孫維剛的數學教育觀與啟示

劉藝 趙思林

【摘 要】 孫維剛對數學教育做出了卓越貢獻.孫維剛的數學教育觀可歸結為數學教育的哲理觀、“五育”并舉的教育觀、結構主義的教學觀和自組織的學習觀.孫維剛的數學教育觀對當下數學教育有不少啟示：提升教育境界，做到“五育”并舉;運用“結構教學”，培養(yǎng)核心素養(yǎng);滲透數學德育，促進持續(xù)發(fā)展.

【關鍵詞】 孫維剛;數學教育觀;結構主義;啟示

數學教育理念是教師對數學教育理想和數學教育觀念的統(tǒng)稱.孫維剛（1938～2002）（以下簡稱孫先生）的教育理想是發(fā)展和提高學生的智力素質，造就強大的數學頭腦，讓學生越來越聰明;孫先生的教育觀念是指學生通過學習，把外在的知識結構變成內在的認知結構，進而內化為自身的經驗結構，最后形成數學核心素養(yǎng)，即把學生培養(yǎng)成“三會”的數學頭腦.孫先生的教育觀點完全符合當下《中學教師專業(yè)標準》的教育理念.孫先生實行的六年教育大循環(huán)取得的教育效果從實踐上證明其教育觀念的先進性和可行性.研究和借鑒孫先生的數學教育觀，對數學“五育”和數學核心素養(yǎng)培養(yǎng)都是有益的.

1 孫先生簡介

孫先生對數學教育做出了卓越貢獻，榮獲全國首屆蘇步青基礎教育獎，他曾是北京市第二十二中學的著名特級教師.他致力于數學教學改革和學生核心素養(yǎng)培養(yǎng)，進行了三輪從初一年級至高三年級的大循環(huán)教學實驗[1]，成效特別顯著.三輪實驗班近40%的學生考進清華和北大[2].孫先生為什么能成功？他除了高尚師德外，還得益于他有深厚的教育情懷以及以科學、系統(tǒng)、先進的數學教育觀念為指導.

2 孫先生的數學教育觀

2.1 數學教育的哲理觀2.1.1 用哲學的眼光看數學和數學教學哲學是用最普遍的方法思考和研究問題，屬于最高級的思維形式，對數學教學和數學學習具有居高臨下的指導意義.孫先生善于運用哲學的眼光思考數學和數學教學的問題，他曾說過：“某些與數學看似毫不相干的知識其實和數學以及其他學科都有著深刻的聯系，所謂同出一轍.”[3]因為他教的學生學會了舉一反三和觸類旁通，懂得哲學的思想和智慧，懂得具有普遍性學習方法[4]和解題方法，因此他還通過教數學讓學生領悟物理學、化學、生物、語文等其他學科的學法，他的學生不僅獲全國數學競賽大獎，而且也獲得化學、物理的全國大獎.孫先生的教學理論有兩個假設：一是各學科的思維起點幾乎是相同的，如質疑或問題;二是各學科的思維結構、思維規(guī)律和思維方法等是相似或相通的.據此可提煉出4種基本學習能力模型：發(fā)現研究對象的能力，選擇研究角度的能力，認識知識聯系的能力，建構知識網絡并制作知識聯系導圖的能力[5].“建構知識網絡并制作知識聯系導圖”實質上是學生形成了相關學習內容的認知結構.因此，這4種學習能力可簡化為：發(fā)現研究對象（問題），選擇研究角度（探究），建構知識網絡（知識），形成認知結構（經驗）.這4種學習能力也是一種數學思維經驗的生成路徑，即從發(fā)現研究對象的過程中捕捉問題，由問題引發(fā)對數學問題的多角度探究，由探究獲得知識進而建構知識網絡，最終把形成的認知結構變?yōu)樽约核季S的經驗.從而，此生成路徑可簡化為“問題—探究—知識—經驗”.用哲學的眼光看，這個生成路徑其實包含了數學知識和數學經驗的生成模式.

