多孔介質(zhì)Boussinesq問題的解析解

楊鵬程，黑太平，胡 航，馮良海，張 洋，趙寶生

（遼寧科技大學(xué) 機械工程與自動化學(xué)院，遼寧 鞍山 114051）

多孔介質(zhì)是指由固體骨架和大量微小孔隙構(gòu)成的結(jié)構(gòu)，孔隙中充滿液體或氣液兩相物質(zhì)。當液體充滿孔隙時，稱為飽和多孔介質(zhì)，這種介質(zhì)內(nèi)部存在固液耦合現(xiàn)象［1］，該結(jié)構(gòu)的研究被廣泛應(yīng)用在地下含水層、天然氣儲層、地質(zhì)結(jié)構(gòu)等領(lǐng)域?？紫堕g液體的運動會影響到固體骨架的變形，比單純的固相研究要復(fù)雜，因此研究多孔介質(zhì)對工程有重大意義。早期的地基理論，僅研究固相介質(zhì)，如普遍使用的Winkler地基模型［2］和雙參數(shù)地基模型［3］，關(guān)于存在液相狀態(tài)的地基研究較少，而現(xiàn)實中對于土壤等材料分析時，液相對結(jié)構(gòu)的影響是不可忽略的［4］。對于飽和多孔介質(zhì)而言，其內(nèi)部固相骨架和孔隙液體之間的位移、作用力相互耦合，產(chǎn)生了與單相材料截然不同的運動特性［5］。梁發(fā)云［6］深入分析多孔介質(zhì)理論，對含液相地基中骨架變形進行系統(tǒng)研究，形成根據(jù)土的壓縮模量估算變形模量的方法。王立安等［7］利用一階Hankel 變換，研究非均勻多孔介質(zhì)地基半空間擾動問題，獲得了水飽和與氣飽和兩種地基的動力響應(yīng)。熊春寶等［8］研究了孔隙率的變化對彈性地基的影響。高廣運等［9］利用有限單元法研究高鐵荷載下準飽和分層地基的動力響應(yīng)。Boussinesq 問題是彈性力學(xué)的基本問題之一，最初專指各向同性半平面上作用集中力的問題［10］，后被推廣到橫觀各向同性材料［11］等領(lǐng)域，現(xiàn)在泛指界面作用集中力的半平面問題。本文以多孔介質(zhì)基本方程為研究基礎(chǔ)，給出多孔介質(zhì)Boussinesq問題的簡便形式的解析解，為獲得普適的地基模型提供理論基礎(chǔ)。

1 多孔介質(zhì)的基本方程

根據(jù)Ziekiewicz等［12］的研究，在極坐標（ρ,φ）下，多孔介質(zhì)的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系式為

無體力平衡方程為

式中：ρ,φ是極坐標下的極徑和極角；uρ,uφ為骨架位移；σρ,σφ,τρφ為骨架應(yīng)力；ερ,εφ,γρφ為骨架應(yīng)變；E為骨架的彈性模量；μ為骨架的泊松比；p為孔隙水壓力。

穩(wěn)態(tài)流體的運動方程為

式中：vρ,vφ為流體的流速；k為流體滲透系數(shù)與粘度系數(shù)之比。

流體的質(zhì)量守衡方程

p滿足極坐標下Laplace方程

與單一各向同性材料基本方程進行對比［13］，引入Airy 應(yīng)力函數(shù)研究多孔介質(zhì)，利用應(yīng)力函數(shù)Φ 將骨架應(yīng)力場寫成

2 Boussinesq問題的應(yīng)力場

Boussinesq問題是彈性力學(xué)的基本問題，研究表面作用集中力的半平面問題。如圖1 所示。在半空間多孔介質(zhì)上作用一集中力，該力與界面垂直，半空間滿足多相孔隙介質(zhì)的基本方程（1）~（6），在y軸截面處O點作用橫向集中力F，在界面上（-a,a）的范圍內(nèi)有液體流入，流入的體積速度為Q。根據(jù) Saint-Venant 原理［14］，在小邊界{|φ|≤π/2,ρ=a} 上的邊界條件可以設(shè)為

圖1 受橫向載荷作用的半平面多相孔隙介質(zhì)Fig.1 Half-plane multi-phase porous medium under transverse load

大邊界{φ=±π/2,ρ>a} 上的邊界條件為完全透水

將通用的半逆解法引入到多孔介質(zhì)Boussinesq 問題的研究當中，應(yīng)力函數(shù)Φ 和孔隙水壓力p設(shè)為

式（12）自動滿足式（6）和式（9）。利用式（8）獲得骨架應(yīng)力場為

將式（13）代入邊界條件（10）的前兩式，可得

將式（12）的第二式代入邊界條件（10）和（11）的最后一式，并利用式（4）可得

最終獲得骨架的應(yīng)力場和液體壓力為

3 Boussinesq問題的位移場

為了獲得地基的沉陷情況，需要計算半平面問題的位移場，將式（16）代入式（1），可得應(yīng)變場

為方便，引入兩個常數(shù)

代入式（2），可得

對式（19）的第一式兩側(cè)對矢徑進行積分，得

其中，f1(φ)為與矢徑ρ無關(guān)的待定函數(shù)，代入式（19）的第二式并對矢角進行積分，得

其中，f2(ρ)為僅與矢徑ρ有關(guān)的待定函數(shù)，將式（20）和式（21）代到式（19）的最后一式，得

根據(jù)f1(φ)和f2(ρ)兩個待定函數(shù)的互不耦合的特點，可以將式（22）分為兩個方程

式（23）的第二式可以直接獲得通解

其中，B1為待定常數(shù)，引入函數(shù)f3(φ)= ∫f1(φ)dφ，則式（23）的第一式化為

式（25）的通解

將式（24）和式（26）代到式（20）和式（21）中，可以獲得

其中，B1代表剛體轉(zhuǎn)動，B2和B3分別代表豎直和水平方向的剛體平移。根據(jù)對稱性可知，B1=B3=0，故骨架位移場為

根據(jù)式（28），計算在界面(φ=π/2)上的沉陷為

其中B2需要根據(jù)周邊的位移情況來確定。

仿照Flament 解答［13］，獲得相對沉陷 Δ ，以消除B2的影響

其中，s為選取基點到O點的距離。如果忽略液相的影響，僅考慮固相，即令Q=0，與單相各向同性材料的結(jié)論一致。

4 結(jié) 論

從飽和多孔介質(zhì)基本方程出發(fā)，利用應(yīng)力函數(shù)研究多孔介質(zhì)的Boussinesq問題，利用彈性力學(xué)通用的半逆解法，獲得了半空間多孔介質(zhì)在界面上作用橫向集中力和小范圍液體源的解析解，該解析解直觀展示了多孔介質(zhì)內(nèi)部固相骨架應(yīng)力場、位移場和液相壓力場的分布情況，固相應(yīng)力場和液相壓力場沿極徑方向逐漸減小，沿極角方向呈余弦分布，在界面處為零。物理場完全滿足多孔介質(zhì)材料的基本方程和邊界條件，是精確解。根據(jù)集中載荷和液源工作作用下對界面位移的影響，可以為多孔介質(zhì)地基的研究提供了理論基礎(chǔ)。