對“數(shù)學(xué)抽象”的一點(diǎn)認(rèn)識

【摘 要】 “數(shù)學(xué)抽象”是一種高級思維活動(dòng)，具有極強(qiáng)的創(chuàng)造性.培養(yǎng)有較強(qiáng)“數(shù)學(xué)抽象”能力的學(xué)生，符合新時(shí)期培養(yǎng)創(chuàng)新人才的要求.這對高中數(shù)學(xué)教師提出了很高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求，教師不僅要有較高的數(shù)學(xué)專業(yè)知識，還要有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維能力.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)抽象;解題教學(xué);考查建議

2017年版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出6個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，其核心素養(yǎng)之一“數(shù)學(xué)抽象”排在首位，可見其地位.近兩年，通過學(xué)習(xí)和思考，形成一點(diǎn)關(guān)于“數(shù)學(xué)抽象”的個(gè)人認(rèn)識，現(xiàn)整理成文與讀者交流，以期拋磚引玉.

1 概念解讀

對于“數(shù)學(xué)抽象”，2017版《課標(biāo)》首先介紹了它的含義：“數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系和空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)……”;然后又指出“數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)……”;隨后談到數(shù)學(xué)抽象表現(xiàn)為“獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型……”;最后強(qiáng)調(diào)高中數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)的目標(biāo)是“學(xué)生能在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)……”.

2017版《課標(biāo)》提出的“數(shù)學(xué)抽象”，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的一種重要的高級思維活動(dòng)，它強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識方法需要通過“抽象”生成.作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)，需要培養(yǎng)學(xué)生這種理性思維，要讓學(xué)生養(yǎng)成由具體數(shù)學(xué)對象生成一般性結(jié)論的“抽象”習(xí)慣.

2 數(shù)學(xué)抽象之類型

2017版《課標(biāo)》上“數(shù)學(xué)抽象”的概念，教師容易理解，課堂教學(xué)也容易操作.但筆者總覺得這個(gè)概念不夠深刻，于是查閱了百度百科，其定義為：數(shù)學(xué)抽象是指抽取出同類數(shù)學(xué)對象的共同的、本質(zhì)的屬性或特征，舍棄其他非本質(zhì)的屬性或特征的思維過程.這個(gè)概念揭示了“數(shù)學(xué)抽象”的本質(zhì)，強(qiáng)調(diào)探索共性這一思維過程.作為高中數(shù)學(xué)教師，有必要再理解這一定義，或許對課堂教學(xué)更有意義.

此外，百度百科還介紹了“數(shù)學(xué)抽象”的四種類型：弱抽象;強(qiáng)抽象;構(gòu)象化抽象;公理化抽象.對于前兩種類型的思維要求，筆者認(rèn)為有必要研究一下.（后兩種類型，讀者可自行查閱）2.1 弱抽象從原型中選取某一特征（側(cè)面）加以抽象，使原型內(nèi)涵減少，結(jié)構(gòu)變?nèi)?，外延擴(kuò)張，獲得比原結(jié)構(gòu)更廣的結(jié)構(gòu)，使原結(jié)構(gòu)成為后者的特例.弱抽象的關(guān)鍵在于從數(shù)學(xué)對象的眾多屬性或特征中辨認(rèn)出本質(zhì)屬性或特征，從貌似不同的同類數(shù)學(xué)對象中找出共同的東西.這種抽象思維的法則可稱為：“特征分離概括化法則”.

著名的哥德巴赫猜想便是弱抽象的產(chǎn)物.正整數(shù)的加法，小學(xué)生就會，但哥德巴赫能從這些紛繁復(fù)雜的結(jié)果中，發(fā)現(xiàn)“2+2=4，3+3=6，3+5=8，3+7=5+5=10……”有共同的屬性，并由此歸納出“任何一個(gè)不小于4的偶數(shù)總能表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和”.根據(jù)這個(gè)案例，我們可以發(fā)現(xiàn)，弱抽象具有較強(qiáng)的發(fā)現(xiàn)功能，關(guān)鍵是要從“貌似不同的同類數(shù)學(xué)對象中找出共同的東西”，即特征分離.現(xiàn)行教材中學(xué)習(xí)的歸納推理，其實(shí)是弱抽象的一部分思維過程，是根據(jù)這些“共同的東西”概括出一般性結(jié)論.2.2 強(qiáng)抽象通過在原型中引人新特征，使原型內(nèi)涵增加，結(jié)構(gòu)變強(qiáng)，外延收縮，獲得比原結(jié)構(gòu)內(nèi)容更豐富的結(jié)構(gòu)，使后者成為前者的特例.強(qiáng)抽象的關(guān)鍵是把一些表面上看來互不相關(guān)的數(shù)學(xué)概念聯(lián)系起來，引進(jìn)某種新的關(guān)系結(jié)構(gòu)，并把新出現(xiàn)的性質(zhì)作為特征規(guī)定下來.這種抽象思維的法則可稱為：“關(guān)系定性特征化法則”.

