二分法求方程近似解的課例分析及其啟示

摘要：“用二分法求方程的近似解”滲透了算法思想，同時體現(xiàn)了函數(shù)與方程之間的聯(lián)系.作為新課改后新增加的內(nèi)容，無論是新教師還是老教師在教學上都處于探索階段，還沒有形成一套成熟的教學理論.本文從教學過程中的數(shù)學情境的創(chuàng)設、教學流程、課堂提問、數(shù)學問題之間的聯(lián)系以及數(shù)學問題之間的復雜性五個方面進行初步的比較研究，從而為教師教學提供一些參考意見.

關鍵詞：二分法;方程近似解;函數(shù);課例分析;教學啟示

1.問題引入

就中學數(shù)學課程中方程的部分而言，學生主要學習一元一次方程，一元二次方程以及二元一次方程、三元一次方程組的解法或可化為上述方程（組）的其他方程 如：分式方程、無理方程的解法.一元一次方程我們用去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1等程序化的步驟 把它轉化為 的形式 對于一些特殊形式的一元二次方程有一些特殊的解法，但對一般的一元二次方程 有---—公式法 它可以給出任意的一元二次方程的精確解 然而在自然科學、工程技術、經(jīng)濟、醫(yī)學以及其他領域中與方程有關的許多實際問題 求其一般解既不可能又不現(xiàn)實，考慮實際問題的需要 也沒有必要求其精確解.另外對于無公式的方程求解，有時不需要求出其精確解，只需要求出在大致范圍內(nèi)的近似解，因此尋求方程近似解的數(shù)值方法應運而生

二分法實質(zhì)上是一種區(qū)間迭代的數(shù)值算法 它的依據(jù)是：如果函數(shù) 在區(qū)間 上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且 ?0，那么函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)至少有一個零點，即至少存在一點 使得 就是 的根

給定精確度為 ，用二分法求方程近似解的一般步驟：

根據(jù)f（a）f（b）<0，確定根所在的大致區(qū)間（a，b）

取該區(qū)間的中點 計算 的值

根據(jù) 及兩區(qū)間端點所對應函數(shù)值的符號，縮小到更小的區(qū)間，依次進行

判斷是否達到精確度 ，確定近似解

新課程中增加二分法的目的：一是加強函數(shù)與方程的聯(lián)系，突出函數(shù)的應用;二是體現(xiàn)了算法的思想

2.課例分析

2.1教學流程

2.1.1課例

2.1.2分析

五個課例除課例4外都運用了情境引入，整個過程雖然有不同程度的差異但是整體都注重對新概念的理解、新知識的探究以及對新方法的總結.

2.2數(shù)學情境的創(chuàng)設

課堂教學情境創(chuàng)設的類型多種多樣.其中操作性較強的常用數(shù)學教學情境主要有以下幾種：問題情境、現(xiàn)實數(shù)學情境、操作活動情境、懸念情境、游戲情境、猜想情境和動態(tài)情境

2.2.1課例

課例1選用游戲情境 采用時下流行的方式競猜電腦價格，然后選用操作活動情境，例如查英語字典如何一步到位，接著引出例題

課例2選用游戲情境.同課例1一樣也競猜商品價格，從中滲透數(shù)學中逼近的思想，引入問題，然后選用數(shù)學現(xiàn)實情境：檢修元件

課例3選用現(xiàn)實數(shù)學情境 以計算復利和國貸為例，引入逼近思想

課例4直接拋出一個問題，以解方程x3+3x-1=0為例引出“無限逼近”的思想，沒有任何的情境創(chuàng)設.

課例5選用“問題驅動”教學情境.解方程 ， ， ， ， ，從學生熟知的問題入手引入求方程解的話題，引起沖突激起進一步探究的欲望.

2.2.2分析

課例1與課例2均模仿時下流行的“央視名嘴李詠“的競猜方法.學生們非常喜歡這種方式，因而課堂氣氛很熱烈，這是因為實現(xiàn)了他們角色的扮演，但是課例1的情境過于冗長，在游戲之前沒有明確這節(jié)課的主要知識內(nèi)容是什么，使得學生沒有與所學的知識建立聯(lián)系就盲目進入游戲.

