溝通歷史與現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)與人文的橋梁，最終達(dá)成立德樹人的目標(biāo)。

關(guān)鍵詞：對數(shù);數(shù)學(xué)史;數(shù)學(xué)德育;教學(xué)設(shè)計(jì)

歌德曾經(jīng)說過：“一門科學(xué)的歷史是就這門科學(xué)本身?！痹谝浴傲⒌聵淙恕睘榻逃救蝿?wù)的今天，這一觀點(diǎn)對教師來說具有重要的指導(dǎo)意義。就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，數(shù)學(xué)的歷史是改善教學(xué)的工具，了解數(shù)學(xué)的歷史也應(yīng)該成為教學(xué)的目標(biāo)之一。因?yàn)閷?shí)踐表明，HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)對于學(xué)科德育的落實(shí)有著獨(dú)特的價(jià)值。但是，由于教師對“數(shù)學(xué)學(xué)科德育”內(nèi)涵的理解還不夠清晰，許多HPM課例未能充分挖掘或凸顯有關(guān)知識歷史的德育價(jià)值。有鑒于此，本文基于對數(shù)的歷史分析其德育價(jià)值，并做教學(xué)設(shè)計(jì)，由此對數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)學(xué)科德育之間的關(guān)系做進(jìn)一步的探討。

一、對數(shù)的歷史

（一）一個(gè)人物

納皮爾于1550年出生于蘇格蘭郊區(qū)的莫契斯頓城堡。他的父親阿奇巴爾德·納皮爾是城堡的第七代領(lǐng)主，曾先在阿蓋爾郡擔(dān)任法官，后擔(dān)任造幣廠廠長長達(dá)三十余年。納皮爾的童年是在城堡里度過的，并沒有去學(xué)校上學(xué)?？赡艿那闆r是：父親為他請了家庭教師，讓他接受啟蒙教育。13歲那年，納皮爾進(jìn)入蘇格蘭最古老的大學(xué)——圣安德魯斯大學(xué)的圣薩爾瓦多學(xué)院學(xué)習(xí)，師從當(dāng)時(shí)蘇格蘭最著名的教師——圣薩爾瓦多學(xué)院院長約翰·盧瑟福。

不久，納皮爾帶著失去母親的深深傷痛，也帶著父親的殷殷期望，負(fù)笈來到歐洲大陸留學(xué)。雖然沒有文獻(xiàn)記載納皮爾的留學(xué)之地，但是最有可能的是法國。直到1571年，21歲的納皮爾結(jié)束了留學(xué)生活，回到了闊別已久的家鄉(xiāng)。然而，不見親人的笑顏，唯有殘酷的現(xiàn)實(shí)。那是蘇格蘭歷史上最黑暗的一頁：教派紛爭，兵連禍結(jié)，滿目瘡痍，父子反目，兄弟成仇，親屬相殘……家鄉(xiāng)的一切都變了：父親被支持瑪麗女王的一方囚禁于愛丁堡城堡;莫契斯頓城堡被支持詹姆斯六世的一方占領(lǐng)，還不時(shí)遭到瑪麗女王一方的炮擊。

納皮爾被迫離開愛丁堡，來到父親在加特尼斯購置的一處莊園。就在這里，納皮爾收獲了愛情，不久走進(jìn)了婚姻的殿堂;同時(shí)，開始致力于莊園的建設(shè)。很快，在風(fēng)景秀麗的恩德里克河畔出現(xiàn)了一幢占地面積很大的新樓，大樓周邊有花園和果園。納皮爾在這里一住就是三十幾年。

1593年，信仰天主教的一些貴族暗地里請西班牙菲力二世向蘇格蘭派遣軍隊(duì)以占領(lǐng)英國。納皮爾隨基督教最高裁決會(huì)議派遣的代表團(tuán)三度進(jìn)諫詹姆斯六世，要求立即處理那些“基督教會(huì)眾和國家的敵人”。在祖國面臨戰(zhàn)爭威脅的時(shí)候，納皮爾還充分發(fā)揮自己的聰明才智，設(shè)計(jì)了許多保家衛(wèi)國、打擊敵人的武器，其中包括可以燒毀一定范圍內(nèi)任意遠(yuǎn)處敵艦的燃燒鏡、可以全面打擊方圓4英里內(nèi)敵人的大炮、可以從各個(gè)方向消滅敵人的戰(zhàn)車、可能具有水雷功能的水下武器等——雖然這些武器最終都沒有派上用場。