2.1.2 用辯證唯物主義的觀點看數學和數學教學辯證唯物主義有四大觀點：“世界是物質的”（物質性），“物質是運動的”（運動性），“運動是有規(guī)律的”（規(guī)律性），“規(guī)律是可認知的”（認知性）.辯證唯物主義這四大觀點用到數學里，就得到“世界的物質性”對應于“數學起源于現實”，因為數學是對現實世界的抽象;“物質的運動性”對應于“數學里變量、函數變化觀點”;“運動的規(guī)律性”對應于“數學思維的規(guī)律性”和“數學關系的規(guī)律性——公理、定理、公式、法則等”;“規(guī)律的認知性”對應于“數學是可認知、可探究、可發(fā)現的”.如果把辯證唯物主義觀點用到數學教學里，則可得到數學教學應基于現實情境或問題，教學過程是一個多變量參與的、復雜的動態(tài)系統(tǒng)，數學教學應遵循教學規(guī)律、學習規(guī)律和認知規(guī)律，數學教學應提倡認知學習、自主學習、探究學習和發(fā)現學習.孫先生在教學中適時地把一些辯證唯物主義觀點介紹給學生，其目的是讓學生了解數學與辯證唯物主義的內在聯系，提升數學思維的境界和品質.孫先生認為，學生若從系統(tǒng)、變化、聯系、規(guī)律、認知的觀點看數學，學生就會把數學的知識、方法、思想看成“森林”中充滿生命活力的“樹木”.這樣一來，數學的知識、方法、思想就像“樹木”和“森林”一樣迸發(fā)生命活力.“森林”即系統(tǒng)，數學亦即系統(tǒng)，數學教學仍是系統(tǒng).因此，數學教學是系統(tǒng)的教學，數學學習是系統(tǒng)的學習.對數學中每個概念、定理、公式等我們都站在系統(tǒng)的高度來教、來學，這樣就易教、易學了.由數學的統(tǒng)一性、和諧性知，數學中的不同知識、方法、思想往往具有“普遍聯系性”，數學的發(fā)展一般是先發(fā)現事物的特殊結論，然后給予論證，再將得到的結論去推廣、認識事物的一般情況.2.1.3 用“方法論”看待和處理數學和數學教學中的問題方法論是關于方法的學問，是“按規(guī)律辦事”的規(guī)律，是通式通法.孫先生因為總是站在哲學和“方法論”的高度進行數學思考和數學教學，所以他能夠教授數學中的通用方法，并能掌握數學教學的普遍規(guī)律.孫先生重視方法論的教學，善于講方法的方法，講普遍、通用、樸實、自然的數學方法，不太看重一招一式，也不拘限于一招一式，非常重視數學思想方法的滲透，一直強調對知識的深刻理解代替反復練習[6].孫先生認為，教學要反映知識間的聯系和規(guī)律，世界上各種事物的內部和外部都存在著各種各樣的聯系，人類歸納、總結這些聯系和聯系中的規(guī)律，就得到了知識結構[7].因此，孫先生常給學生創(chuàng)造“發(fā)現問題”“敢提問題”“會提問題”的機會，并讓學生學會“向知識提問”“向數學方法提問”的方法.他把中學數學的全部知識和解題方法總結為4個大規(guī)律、15個中規(guī)律、30個小規(guī)律[4]，真是把整個中學數學講“薄”了、學“薄”了，這顯然有利于學生理解、掌握和運用這些規(guī)律去解決問題，積累解決問題的經驗.孫先生指出：“真正可靠的解題思考規(guī)律的形成，應當是在‘多解歸一基礎上，即在挖出一道題目的不同解法的共同點的基礎上，再比較一批題目各自的共同點，發(fā)現它們的共同點的一致性，從而形成普適性的解題思考規(guī)律.”[8]他為學生指明了數學解題的“三求”境界：“求熟悉（一題多解），求共性（多解歸一），求規(guī)律（多題歸一）”.

2.2 “五育”并舉的教育觀

“教”與“學”是手段與目的的關系，教是手段，學是目的，教為學服務.“教學”與“教育”也是手段與目的的關系，教學是手段，育人是目的，教學為教育服務.教學和教育的本質都是育人.孫先生不為教學而教學，而是以教育為目的，并真正落實“五育”（德智體美勞），讓學生在品德素養(yǎng)、智力素養(yǎng)、身心素養(yǎng)、藝術素養(yǎng)、勞動素養(yǎng)等方面得到全面而優(yōu)異的發(fā)展.