圓錐曲線的統(tǒng)一定義應(yīng)該是強(qiáng)抽象的產(chǎn)物.橢圓、雙曲線、拋物線的初始定義各不相同，通過“準(zhǔn)線”的引入，得到圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)與定直線的距離之比為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡.不同類的常數(shù)對應(yīng)不同的圓錐曲線.由此，我們可以發(fā)現(xiàn)，強(qiáng)抽象具有創(chuàng)造性，其關(guān)鍵是“引人新特征”聯(lián)系不同的數(shù)學(xué)對象.就如圓錐曲線的統(tǒng)一定義，引入“準(zhǔn)線”定性是關(guān)鍵，其思維過程有較強(qiáng)的創(chuàng)造性.

3 解題教學(xué)與數(shù)學(xué)抽象

2017版《課標(biāo)》指出“通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)……”.由此，我們?nèi)菀椎玫揭环N錯(cuò)覺，認(rèn)為新授課才需要數(shù)學(xué)抽象，要通過數(shù)學(xué)抽象生成新知識.其實(shí)，知識生成就是解決數(shù)學(xué)問題，從某種角度看，也可以認(rèn)為是解題教學(xué)，它是一種需要有所發(fā)現(xiàn)的特殊解題.因此，我們不能局限數(shù)學(xué)抽象的運(yùn)用，也要充分運(yùn)用到解題教學(xué)中.本文以下面這道題說明數(shù)學(xué)抽象的運(yùn)用.

題1 已知數(shù)列{an}，{bn}都是單調(diào)遞增數(shù)列，若將這兩個(gè)數(shù)列的項(xiàng)按由小到大的順序排成一列（相同的項(xiàng)視為一項(xiàng)），則得到一個(gè)新數(shù)列{cn}.設(shè)bn=qn-1（q是不小于2的正整數(shù)），c1=b1.試問：是否存在等差數(shù)列{an}，使得對任意的n∈N*，在bn與bn+1之間數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)總是bn？若存在，請給出一個(gè)滿足題意的等差數(shù)列{an};若不存在，請說明理由.

為解決這個(gè)問題，需要學(xué)生尋找實(shí)例，學(xué)生當(dāng)然先考慮q=2，則c1=b1=1，b2=2，這時(shí)容易想到取a1=32，d=1，從而得到數(shù)列：1，32，2，52，72，4，92，112，132，152，8，…符合題意.雖然已經(jīng)發(fā)現(xiàn)一個(gè)實(shí)例，但不能解決問題，題目中“q是不小于2的正整數(shù)”，應(yīng)理解為“任意不小于2的正整數(shù)q，都存在等差數(shù)列{an}滿足題意”，還需要鼓勵(lì)學(xué)生再尋找更多實(shí)例，并由此根據(jù)變量q抽象出等差數(shù)列{an}.

學(xué)生肯定還要繼續(xù)考慮q=2，還能找到不少實(shí)例，如a1=54，d=1，即數(shù)列1，54，2，94，134，4，174，214，254，294，8，…滿足題意.他們可能會發(fā)現(xiàn)：改變d=1時(shí)，則找不到符合題意的數(shù)列.此時(shí)，有少部分學(xué)生能夠抽象出等差數(shù)列{an}.對于這部分學(xué)生，還要繼續(xù)尋找實(shí)例檢驗(yàn)抽象出的結(jié)論，而其他學(xué)生當(dāng)然更要繼續(xù)尋找實(shí)例，力圖發(fā)現(xiàn)共性并從中抽象出結(jié)論.