有理由相信，納皮爾關(guān)于對數(shù)的研究始于加特尼斯。然而，在寧靜的夜晚，納皮爾的思路常常被恩德里克河對岸一家棉絨廠發(fā)出的噪音所打斷。在加特尼斯，納皮爾還對農(nóng)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣。據(jù)說，他是第一個(gè)提出鹽是有效肥料的人，他還提出了許多農(nóng)藝新方法。

在加特尼斯忙碌而充實(shí)的生活中，納皮爾遭遇了人生新的不幸。妻子伊麗莎白在生下他們的孩子后不久便撒手人寰。后來，他有了第二任妻子，并育有十幾個(gè)孩子。

1608年，納皮爾的父親去世，他離開加特尼斯，遷回莫契斯頓。關(guān)于納皮爾的許多有趣的故事都發(fā)生在這里。

一個(gè)故事說，納皮爾有一只烏黑發(fā)亮的公雞。他說，這只雞有一種神奇的本領(lǐng)，能告訴他家里人最隱秘的想法。某一天，家中的一件貴重物品失竊，納皮爾懷疑是某個(gè)仆人所為，卻沒有任何證據(jù)。于是，他將那只“神雞”關(guān)在一個(gè)暗室里，并告訴仆人們：它被一個(gè)偷過東西的人摸到時(shí)會(huì)叫。然后，他讓仆人們依次進(jìn)入暗室摸雞，出來后向他出示雙手。結(jié)果，只有一個(gè)仆人的雙手是干凈的，而其他仆人的手上都沾上了煤灰。原來，納皮爾在公雞身上抹了煤灰，那位偷東西的仆人因?yàn)楹ε码u叫而不敢摸，所以雙手干干凈凈。就這樣，納皮爾找出了家賊。

另一個(gè)故事說，納皮爾的鄰居家養(yǎng)了一群鴿子，鴿子常常飛到莫契斯頓城堡內(nèi)吃麥粒。納皮爾警告鄰居說，若鴿子以后再飛來吃麥粒，他就把它們捉起來關(guān)到籠子里。“如果你能捉住它們的話，隨你的便?！编従幼孕诺鼗卮?。第二天早上，莫契斯頓城堡內(nèi)的地上到處都是鴿子——它們被納皮爾施了“魔法”，再也飛不起來了。在納皮爾的吩咐下，仆人們將一只只鴿子關(guān)進(jìn)了籠子里。

這些故事在當(dāng)時(shí)廣為流傳，傳到最后，納皮爾就成了地地道道的魔法師。實(shí)際上，在第一個(gè)故事中，納皮爾顯然沒有什么“神雞”，他只是利用了小偷做賊心虛的心理而已——這個(gè)故事簡直就是我國北宋著名科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中講述的“摸鐘”故事的翻版。而在第二個(gè)故事中，納皮爾一定是在麥粒上做了手腳：一個(gè)容易的做法是，前一天將麥粒浸于酒中，第二天一早曬出，吃麥粒的鴿子自然都醉倒了。

1614年，經(jīng)過20年的努力，納皮爾終于出版了他一生中最重要的數(shù)學(xué)著作——《奇妙的對數(shù)表說明書》。對數(shù)的發(fā)明將天文學(xué)家從繁重的計(jì)算勞動(dòng)中解放出來，用后來法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯的話說，就是“由于省時(shí)省力，對數(shù)的發(fā)明讓天文學(xué)家的壽命增加了一倍”。對數(shù)的誕生標(biāo)志著人類的計(jì)算史翻開了新篇章，成為17世紀(jì)三大數(shù)學(xué)成就之一。