孫先生認為德育居“五育”之首，具有統(tǒng)領“五育”之作用，并用自己高尚師德“潤物細無聲”地影響著學生，秉持“先做人，再做學問”的育人原則，致力于把學生培養(yǎng)成品德高尚、學問優(yōu)良的人.孫先生當班主任確立的建班方針是“做誠實、正派、正直的人;做有遠大理想（為人民多做貢獻）的人;做有豐富感情（使別人生活得更幸福）的人.”[9]關于智育，孫先生認為知識是需要的，但更需要的是駕馭知識的能力，其本質是高超的思維水平，是智力素質[10].他將課堂作為發(fā)展學生智力素質的主渠道，從以知識為目標轉移到造就一個強大的頭腦，把不聰明的孩子變聰明起來，讓聰明的更加聰明[11].孫先生的教學自始至終是將學生思維的發(fā)展和培養(yǎng)放在首位，他經常說：聰明的頭腦要有高水平的思維，高水平的思維是在傳輸和汲取人類智慧結晶的知識的教與學中形成的[4].孫先生特別重視體育，他用數學、物理學等知識教同學們游泳、打籃球、打排球和練田徑的技術和原理，組織班內小組間的籃球賽、帶全班去游泳，每天放學后女生要跑800米，男生跑1500米.美育方面，孫先生講音樂理論，演奏器樂，教大家唱歌、排練合唱，每年舉行文藝演出等[12].孫先生每天和學生一起掃地、擦桌子，大掃除就搶著干臟活，帶動學生積極參與勞動、師生搶著勞動，逐步形成了勞動光榮、熱愛勞動的良好風尚.由此可見，孫先生是實踐“五育”的典范.

2.3 結構主義的教學觀

數學教學的重要目的在于讓學生建構良好的以數學“四基”為素材的認知結構.數學是一個嚴謹的體系和完整的結構.“數學是研究結構的科學”，數學的主要研究對象是代數結構、序結構、拓撲結構.孫先生的教學注重站在系統(tǒng)的高度，揭示知識的本質與聯系，強調學習以知識為載體，把思維能力的提高、數學素養(yǎng)的發(fā)展和完善作為根本目的，以造就數學的頭腦.孫先生由多年教學改革實驗總結提煉出“結構教學法”——使知識規(guī)律和學生認知規(guī)律得到融洽結合，使知識學習和能力培養(yǎng)、素養(yǎng)發(fā)展得到同步向前的教學結構[7].“結構教學法”可提煉為結構主義的教學觀.

學生從外在知識結構通過教與學獲得認知結構，需要通過同化或順應過程.把知識變成學生的認識，一定要符合學生的認知規(guī)律.從知識結構到認知結構，需要遵循教學邏輯、學習邏輯和認知邏輯.教學邏輯在照顧學情的前提下，以相關的教學理論、教學模式、教學方法指導教學目標的達成;學習邏輯和認知邏輯應體現主體參與、操作感知、意義建構、認知理解、知識遷移、形成圖式等大腦內部加工過程.因此，教學邏輯和學習邏輯的遵守需要考慮認知沖突的設計、學習動機的激發(fā)和學生深度思維的參與，還要考慮學習材料的組織及呈現的時機和方式.

數學認知結構是個體經歷心智操作和心力操作后獲得的數學經驗系統(tǒng).數學經驗是指個體理解并記住了的數學信息[13].數學學習是新舊經驗互動、調適、內化并增值成數學素養(yǎng)的過程[14].數學核心素養(yǎng)是個體對數學經驗系統(tǒng)的反思、改造、完善的結果.數學核心素養(yǎng)形成的標志是在數學經驗系統(tǒng)基礎上生成“三會”素養(yǎng)結構.“三會”素養(yǎng)概括了數學核心素養(yǎng)的精髓：會用數學的眼光（即抽象、一般性地看問題）觀察世界;會用數學的思維（即邏輯思維和非邏輯思維）思考世界;會用數學的語言（即數學話語系統(tǒng)，包括數學模型）表達世界.其實就是一個人看問題、思考問題、解決問題的習慣，這些是學生經歷數學思維活動之后的積淀[15].