繼而考慮q=3，則c1=b1=1，b2=3，容易想到取a1=2，很快發(fā)現(xiàn)d=2時(shí)數(shù)列：1，2，3，4，6，8，9，10，12，14，16，18，20，22，24，26，27…滿足題意，而d=1、d=3不滿足題意;又取a1=32，發(fā)現(xiàn)d=1、d=3仍然不滿足題意，而當(dāng)d=2時(shí)，數(shù)列1，32，3，72，112，152，9，192，232，272，312，352，392，432，472，512，27…滿足題意;再取a1=52，發(fā)現(xiàn)d=1、d=3還是不滿足題意，而d=2所得數(shù)列滿足題意.

至此，大多數(shù)學(xué)生能夠抽象出等差數(shù)列{an}：首項(xiàng)a1∈（1，q），公差d=q-1.由此再引導(dǎo)學(xué)生證明所得結(jié)論滿足題意，只需證明a1+q+q2+…qn-1

4 考查建議

“數(shù)學(xué)抽象”是2017版《課標(biāo)》提出的第一個(gè)核心素養(yǎng)，若能在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中全面落實(shí)到位，則今后學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)將會有一個(gè)質(zhì)的飛躍.現(xiàn)在各級教育主管部門都十分重視新《課標(biāo)》要求的培訓(xùn)，學(xué)校也重視這方面的教學(xué)業(yè)務(wù)指導(dǎo).現(xiàn)在的問題是，如果僅僅是這樣，那么“數(shù)學(xué)抽象”能夠在課堂教學(xué)上充分落實(shí)嗎？顯然不可能，僅僅是培訓(xùn)和宣傳，只能在一些優(yōu)質(zhì)課和公開課上有所體現(xiàn).要想在日常教學(xué)中充分體現(xiàn)“數(shù)學(xué)抽象”，必須運(yùn)用高考這一指揮棒！

我們不可否認(rèn)，高考升學(xué)率是全社會的關(guān)注點(diǎn)！如果高考不體現(xiàn)或很少體現(xiàn)“數(shù)學(xué)抽象”的考查，很難引起學(xué)校和教師的重視;反之，教師只有認(rèn)真對待“數(shù)學(xué)抽象”的教學(xué)，提高學(xué)生的抽象能力，才能提高學(xué)生的相應(yīng)數(shù)學(xué)成績.現(xiàn)在的高考相對之前已有較大的變化，不僅考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，還考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)學(xué)文化知識等，但很少體現(xiàn)“數(shù)學(xué)抽象”的能力考查.現(xiàn)在新高考正在逐步推行，相信將來的新高考，一定會有“數(shù)學(xué)抽象”方面的考題.為此，筆者嘗試著改編一道考題，以體現(xiàn)“數(shù)學(xué)抽象”的能力考查.當(dāng)然，受命題水平之限，改編題未必成熟，只是強(qiáng)調(diào)有必要進(jìn)行這方面的能力考查和命題研究.

題2 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）經(jīng)過點(diǎn)P（2，1），且點(diǎn)P與橢圓左、右頂點(diǎn)連線的斜率之積為-12.

（1）求橢圓C的方程;

（2）過點(diǎn)P作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線PA，PB分別交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求證：直線AB的斜率為定值;

（3）根據(jù)第（2）小題的定值現(xiàn)象，試歸納出更一般性的結(jié)論.

第（1）小題是基礎(chǔ)題，容易求出橢圓C的方程x24+y22=1;第（2）小題為圓錐曲線的常規(guī)問題，方法亦常規(guī)，可求得直線AB的斜率為22;第（3）小題不同于蘇教版22第二章第1節(jié)“合情推理”中的歸納推理題，它所給出的觀察對象少，問題的發(fā)散性強(qiáng)，對學(xué)生的抽象要求較高，能夠區(qū)分不同學(xué)生的抽象能力.