1615年，遠(yuǎn)在倫敦的數(shù)學(xué)家布里格斯讀到《奇妙的對數(shù)表說明書》后，嘆為觀止，愛不釋手。在寫給友人的一封信中，布里格斯說，自己從未遇到過一本讓他如此愉悅的書。他致信納皮爾，說暑期里要專程去拜訪他，并約好了時(shí)間。

暑期來臨了。根據(jù)約定的時(shí)間，納皮爾在家中恭候遠(yuǎn)方的客人。當(dāng)時(shí)，從倫敦到愛丁堡，乘馬車需要整整四天四夜。布里格斯按照約定的時(shí)間從倫敦出發(fā)，但由于天氣的緣故，沒能趕在約定的時(shí)間到達(dá)莫契斯頓。一天過去了，納皮爾沒等到布里格斯。第二天，依然是久等不遇的失望。第三天，納皮爾在二樓的客廳里坐不住了，他對前來拜訪的朋友馬爾說：“看樣子，我們遠(yuǎn)方的朋友今天是不會(huì)來了?！痹捯魟偮?，樓下響起了敲門聲。馬爾急忙跑下樓開門，來客通報(bào)自己是布里格斯。馬爾將客人領(lǐng)到客廳，兩位數(shù)學(xué)家初次會(huì)面，彼此在沉默中對視了一刻鐘。我們無法想象，那是多么激動(dòng)人心的時(shí)刻！人生得一知己足矣，兩位數(shù)學(xué)家相見恨晚。

在莫契斯頓城堡，布里格斯一住就是一個(gè)月。當(dāng)清晨的陽光灑滿城堡的時(shí)候，兩位數(shù)學(xué)家已經(jīng)漫步在城堡中的林蔭小道上。他們熱烈地討論著一個(gè)重要話題：如何改進(jìn)現(xiàn)有的對數(shù)？在兩位數(shù)學(xué)家的思想碰撞中，常用對數(shù)誕生了！

1616年暑期，他們又一次相聚在莫契斯頓城堡，并且約好下一年暑期再次相聚。怎料天不假年，納皮爾不幸病逝。不久，布里格斯出版了他的常用對數(shù)表，以此告慰他的朋友、對數(shù)發(fā)明者、蘇格蘭一代數(shù)學(xué)偉人的在天之靈。

（二）一種思想

在《奇妙的對數(shù)表說明書》的前言里，納皮爾告訴我們：

沒有什么比大數(shù)的乘、除、開平方或開立方運(yùn)算更讓數(shù)學(xué)工作者頭痛、更阻礙計(jì)算者的了。這不僅浪費(fèi)時(shí)間，而且容易出錯(cuò)。因此，我開始考慮怎樣消除這些障礙。經(jīng)過長久的思索，我終于找到了一些漂亮的簡短法則……

這段話十分清楚地表達(dá)了納皮爾發(fā)明對數(shù)的動(dòng)機(jī)——簡化計(jì)算。大道至簡，求簡是數(shù)學(xué)的重要思維方式之一：數(shù)學(xué)符號的運(yùn)用為的是語言的求簡，而對數(shù)的發(fā)明則是計(jì)算方法的求簡。

實(shí)際上，在納皮爾之前，數(shù)學(xué)家早已有了簡化計(jì)算的想法。

比如，法國數(shù)學(xué)家許凱在《算學(xué)三部》（1484）中利用“雙數(shù)列”（如圖1），將上一列中某兩數(shù)相乘轉(zhuǎn)化為下一列中對應(yīng)的兩數(shù)相加。

再如，德國數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾在《整數(shù)算術(shù)》（1544）中給定“雙數(shù)列”（如圖2），提出四個(gè)運(yùn)算法則：（1）等差數(shù)列中的加法對應(yīng)于等比數(shù)列中的乘法;（2）等差數(shù)列中的減法對應(yīng)于等比數(shù)列中的除法;（3）等差數(shù)列中的簡單乘法對應(yīng)于等比數(shù)列中的乘方;（4）等差數(shù)列中的除法對應(yīng)于等比數(shù)列中的開方。