課例3選用的現(xiàn)實情境，把學生引入實際問題中，很容易引發(fā)他們的思考興趣.在實際問題中，二分法常用于：查找線路（如電線、水管、氣管等）的故障、實驗設計、資料查詢等.例：

問題1：今年夏天的5號臺風“海棠”致使我縣14.5億，36個鄉(xiāng)鎮(zhèn)全部受淹，相信我們還記憶猶新.那么假如在某臺風夜里，某水庫閘房到抗臺指揮部的電話線路發(fā)生了故障.這是一條10km長的線路，共有199根電線桿，想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作可以最合理最快的找出故障所在？

問題2：2000-2002年，我國國內(nèi)生產(chǎn)總值年平均增長7.8%左右.按照這個增長速度，到哪一年我國年國內(nèi)生產(chǎn)總值約為2000年的2倍？

解析：設2000年我國國內(nèi)生產(chǎn)總值是a，x年后我國年國內(nèi)生產(chǎn)總值為y，所以經(jīng)過x年，我國年國內(nèi)生產(chǎn)總值

問題3：某產(chǎn)品依靠某種貴重金屬. 采用16%的貴重金屬生產(chǎn)出來的產(chǎn)品質(zhì)量合乎要求. 我們問， 可否少些、更少些呢？使得產(chǎn)品仍然符合要求.

課例4沒有創(chuàng)設任何情境，直接給出今天要研究的問題，而為什么要學習這一問題學生會感覺沒有內(nèi)容的銜接，沒有產(chǎn)生內(nèi)在的學習心向，過于突然.

課例5首先回顧了根與函數(shù)的零點的關系，接著采用“問題驅動”教學情境，從學生熟知的問題入手引入方程根的話題.與課例4相反，既與所學的內(nèi)容有了銜接又引起了學生的認知沖突，產(chǎn)生了內(nèi)在的學習心向.

2.3提問

課堂提問是組織教學的一種重要手段，是教學的重要組成部分.好的課堂提問通常表現(xiàn)出以下五個共同的優(yōu)勢：

問題具體明確.

提出的問題從教學實際出發(fā)，富有啟發(fā)性、引人思考.

提問的內(nèi)容有系統(tǒng)和層次，由淺入深，緊扣結論.

提出的問題面向全體學生.

對學生的回答給予及時反饋和評價，善待學生的非預期思路.

例如在課例2中“師：你等一下，讓其他人再想想，有沒有第二個舉手的？”這里老師注意留給學生充足的時間思考，做必要的時間等待.

課例3中“師：那么我們請這位同學告訴大家你選擇什么，為什么？”與課例4中“師：是0.3？你能說一下具體過程嗎？”這里從教學實際出發(fā)指定了某位同學回答問題，并且注重思維的過程性，激發(fā)學生的思維，而不是單純的得到一個結果.

課例5中“師：你是怎樣猜出來的？為什么？”下一個問題“師：方程的近似解也可以這樣猜出來嗎？如果可以，能不能猜得更快一點？”這樣提出的問題在內(nèi)容上由淺入深，環(huán)環(huán)相扣，緊扣后面要引出的內(nèi)容，而且容易激發(fā)學生的學習樂趣從而積極地配合教師對問題進行思考.

2.4問題間聯(lián)系

一個問題與前一個問題之間的聯(lián)系分成四種關系：無關，主題相關，數(shù)學相關（如果后一個問題用到前一個問題的解來解決問題或需要額外的方法來延伸前一個問題，或考慮一個較簡單的例子來強調(diào)前一個問題的算法，或通過解決一個較簡單的問題來說明前面的問題，那么這個問題稱之為數(shù)學相關的）和重復（一個問題與它前面的問題是相同或者幾乎相同或需要用前面問題相似的算法去解決，那么這個問題稱之為重復的）

3.結論

3.1結論

3.1.1發(fā)現(xiàn)五個課例既有共性也有差異.其主要共性有：

1.通過解決問題展開，采用各種情境引出主題.

