探求解析幾何中動(dòng)點(diǎn)橫（縱）坐標(biāo)取值范圍（最值）的策略

平面解析幾何中動(dòng)點(diǎn)橫（縱）坐標(biāo)取值范圍（最值）問題是高考中的熱點(diǎn)，是教師教學(xué)中的重點(diǎn)，是同學(xué)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn).由于這類問題，沒有固定的解題模型，沒有規(guī)律可循，解法靈活，思維性強(qiáng).因此，大多數(shù)同學(xué)想不到、找不到解題的切入點(diǎn)與突破口，心生畏懼，一籌莫展.對(duì)此問題，筆者試想，沒有定法，應(yīng)該有法，應(yīng)該有策略.有幾種？具體是什么方法？是什么策略？筆者結(jié)合自己多年積累的教學(xué)資料（教師錯(cuò)題集）和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，反復(fù)思考，反復(fù)探究，歸納總結(jié)，給出如下六種策略，希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所啟示和幫助，希望對(duì)同仁的教學(xué)有參考價(jià)值.

1 走數(shù)形結(jié)合之路

雖然解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何學(xué)問題的學(xué)科，但是仍然離不開由數(shù)想形、由數(shù)畫形、以形助數(shù)、由形化數(shù)，問題獲解.例1 已知直線l：y=1與y軸交于點(diǎn)M，Q為直線l上異于點(diǎn)M的動(dòng)點(diǎn)，記點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為n，若曲線C：x22+y2=1上存在點(diǎn)N，使得∠MQN=45°，則n的取值范圍是（用區(qū)間表示）.

解析 令Q（n，1），n≠0，kQN=k，則lQN：y=k（x-n）+1，通過畫圖，如圖1，觀察圖形可知，當(dāng)Q在第一象限，k=1時(shí)，lQN與橢圓相切時(shí)，n取得最大值.由x2+2y2-2=0，y=（x-n）+1， 得3x2+4（1-n）x+2（n2-2n）=0，由Δ=0，得n=1±3，n=1-3不符合題意，舍去;

當(dāng)Q在第二象限，k=-1時(shí)，lQN與橢圓相切時(shí)，n取得最小值.由x2+2y2-2=0，y=-（x-n）+1， 得3x2-4（1+n）x+2（n2+2n）=0，由Δ=0，得n=-1±3，n=-1+3不符合題意，舍去.所以n∈[-1-3，0）∪（0，1+3].

2 走三角函數(shù)之路

選取變量角為自變量，建立所求與變量角的函數(shù)關(guān)系式，把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域（最值）問題，問題獲解.

例2 （2014年高考全國卷Ⅱ理科數(shù)學(xué)第16題）設(shè)點(diǎn)M（x0，1），若在圓O：x2+y2=1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是.[2]

分析 選取∠MNO為自變量，記∠MNO=α，應(yīng)用正弦定理建立x0與α的關(guān)系式，問題轉(zhuǎn)化為求角α的三角函數(shù)的值域問題.圖2

解 因?yàn)辄c(diǎn)M（x0，1）在直線y=1上運(yùn)動(dòng)，記∠MNO=α，如圖2，則∠MON+α=135°，所以0°<α<135°，又因?yàn)镸O≥ON，所以在△MON中知，α≥45°，于是45°≤α<135°.

在△MON中，因?yàn)镸O=x20+1，ON=1，所以由正弦定理，得x20+1sinα=1sin45°，即x20+1=2sinα，從而問題轉(zhuǎn)化為求角α的三角函數(shù)2sinα的值域.

因?yàn)?5°≤α<135°，所以1≤2sinα≤2，故而1≤x20+1≤2，解得-1≤x0≤1，從而x0的取值范圍是[-1，1].

評(píng)注 此題有如下簡解.過O作OP⊥MN，P為垂足，圖3如圖3，則|OP|=|OM|sin45°≤1，所以|OM|≤1sin45°，從而|OM|2≤2，于是x20+1≤2，故-1≤x0≤1，故而x0的取值范圍是[-1，1].3 走數(shù)量積定義之路

根據(jù)數(shù)量積定義，進(jìn)行向量坐標(biāo)運(yùn)算，建立關(guān)于所求的不等式，問題獲解.

例3 （2000年高考全國卷文科數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)第14題）橢圓x29+y24=1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是.[3]

解 設(shè)P（x，y），不妨設(shè)F1（-5，0），F(xiàn)2（5，0）.

由∠F1PF2為鈍角，知PF1·PF2<0，所以（-5-x，-y）·（5-x，-y）<0，即x2-5+y2<0，又y2=4-4x29，故x2-5+4-4x29<0，即59x2<1，解得-355

4 走代數(shù)函數(shù)之路

選取動(dòng)直線的變量斜率k或變量橫截距a或變量縱截距b或圓錐曲線中的參變量為自變量，建立所求與變量斜率k或變量橫截距a或變量縱截距b或圓錐曲線中的參變量的函數(shù)關(guān)系式，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)的值域（最值）問題，問題獲解.