我們看到，要求等比數(shù)列中某項(xiàng)（真數(shù)）的積或商，只需在等差數(shù)列中找到相應(yīng)的“替身”（假數(shù)），通過“替身”的和或差即可找到所求某項(xiàng)的積或商。這是納皮爾對數(shù)思想的源泉之一。

雖然許凱和斯蒂菲爾的“雙數(shù)列”可以用來簡化計(jì)算，但其適用范圍很小，因?yàn)榈缺葦?shù)列所含的數(shù)太少，對于2的正整數(shù)次冪以外的數(shù)的乘法完全無用。納皮爾需要做的是構(gòu)造新的等比數(shù)列，使其相鄰項(xiàng)的間隔小于1，這樣，它就能包含一定范圍內(nèi)的所有正整數(shù)。

當(dāng)時(shí)的天文學(xué)家已利用“加減術(shù)”，即積化和差公式sin αsin β=12[cos（α-β）-cos（α+β）]和cos αcos β=12[cos（α+β）+cos（α-β）]簡化乘法運(yùn)算，所以，他們離不開正弦和余弦表。而當(dāng)時(shí)的正弦和余弦表是以107為圓的半徑制作的，所以，納皮爾選擇了107作為首項(xiàng)，又選擇了1-10-7作為公比，得到等比數(shù)列：107，107（1-10-7），107（1-10-7）2，107（1-10-7）3，…，107（1-10-7）n，…。這個(gè)數(shù)列中，相鄰兩項(xiàng)的間隔很小。例如，前100項(xiàng)近似為10000000，9999999，9999998，9999997，9999996，9999995，9999994，9999993，9999992，9999991，9999990，…，999901，相鄰兩項(xiàng)的差不超過1。因而，可在其中找到所需要的真數(shù)，進(jìn)而可以找出它們的對數(shù)（其對數(shù)分別為0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…，99，…），達(dá)到簡化計(jì)算的目的。

后經(jīng)過商討，納皮爾和布里格斯一致同意，先建立表1所示的“雙數(shù)列”對應(yīng)關(guān)系，再通過在等比數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間插入等比中項(xiàng)，得到相應(yīng)的對數(shù)。不斷插入等比中項(xiàng)，能夠得到相鄰兩項(xiàng)之間任一給定的正整數(shù)，從而求得該數(shù)的對數(shù)。

例如，要求2的常用對數(shù)（精確到7位小數(shù)），首先在1和10之間插入等比中項(xiàng)1012≈3.1622777，其對數(shù)為0.5;接著在1和1012之間插入等比中項(xiàng)1014≈1.7782794，其對數(shù)為0.25;然后在1014和1012之間插入等比中項(xiàng)1038≈2.3713737，其對數(shù)為0.375……不斷在最接近2的兩數(shù)之間插入等比中項(xiàng)，在第25步時(shí)即得到2，其常用對數(shù)為0.3010302。

經(jīng)過兩位數(shù)學(xué)家的思想碰撞，常用對數(shù)誕生了！

（三）一個(gè)概念

在對數(shù)發(fā)明后相當(dāng)長的時(shí)期內(nèi)，數(shù)學(xué)家都利用等差數(shù)列和等比數(shù)列對應(yīng)關(guān)系來定義對數(shù)，即：給定雙數(shù)列，等比數(shù)列中的項(xiàng)在等差數(shù)列中的對應(yīng)項(xiàng)稱為對數(shù)，前者稱為真數(shù)，后者又稱為假數(shù)。例如，拉弗森在《數(shù)學(xué)辭典》（1702）中定義：對數(shù)是構(gòu)成等差數(shù)列的一組數(shù)，與等比數(shù)列中同樣多的數(shù)相對應(yīng)。羅奈因在《代數(shù)專論》（1717）中定義：對數(shù)是與真數(shù)相對應(yīng)的一組假數(shù)，任意兩個(gè)真數(shù)的對數(shù)（假數(shù)）之和等于這兩個(gè)真數(shù)的積的對數(shù)，任意兩數(shù)的對數(shù)之差等于這兩個(gè)數(shù)的商的對數(shù)。桑德森在《代數(shù)基礎(chǔ)》（1740）中定義：對數(shù)是與真數(shù)相對應(yīng)的一組假數(shù)，其加法對應(yīng)于真數(shù)的乘法，即，若將任意兩數(shù)相乘得到第三個(gè)數(shù)，則它們的對數(shù)之和構(gòu)成了第三個(gè)數(shù)的對數(shù)。達(dá)朗貝爾在《大百科全書》（1765）中定義：對數(shù)是一個(gè)等差數(shù)列中的數(shù)，與另一個(gè)等比數(shù)列中的數(shù)相對應(yīng)。