在結構主義教學觀指導下，孫先生不搞題海戰(zhàn)術，不搞猜題押題，不加課，不占用雙休日，甚至不給學生留書面家庭作業(yè)，而是充分體現了李大潛院士推崇的“少慢精深”的教學觀.“少”，即由多化少，由薄到厚;“慢”，即細咽慢嚼，反復思考;“精”，即精講精練，吸收精華;“深”，即深度學習（思維），深入淺出.孫先生往往在一節(jié)課里只講一道題，這道題是他先下“題?！保聪茸?0道題，從中精選出一道思維價值高、代表性強、精彩紛呈的“好題”，要求學生想出盡可能一題多解，達到熟練;然后再帶領學生發(fā)掘不同解法的共同本質和必經之路，即多解歸一;最后總結一些題目的共同特點，抽象出思考規(guī)律，即多題歸一[4].對于講題，孫老師認為要講出解題步驟是“怎么想出來的”，否則對提高學生的解題能力效果不大，甚至起消極作用[5].孫先生經常采用“一題多解、多解歸一、多題歸一”的教學方式.如“一元一次方程的應用”的教學，孫先生只用了一個例題，并對此例題采用多種角度的思考，得到9種解法;引導學生認識：發(fā)現代數的方法（列方程的方法）包含了算術的方法，將算術法和代數法很好地結合起來;此外，在他的例題中還自然而然地列出了分式方程[10].在教學中，孫先生還鼓勵學生對任何細節(jié)都追根溯源，并使其成為根深蒂固的習慣.如，有學生問“為什么要給整數和分數的總體起名為‘有理數”時，他會耐心、科學的解釋到“這是歷史上日本人的一個錯誤翻譯，rational number中的rational應該譯它的第二個意思：能寫成兩個整數之比的，而不應譯作合理的，因此整數和分數的整體名為‘可比數更令人信服.”孫先生不僅沒有扼殺學生的思維，而且抓住了愛國主義教育機會[3].很多教師會認為，上述“錯誤翻譯”與數學無關;但孫先生認為，這樣做可以加深學生對數學概念的理解，并能收到數學育人的效果.

此外，孫先生把初中數學和高中數學看成一個整體，視為一個更大的結構，并對初、高中數學大循環(huán)系統(tǒng)做了無縫銜接.孫先生在推進素質教育難以前進的大背景下，統(tǒng)籌整個中學數學教材，鼓足承擔教學改革風險的勇氣，實施了初一到高三的大循環(huán)教學，使得初、高中數學上下貫通，有機銜接.用半年多一點兒的時間，學完初中三年全部數學，同年參加中考數學，班平均成績超各校初三班級平均分12分之多;還在初中提前學完高中課程，在高中還講了不少大學數學知識.這是典型的不只是為考試而教，而是為學生今后有更大發(fā)展而教的先進理念.

2.4 自組織的學習觀

“自組織”是大自然最普遍的規(guī)律之一.從而，“自組織”也是學習之“道”.人的學習需要“他組織”，但從本質上講更需要“自組織”，或者說最需要“自組織”.人類的學習是一個“熵減”的過程.系統(tǒng)論認為，“自組織”是個體學習數學達到“熵減”目的的最好方法之一.孫先生科學地運用了這一學習之“道”.其具體做法是，強調激發(fā)學生的內部學習動機;引導學生主動探索并發(fā)現課本上沒有的知識、方法和規(guī)律，并利用各種條件給學生創(chuàng)造自主學習、合作探究的機會;逐漸形成學生“想”在老師前面、“做”在老師前面、“說”在老師前面、“寫”在老師前面的自主學習的學風;逐漸養(yǎng)成自我管理、自主學習、自我監(jiān)督的良好習慣.

通過理想信念教育，激發(fā)學生的學習動機.“遠大理想將產生刻苦學習的強大動力;反過來智力素質提高，使人看得遠，有助于形成正確的人生觀，提高思想品德素質.”[5]孫先生認為，讓學生把“要我學”變?yōu)椤拔乙獙W”能有效激發(fā)內部學習動機，進而養(yǎng)成自主學習的良好習慣.孫先生每接手一個新班都會花一周左右時間進行入學教育，其重點是讓學生樹立“為人民多做貢獻”的理想和信念，因為這是讓學生產生自信力、意志力、行動力、堅持力的不懈動力源泉.