除課例4都創(chuàng)設了數(shù)學情境.課例4直接引入“今天我們來研究黑板上的這個方程 ”，而為什么要解此方程學生并未產(chǎn)生內(nèi)心的學習需要.其它四個課例采用了游戲情境、現(xiàn)實情境以及問題情境不同程度的激發(fā)學生學習的需要.

2.注重學生的創(chuàng)新能力和動手實踐能力.

素質(zhì)教育的核心就是創(chuàng)新能力.在五個課例中教師引導學生的思路，讓學生自己探討、研究、發(fā)現(xiàn)問題，和教師一味的在前面講有很大的區(qū)別.如課例3整個過程都是教師在引導學生進行自主學習.其余的四個課例都有不同程度的自主學習，只是沒有像課例3一樣花費那么多時間.

3.多媒體使用普遍，根據(jù)課程需要都使用計算器作為工具.

隨著社會的發(fā)展，多媒體普遍應用于教學，既節(jié)省了時間，操作又比較方便.在這五個課例中課例5與課例2比較明顯的應用多媒體，并且將貫穿整個課堂的主要問題展示出來，方便課堂教學.

4.主要還是教師比學生講的多，教師普遍傾向于啟發(fā)式引導，課堂提問主要采用啟發(fā)式提問和師生互動[12]與其它形式相結合.

5.課堂中問題以低復雜性問題為主，適當結合中等復雜性問題.

由表2可以看出五個課例的課堂問題主要以低復雜性的問題為主，高復雜性的問題比較少，反應了高中課堂的緊湊性，要適合大部分學生的水平以保證進度，高難度的問難要在課下練習.

例如課例5中方程“ ， ”課例1的例題“不解方程，求方程 的一個正的近似解（精確到0.1）”等屬于低、中等復雜性問題.

6.強調(diào)問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，注重對二分法思想的理解.

五個課例都花大量的時間讓學生感受“二分”的過程，讓學生深刻理解二分法的思想.

例如課例3整個課堂都在討論二分的過程，沒有習題來鞏固所學的知識，雖然這種教學有不足之處，但是從另一個角度來說這位教師讓學生充分的理解了二分法的思想.而其它的四個課例中教師與學生共同進行了探討，得出用二分法求方程近似解的方法.

3.1.2主要差異為：

1.課堂側重點不同.課例1和課例3側重思想的理解與掌握，沒有明確歸納用二分法求方程近似解的步驟，沒有過多的練習;而課例2、課例4和課例5鞏固練習較多，旨在檢驗和鞏固所學的知識程度，并且歸納給出了具體步驟.

2.突出主題的程度不同.同上課例1和課例3直到課尾才明確主題：用二分法求方程的近似解，而課例2、課例4和課例5課堂時間分配比較均衡，引入主題后就指出二分法的概念并且探究用二分法求方程近似解的步驟.

3.對于特殊問題，不能用二分法求函數(shù)零點的情況的解決方法不同.課例1在課尾設置疑問留待課外思考;課例2在課堂中通過大家一起討論解決;課例4沒有提到特殊性問題，卻出現(xiàn)烙餅問題，與本節(jié)課的主題沒有實質(zhì)性的聯(lián)系.對于研究函數(shù)運用函數(shù)圖象是必染而且整堂課都沒有出現(xiàn)函數(shù)圖像;課例5把特殊性問題以課堂練習的方式給出，激發(fā)學生的認知沖突.

4.五個課例都有不同程度的以學生自主探究為導向的活動，但大部分只是有這樣的趨勢，還不成熟，而課例3相對來說有更多的課堂時間用于學生自主探究性學習.

5.課堂提問所引出的回答處理方式不同：重述，及時評價（支持、鼓勵、賞識）.

3.2討論與啟示

3.2.1討論

在新課程中引入二分法學生剛剛接觸比較陌生，教師的引導作用非常重要，采用的方式、方法以及課堂能夠運用的各個環(huán)節(jié)對學生的影響都不能忽視，而且數(shù)學問題之間的內(nèi)在聯(lián)系以及課堂練習、問題之間的適當變式，這些特點可能為學生提供對知識的深刻理解以及形成良好的知識結構，架起基礎知識和能力的橋梁. 那么教學上就要重視學生對基本概念、基礎知識的理解-強調(diào)解決問題的過程和思想-強調(diào)知識之間的聯(lián)系、知識與日常生活之間的聯(lián)系.因此在對上述選取的五個課例進行分析后，得出如下啟示.