18世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家斯通在《新數(shù)學(xué)辭典》（1743）中給出了這樣的對數(shù)定義：“對數(shù)是一個(gè)給定數(shù)的冪的指數(shù)……例如，給定數(shù)為10，10的零次冪等于1，故1的對數(shù)為0;10的0.301030次冪等于2，故2的對數(shù)為0.301030;10的0.477121次冪等于3，故3的對數(shù)為0.477121……10的1.079181次冪等于12，故12的對數(shù)為1.079181，等等?！笨梢?，最遲到1743年，已經(jīng)有數(shù)學(xué)家直接用冪指數(shù)來定義對數(shù)了，只是沒有采用符號語言。

1748年，歐拉在《無窮分析引論》中用現(xiàn)代符號給出了對數(shù)的冪指數(shù)定義：“若az=y，則z可以看作是y的函數(shù)，通常稱z為y的對數(shù)，其中a稱為底數(shù)。因此，以a為底y的對數(shù)即為冪az的指數(shù)，az等于y。y的對數(shù)常記作z=Ly?！痹跉W拉之后，人們逐漸習(xí)慣于用冪指數(shù)來定義對數(shù)，舊定義逐漸退出了歷史舞臺。

在對數(shù)的冪指數(shù)定義中，人們已經(jīng)看不到真數(shù)與假數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，對數(shù)的簡化計(jì)算功能也被淡化了。

二、對數(shù)歷史的德育價(jià)值

可以看出，對數(shù)的歷史蘊(yùn)含著豐富的德育價(jià)值。歸納起來有這么幾個(gè)方面：

（一）體會(huì)數(shù)學(xué)的理性精神

求簡是數(shù)學(xué)家的重要思維方式之一，但求簡并不是以犧牲準(zhǔn)確性為代價(jià)的，相反，數(shù)學(xué)家需要建立科學(xué)有效的方法。為此，納皮爾構(gòu)造了全新的等比數(shù)列，突破了15—16世紀(jì)數(shù)學(xué)家所用的數(shù)列以及天文學(xué)家所用的三角公式的局限性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神。而且，納皮爾發(fā)明對數(shù)后并未感到滿足，而是很快就發(fā)現(xiàn)自己的對數(shù)表還有改進(jìn)的空間，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)家的求真精神。

（二）認(rèn)識數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)

首先，數(shù)學(xué)是人“做”出來的。做數(shù)學(xué)的人和從事其他體力、智力活動(dòng)的人一樣，并非生活在真空之中，他們不可能不食人間煙火，不可能沒有喜怒哀樂，不可能完美無缺。如果我們覺得納皮爾用“神雞”識賊、巧捉鴿子這樣的所作所為很難與一位取得17世紀(jì)三大數(shù)學(xué)成就之一的數(shù)學(xué)家聯(lián)系在一起的話，這種看法實(shí)際上源于我們對數(shù)學(xué)家的不恰當(dāng)?shù)恼J(rèn)識。納皮爾的故事能讓我們看到數(shù)學(xué)家的真面目。

