含參變量的拉普拉斯逆變換及其應(yīng)用

符云錦

（鳳凰縣兩林學(xué)區(qū)，湖南鳳凰 416211）

1 背景知識(shí)

文〔1〕給出了含參變量的拉普拉斯變換的定義如下。

定義 設(shè)函數(shù)f(t)在區(qū)間[λ,+∞]上有定義，如果含參變量s,λ的無窮積分對s的某一取值范圍是收斂的，則稱無窮積分

為函數(shù)f(t)的含參變量λ的拉普拉斯變換。f(t)稱為原函數(shù)，稱為象函數(shù)，并記作。同時(shí)，含參變量λ的拉普拉斯的逆變換記作

要注意的是在（1）式中，參數(shù)λ和變量s均可以為復(fù)數(shù)。同時(shí)，文〔1〕中還給出了含參變量的拉普拉斯變換的存在性和基本性質(zhì)，利用含參變量的拉普拉斯變換導(dǎo)出了一些常用函數(shù)的含參變量λ的拉普拉斯變換表達(dá)式。本文對含參變量的拉普拉斯變換的逆變換進(jìn)行了研討，得出其唯一性和相關(guān)性質(zhì)，并舉例說明其應(yīng)用。

2 含參變量λ的拉普拉斯逆變換的性質(zhì)

與拉普拉斯逆變換〔2-4〕一樣，含參變量的拉普拉斯逆變換同樣具有相應(yīng)的性質(zhì)。

性質(zhì)1（唯一性定理）若給定一個(gè)關(guān)于s，λ的函數(shù)F(s,λ)，則存在唯一的函數(shù)f(t)使得

其中f(t)滿足文〔1〕中性質(zhì)1的條件。

證明:用假設(shè)法。假設(shè)存在兩個(gè)滿足文〔1〕中性質(zhì)1的條件的不同函數(shù)f1(t)，f2(t)都是函數(shù)F(s,λ)含參變量λ的拉普拉斯逆變換的原函數(shù)，即：

則，根據(jù)定義，有：

把上兩式作差，利用含參變量的拉普拉斯變換的線性性質(zhì)，得

性質(zhì)2 （線性性質(zhì)）若L[f1(t),λ]=F1(s,λ)，L[f2(t),λ]=F2(s,λ)，則

其中α，β是常數(shù)。

性質(zhì)3（位移性質(zhì)）若L[f(t),λ]=F(s,λ)，則

其中Res(s)＞a。

性質(zhì)4（延遲性質(zhì)）若L[f(t),λ]=F(s,λ)，則

其中t＞Res(a)。

性質(zhì)5（積分性質(zhì)）若L[f(t),λ]=F(s,λ)，則

性質(zhì)6 （象函數(shù)的微分性質(zhì)）若L[f(t),λ]=F(s,λ)，則

特別地，n=1時(shí)，L-1[F'(s,1)]=-tL-1[F(s,1)]。

性質(zhì)8（卷積性質(zhì)）若L[f(t)]=F(s,λ)，L[g(t)]=G(s,λ)，則

3 含參變量λ的拉普拉斯逆變換的應(yīng)用

含參變量的拉普拉斯逆變換的計(jì)算，可以參照拉普拉斯變換〔5-12〕的計(jì)算方法。但要注意的是，在查表時(shí)，要根據(jù)參變量λ的值而定，題中給定參變量λ的值，在表中要取相應(yīng)的參變量的值來分解象函數(shù)F(s,λ)，從而求得原函數(shù)f(t)的表達(dá)式。

例1 求象函數(shù)

在參變量λ=1的原函數(shù)f(t)。

解：根據(jù)拉普拉斯逆變換性質(zhì)，可得原函數(shù)為f(t)=δ(t)+2。

例2 求象函數(shù)

在參變量λ=-1的原函數(shù)f(t)。

所以，由位移性質(zhì)，可得原函數(shù)為f(t)=t+te2t。

例3 求象函數(shù)

在參變量λ=-2的原函數(shù)f(t)。

從而可得原函數(shù)為f(t)=sin(-t)。

例4 求象函數(shù)

在參變量λ=α的原函數(shù)f(t)。

解：因?yàn)?/p>

根據(jù)線性性質(zhì)，可得原函數(shù)為f(t)=t+1。

例5 求象函數(shù)

在參變量λ=3的原函數(shù)f(t)。

例6 求象函數(shù)

根據(jù)線性性質(zhì)，可得原函數(shù)為f(t)=3t+e×e3t=3t+e3t+1。

〔1〕陽凌云，符云錦，鄧光輝.含參變量的拉普拉斯變換及其應(yīng)用〔J〕.湖南工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，26（1）：1-5.

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