例4 （2018年高考浙江卷文科數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)第17題）已知點(diǎn)P（0，1），橢圓x24+y2=m（m>1）上兩點(diǎn)A，B滿足AP=2PB，則當(dāng)m=時(shí)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大.[2]

解 方法1 由題意可設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）.

由y=kx+1，x24+y2=m， 得（1+4k2）x2+8kx+4-4m=0，

由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2=-8k1+4k2，①x1x2=4-4m1+4k2.②

因?yàn)镻（0，1），所以由AP=2PB，得-x1=2x2.③

由①②③，得x2=8k1+4k2，x22=2m-21+4k2.

于是k2=m-136-4m，從而x22=14（9-m）（m-1），

所以，當(dāng)m=5時(shí)，x22取最大值，即|x2|取最大值，即點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值取最大值.

方法2 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x214+y21=m， ①x224+y22=m.②

因?yàn)镻（0，1），所以由AP=2PB，得x1=-2x2，③y1=3-2y2.④

把③④代入①②，得x22+（3-2y2）2=m，⑤x22+4y22=4m.⑥

⑤-⑥，得y2=14m+34，代入②，得|x2|=2m-（m+34）2=12-（m-5）2+16.

故當(dāng)m=5時(shí)，|x2|取最大值，即點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值取最大值.

5 走判別式之路

依題意，選取一個(gè)參變量，建立所求與所選取的參變量的關(guān)系式，由此得關(guān)于以參變量為未知數(shù)的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程有實(shí)根的充要條件是判別式不小于零，問題獲解.

例5 已知拋物線y=x2上有一定點(diǎn)A（-1，1）和兩動(dòng)點(diǎn)P，Q，當(dāng)PA⊥PQ時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)取值范圍是.解 設(shè)P（a，b），Q（x，y），則AP=（a+1，b-1），PQ=（x-a，y-b），

由AP·PQ=0，得（a+1）（x-a）+（b-1）（y-b）=0，又P，Q在拋物線上，所以a2=b，x2=y，

故（a+1）（x-a）+（a2-1）（x2-a2）=0，

整理得（a+1）（x-a）[1+（a-1）（x+a）]=0，①

而P，Q，A三點(diǎn)不重合，所以a≠-1，x≠a，

所以①式可化為1+（a-1）（x+a）=0，

整理得a2+（x-1）a+1-x=0，

由題意可知，此關(guān)于a的一元二次方程有實(shí)數(shù)解，故判別式Δ≥0，從而（x-1）2-4（1-x）≥0，解得x≤-3或x≥1.

故點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)取值范圍是（-∞，-3]∪[1，+∞）.

6 走圓錐曲線范圍之路

建立所求與圓錐曲線上動(dòng)點(diǎn)橫（縱）坐標(biāo)的關(guān)系式，再利用圓錐曲線范圍，問題獲解.

例6 （1992年高考理科數(shù)學(xué)第28題）已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0），A，B是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P（x0，0），證明-a2-b2a

解 證法1 設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1） ，（x2，y2），則線段AB的垂直平分線方程為

y-y1+y22=-x2-x1y2-y1x-x1+x22，令y=0，則x=x0=y22-y212（x2-x1）+x1+x22=y22-y21+x22-x212（x2-x1），①

又由y22=b2a2（a2-x22），y21=b2a2（a2-x21），二式相減，得y22-y21=b2a2（x21-x22），代入①式，即有

x0=（x21-x22）b2a2-12（x2-x1）=x1+x22·a2-b2a2，

因?yàn)?a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2， 所以-a

又因?yàn)閍2-b2a2>0，所以-a2-b2a

所以-a2-b2a

證法2 設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1） 和（x2，y2），因線段AB的垂直平分線與x軸相交，故AB不平行于y軸，即x1≠x2，又交點(diǎn)為P（x0，0），故|PA|=|PB|，即

（x1-x0）2+y21=（x2-x0）2+y22 .①

因?yàn)锳，B在橢圓上，所以y21=b2-b2a2x21，y22=b2-b2a2x22，代入①式，整理得

2（x2-x1）x0=（x22-x21）a2-b2a2 .

因?yàn)閤1≠x2，可得x0=x1+x22·a2-b2a2 .

又因?yàn)?a≤x1≤a，-a≤x2≤a，且x1≠x2， 所以-2a

所以-a2-b2a

參考文獻(xiàn)

[1] 人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書（選修）數(shù)學(xué)2-1（A版）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[2] 杜志建.2014—2018新高考5年真題匯編（數(shù)學(xué)·理科）[M].烏魯木齊：新疆青少年出版社，2018.

[2] 劉增利.2000年全國各省市高考真題匯編及解析（數(shù)學(xué)·理科）[M].西安：開明出版社，2000.

作者簡介 武增明（1965—），男，云南易門縣人，中學(xué)高級(jí)教師，大學(xué)本科學(xué)歷，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)及其研究.