其次，數(shù)學(xué)知識的發(fā)生是有動(dòng)因的。如今數(shù)學(xué)教材直接用指數(shù)來定義對數(shù)，使得對數(shù)概念仿佛從天而降;而對數(shù)概念的發(fā)生發(fā)展過程卻清楚地表明，對數(shù)的發(fā)明有著極其強(qiáng)烈的動(dòng)機(jī)。事實(shí)上，任何數(shù)學(xué)概念的誕生都源于數(shù)學(xué)外部或內(nèi)部問題解決的需要，而非憑空出現(xiàn)——所謂“既要講推理，更要講道理”，這就是一種重要的“道理”。

再次，數(shù)學(xué)的概念知識和思想方法是不斷演進(jìn)的。從正整數(shù)的冪指數(shù)到納皮爾的對數(shù)，再到常用對數(shù)，作為計(jì)算工具的對數(shù)經(jīng)歷了不斷完善的過程;而對數(shù)的定義從“前世”到“今生”也發(fā)生了巨大的變化。不了解這樣的變化過程，我們怎么能解釋“為什么將冪指數(shù)稱為對數(shù)”“為什么有真數(shù)卻沒有假數(shù)”之類的疑問？

（三）豐潤數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感

為什么人們喜歡中央電視臺的《百家講壇》節(jié)目？原因很簡單：《百家講壇》主講人所講的都是人的故事。人們從人的故事中了解人生百態(tài)，感悟歲月更迭，吸收經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，品味思想智慧，汲取精神力量。為什么數(shù)學(xué)教師難以走上《百家講壇》？原因也很簡單：單純的數(shù)學(xué)缺失了人的元素。對數(shù)歷史中的人物故事，特別是納皮爾與布里格斯初次會(huì)面的故事，讓數(shù)學(xué)變得人性化，從而能激發(fā)學(xué)生的興趣，營造不一樣的課堂。

（四）感悟數(shù)學(xué)家的優(yōu)秀品質(zhì)

從納皮爾的一生中，我們可以讀出以下幾個(gè)個(gè)人品質(zhì)方面的關(guān)鍵詞：

一是“執(zhí)著”。人生能有幾個(gè)20年？納皮爾用20年的時(shí)間致力于同一件事，取得了成功，為我們詮釋了“執(zhí)著”在實(shí)現(xiàn)人生價(jià)值過程中的重要性。

二是“堅(jiān)強(qiáng)”。少年喪母，青年喪妻，慈父入獄，家園失陷，面對生活中的災(zāi)難和不幸，納皮爾沒有沉淪，沒有失去生活的勇氣，而是在逆境中自強(qiáng)不息、砥礪前行，最終成就大業(yè)。

三是“責(zé)任”。于國、于家、于知識界，納皮爾都是一個(gè)有擔(dān)當(dāng)?shù)娜?。國家面臨戰(zhàn)爭威脅時(shí)，他發(fā)明眾多武器，為保家衛(wèi)國做準(zhǔn)備;身逢亂世，家道中落，他承擔(dān)起建設(shè)家園、振興家業(yè)的責(zé)任;看到天文學(xué)家苦于大數(shù)計(jì)算，他焚膏繼晷、夜以繼日，以尋找簡化計(jì)算的工具為己任。

四是“傾聽”。納皮爾的對數(shù)思想不可能從天而降，他是站在前人的肩膀上創(chuàng)造輝煌的;有了他與布里格斯的曠世之約，才有常用對數(shù)的誕生。從中我們感悟到，擯棄以自我為中心的思維習(xí)慣，傾聽和包容他人，是數(shù)學(xué)家的優(yōu)秀品質(zhì)。

三、基于對數(shù)歷史的教學(xué)設(shè)計(jì)

對數(shù)概念的歷史由四個(gè)階段組成：第一階段是正整數(shù)指數(shù)冪所對應(yīng)的正整數(shù)指數(shù);第二階段是任意正整數(shù)所對應(yīng)的正整數(shù)指數(shù)，即納皮爾對數(shù);第三階段是任意正整數(shù)所對應(yīng)的小數(shù)指數(shù)，即常用對數(shù);第四階段是任意一個(gè)冪的指數(shù)，即一般對數(shù)。在對數(shù)概念的教學(xué)中，教師可以重構(gòu)歷史，設(shè)計(jì)三個(gè)探究任務(wù)，讓學(xué)生依次經(jīng)歷對數(shù)概念歷史的第一、第三和第四階段。