3.2.2啟示

1.無論采用什么樣的教學流程，主要目的都是激發(fā)學生的思維，讓學生真正理解所學的知識.

2.要把握好數(shù)學情境創(chuàng)設的度.

3.注重啟發(fā)式提問，充分發(fā)揮啟發(fā)式提問對學生的引導作用.

4.合理分配課堂中數(shù)學問題及練習的數(shù)量.

5.根據(jù)學生的知識水平和接受能力設置課堂中數(shù)學問題的總體難度.

社會的不斷發(fā)展使得如今的學生面對的競爭非常激烈，因此學校為了提高學習效率，便于更大程度的挖掘學生的潛力，大多分實驗班和平行班，說法不一.也就是說學生的知識水平和接受能力有一定的差異，那么面對不同水平的學生就不能運用同一份教案.因此在設計教案時對于大部分水平相對較低的的學生來說，在選擇問題時應以低、中等難度為主，在他們掌握好基礎以后再逐步提升難度.而對于水平相對較好的學生來說，完全可以開始就選擇中、高等難度的問題，這樣既提升了學習的水平又激發(fā)學生投入到數(shù)學學習的過程之中.

3.3有待解決的問題

本文通過對五個課例進行初步的比較研究得出以上的啟示與建議，但是在實際教學中要結合所在班級學生的認知水平和靈活程度具體地進行合理的教學設計 連同其教學效果還需要進一步予以研究.

參考文獻

[1]李慶揚、王能超、易大義.數(shù)值分析[M].上海：華中科技大學出版社，2006.7.

[2]錢佩玲等.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修1A版[M].北京：人民教育出版社，2008，5.

[3]肖息桂、唐生福、石寶.“用二分法求方程近似解”的教學思考[J].桂林師范高等?？茖W院院報，2008， 22（3）：157-159.

[4]涂榮豹等.新編數(shù)學教學論[M].華東師范大學出版社.

[5]黃躍華.二分法在求方程的近似解中的應用[J].新高考（高一版），2006，11：28-30.

[6]謝尚志.“用二分法求方程近似解（一）”的教學設計[J].中學教學研究，2007，2：35-37.

[7]盧欽和.方程、二分法及其它[J].中學數(shù)學月刊，2005，9：1-2.

[8]韓龍淑.數(shù)學教學論教案，68-69.

[9]程廣文.數(shù)學課堂提問研究[J].華東師范大學博士論文.

[10]黃榮金.國際數(shù)學課堂的錄像研究及其思考[J].比較教育研究，2004，3：39-43.

[11]Hiebert J，gallimore R，Garnier H，et al.Teaching Mathematics in Seven Countries：Results From the timss 1999 video study（NCES.2003-013） U.S.Department of Education[M].Washington，DC：National Center for Education Statistics，2003.

[12]黃榮金.華人數(shù)學課堂之透視[J].數(shù)學教育學報，2006，15（2）：67-70.

[13]Wong N Y.From “Entering the Way” to “Exiting the Way”：in Searching of ?a Bridge to Span “Basic skills” and Process ability”[A].In Leung F K S，Graf K D，Lopez-Real F J .Mathmatics Education in Difference Cultural Traditions-AComparative Study of East Asia and the West [C].United States：Spinger，2006.

[14]李建華.“第三次國際數(shù)學與科學研究”成果評價[J].比較教育研究，1993，3：55-70.

[15]王懷明.“精確到”、“精確度”似同實不同——對新教材中用“二分法求方程近似解”的思考[J].中學數(shù)學教學，2007，3：47-48.

[16]黃榮金、汪甄南.滬港澳中學數(shù)學課堂教學之比較[J].數(shù)學教育學報，2007， 16（2）：77-81.

作者簡介：

張春雪，（1986.1212），女，漢族，大學本科，黑龍江齊齊哈爾人，長沙麓山國際實驗學校數(shù)學教師，長沙市卓越教師。