大多數(shù)學(xué)生能夠得到：對于任意橢圓x2a2+y2b2=1，若過其上一點(diǎn)P作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線PA，PB分別交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則直線AB的斜率為定值;有些學(xué)生能夠把結(jié)論拓展至雙曲線、拋物線以及圓;還有一些高手學(xué)生會關(guān)注到動(dòng)直線AB的極限位置，當(dāng)直線PA，PB的傾斜角無限接近π2時(shí)，A，B重合于一點(diǎn)Q，而點(diǎn)Q與P關(guān)于x軸對稱，由此歸納出較高層次的結(jié)論，直線AB的斜率總是橢圓在點(diǎn)Q處的切線斜率，與橢圓在點(diǎn)P處的切線斜率互為相反數(shù).如果這些高手再注意嚴(yán)密性，他們能歸納出：對于以x軸為對稱軸的圓錐曲線（或圓），若過其上一點(diǎn)P作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線PA，PB分別交圓錐曲線（或圓）于A，B兩點(diǎn)，則直線AB的斜率總與點(diǎn)P處的切線斜率互為相反數(shù).

如果高考重視第（3）小題這種類型問題的考查，且占比較大，那么教師當(dāng)然會重視“數(shù)學(xué)抽象”的日常教學(xué).假如關(guān)于“數(shù)學(xué)抽象”的教學(xué)真正落實(shí)到位，我們學(xué)生的抽象能力逐步得到提升后，不少學(xué)生抽象出的數(shù)學(xué)結(jié)論往往會超出教師的能力范圍.可以想象，類似第（3）小題這樣的考題，有些高手學(xué)生抽象出的結(jié)論，命題者可能就想不到.這應(yīng)該是我們教學(xué)應(yīng)該追求的目標(biāo)：青出于藍(lán)而勝于藍(lán)！

此外，2017版《課標(biāo)》關(guān)于“推理與證明”的教學(xué)不作要求，似乎不合理.《課標(biāo)》重視“數(shù)學(xué)抽象”的教學(xué)要求，而合情推理中的“歸納推理”其實(shí)是“數(shù)學(xué)抽象”思維過程的一部分.個(gè)人認(rèn)為，“推理與證明”不但要作教學(xué)要求，而且要加大考查力度.也許是《課標(biāo)》教學(xué)主線的問題，不再妄加揣測，筆者覺得這部分內(nèi)容可以作為預(yù)備知識學(xué)習(xí)，為后續(xù)各章節(jié)中“數(shù)學(xué)抽象”的教學(xué)作鋪墊.

5 結(jié)束語

“數(shù)學(xué)抽象”是一種高級思維活動(dòng)，具有極強(qiáng)的創(chuàng)造性.培養(yǎng)有較強(qiáng)“數(shù)學(xué)抽象”能力的學(xué)生，符合新時(shí)期培養(yǎng)創(chuàng)新人才的要求.當(dāng)然，這也對高中數(shù)學(xué)教師提出很高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求.毫無疑問，教師需要有較高的數(shù)學(xué)專業(yè)知識和較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維能力，否則，怎能駕馭課堂教學(xué)？尤其是重點(diǎn)高中，怎能應(yīng)對那些高手學(xué)生抽象出的數(shù)學(xué)結(jié)論？

作為高中數(shù)學(xué)教師，首先要多訂閱一些雜志學(xué)習(xí)，這些雜志文章是全國各地的數(shù)學(xué)高手研究所得，能學(xué)習(xí)到很多新觀點(diǎn)、新思維.其次要積極參加一些教育專家的專題講座，認(rèn)真聆聽他們的教誨，從而更新自己的教學(xué)思路.

另外，“數(shù)學(xué)抽象”的教學(xué)過程要慢一點(diǎn).數(shù)學(xué)課堂上的“抽象”，所研究的對象，往往都是教師給出的，某種程度上講，不能算真正意義上的“數(shù)學(xué)抽象”.如果教師的引導(dǎo)問題指向性過強(qiáng)，學(xué)生能夠順利“抽象”出教師所要的結(jié)論，那就變成“數(shù)學(xué)抽象”的形式教學(xué)，并不能培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力.引導(dǎo)學(xué)生“抽象”的問題要發(fā)散一點(diǎn)，要多給時(shí)間讓學(xué)生思考，這樣的抽象過程才接近真正的“數(shù)學(xué)抽象”，對培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)抽象”能力才有利.

作者簡介 吳小?。?973—），男，江蘇東臺人，中學(xué)高級教師.