任務(wù)1（特殊正整數(shù)的乘法）不用計(jì)算器，求2的兩個(gè)不同正整數(shù)次冪的乘積，如4096×32768、32768×262144等。

在通過筆算獲得結(jié)果后，讓學(xué)生思考是否存在更便捷的方法。引入2的正整數(shù)次冪和正整數(shù)指數(shù)的對應(yīng)表（如圖3），引導(dǎo)學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)，在做32768和262144的乘法時(shí)，可以找到兩數(shù)的“替身”，將“替身”相加，和所對應(yīng)的冪即為所求的積，原來的兩個(gè)數(shù)并不需要參與實(shí)際運(yùn)算。

任務(wù)2（任意正整數(shù)的乘法）不用計(jì)算器，求任意兩個(gè)多位正整數(shù)的乘積，如：光的傳播速度為299792458米/秒，光從太陽照射到地球大約需要499秒，則日地之間的距離為299792458×499（米）。

這時(shí)，相乘的兩個(gè)數(shù)都不是2的正整數(shù)次冪了，任務(wù)1中所用的對應(yīng)表用不上了。對此，教師引導(dǎo)思考：應(yīng)該如何尋找兩個(gè)數(shù)的“替身”以達(dá)到簡化計(jì)算的目的？從圖3可見，499的“替身”在8和9之間，299792458的“替身”在28和29之間。通過嘗試，發(fā)現(xiàn)前者約為8.9，后者約為28.1，其和約為37，所以所求的乘積約為137438953472。這個(gè)結(jié)果與直覺上的結(jié)果（300000000×500=150000000000）相去較遠(yuǎn)。對此，教師指出：其原因是上述兩個(gè)“替身”過于粗略。實(shí)際上，用有限小數(shù)精確表達(dá)出“替身”，是不可能做到的。

任務(wù)3（新數(shù)的創(chuàng)造）如果冪的底數(shù)不是2，而是任意正數(shù)a（a>0，a≠1），那么，如何求給定冪ax=N的指數(shù)x呢？

教師引導(dǎo)思考：由于指數(shù)x的小數(shù)值往往無法精確獲得，我們需要引入一種新的數(shù)，就像初中我們初次遇到面積為2的正方形邊長問題時(shí)一樣。由此，引入對數(shù)的冪指數(shù)定義。

此后，教師可播放微視頻，追溯對數(shù)的歷史（內(nèi)容以上文為基礎(chǔ)），讓學(xué)生在古今對照中走進(jìn)17世紀(jì)數(shù)學(xué)家的心靈，深刻理解對數(shù)在數(shù)學(xué)史上的巨大價(jià)值，潛移默化地受到數(shù)學(xué)史的德育作用。

四、教學(xué)反思

今天，人們借助計(jì)算器可以得到任何一個(gè)數(shù)的對數(shù)，對數(shù)表已成明日黃花，“對數(shù)無用論”甚囂塵上。但是，數(shù)學(xué)知識的實(shí)用價(jià)值和教育價(jià)值往往是不同的，沒有實(shí)用價(jià)值并不意味著沒有教育價(jià)值。從某種意義上說，在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史就是要充分挖掘數(shù)學(xué)知識的教育價(jià)值。

對數(shù)歷史最重要的教育價(jià)值就在于數(shù)學(xué)學(xué)科德育。對數(shù)的歷史及其教學(xué)啟示表明，教師可從人物、思想、知識等方面入手，著眼于理性精神、活動(dòng)本質(zhì)、學(xué)習(xí)情感、個(gè)人品質(zhì)等數(shù)學(xué)德育元素，挖掘歷史素材，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)，架設(shè)溝通歷史與現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)與人文的橋梁，最終達(dá)成立德樹人的目標(biāo)。

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