給學生創(chuàng)造自主探索的機會，指導學生們自己動手去發(fā)現、歸納、證明、總結、完成.在教學中孫先生想盡辦法培養(yǎng)和激發(fā)學生學習的欲望和探索精神，讓學生積極參與教學，充分思考;鼓勵學生勇于探索、求異創(chuàng)新、發(fā)散思維、各抒己見，鍛煉多向思維;又在求異思維的基礎上，注意概括，鍛煉求同思維[5]，促進了學生之間才智的相互欣賞和借鑒.孫先生對學生有兩個要求：一是超前思維，向老師挑戰(zhàn).他要學生時時搶在老師前面，猜想定理的結果.如果師生之間有分歧或想法與教材有分歧，就要試著去推翻老師或教材的結論.二是不做只會摘取果實的人.對每個定理、每個公式都要求自己動手歸納、推導、證明，經歷過程，熟知坎坷.孫先生堅持學生自己去解每道例題，自己證明每個定理，自己推導每個公式.這實質上是讓學生“自組織”地學習、思考和解決問題.

3 思考與啟示

3.1 提升教育境界，做到“五育”并舉

教學和教育的本質都是育人.因此，“為育人而教”“為育人而學”是數學教學應有之道.育人的目的在于“五育”，即修德、啟智、強體、善勞、愛美.“五育”就像五支“火箭”，能夠提升學生的品位、品質和德性，助推學生全面、協調、可持續(xù)地發(fā)展.通過發(fā)展學生的數學素養(yǎng)，去激活學生“五育”的慧根.用系統(tǒng)的觀點和方法去建構數學的知識結構、認知結構、經驗系統(tǒng)和素養(yǎng)系統(tǒng)，讓學生會用系統(tǒng)的眼光看數學、看“五育”，會用系統(tǒng)的思維思考數學之道、思考“五育”之術，真正做到“五育”協調發(fā)展、共同進步.

3.2 運用“結構教學”，培養(yǎng)核心素養(yǎng)

“結構教學法”對當下的課改和教學仍具指導意義和可操作性.孫先生的“結構教學法”實質上是以知識結構為起點、以認知結構和經驗系統(tǒng)為內在心理機制為中介、以素養(yǎng)生成為目標的教學，形成了“知識結構→認知結構→經驗系統(tǒng)→‘三會素養(yǎng)”的“結構教學法”.其中，“知識結構”不是一個一個知識點的簡單（機械）堆砌，而是以“核心知識”“基本技能”“通用方法”“普適思想”為支柱構建的“知識結構”.“認知結構”是外在“知識結構”與個體內部“數學經驗”互動、融合的結果，并且“認知結構”遵循“四重邏輯”（即“知識邏輯”“教學邏輯”“學習邏輯”“認知邏輯”）的約束.即是說，理想的數學教學應在數學的嚴謹性（系統(tǒng)性）與“學生的學習能力、認知加工能力及可接受性”之間把握好平衡.布魯納的“結構教學”和孫先生的教學實踐（實驗）都表明，結構教學法有利于讓學生系統(tǒng)地理解數學知識，系統(tǒng)地掌握數學方法，學會用系統(tǒng)的眼光和系統(tǒng)的思維去分析問題、解決問題，最終生成數學核心素養(yǎng)即“三會”素養(yǎng).

3.3 滲透數學德育，促進持續(xù)發(fā)展

只有通過“德育”，才能堅定理想信念，才能確立人的正確發(fā)展方向，才能給人的長遠發(fā)展提供不懈動力.“德育”居“五育”之首，具有統(tǒng)領其他“四育”的作用，即是說，“德育”是其他“四育”的“推動機”.反之，其他“四育”是實現“德育”的載體.事實上，“德育”里面講要曉之以“理”，這個“理”包括哲理、數理、物理、生理、心理和地理，當然也包括各門學科中的理論、道理和規(guī)律，由于“道”和“德”都是研究并揭示萬事萬物的普遍規(guī)律或特殊規(guī)律的，因此，如果不懂得這些“理”，那么就難以或無法得到“道”和“德”.“德育”強調身心健康，重視修身養(yǎng)心，這實質上就是完善的體育.“德育”重視勞動教育，提倡體力勞動與腦力勞動相結合，數學正好可以做到體力勞動與腦力勞動的結合.“德育”提倡以美育德，以美育人.“德育”的實施需要良好方法，顯然各學科的教學就是滲透德育的有效途徑.滲透數學德育，對學生增強持久學力和持續(xù)健康發(fā)展是必要的、可行的.教師具有高尚師德是“身教”的必要條件，教師從各個方面（包括數學及教學）修德獲德，就能讓學生“明明德”，就能起到修德的楷模作用，就能潛移默化地影響和教化學生.

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