基于積分不等式的多時(shí)滯電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

郭良棟，張 旺

（遼寧科技大學(xué)理學(xué)院，遼寧 鞍山 114051）

隨著電網(wǎng)規(guī)模的不斷擴(kuò)大，在“西電東送”和“全國(guó)互聯(lián)”等國(guó)家政策的指揮下，互聯(lián)電網(wǎng)逐漸形成了一定的規(guī)模［1］?；ヂ?lián)電網(wǎng)加強(qiáng)區(qū)域間的電力連接，提高電網(wǎng)運(yùn)行效率，但也產(chǎn)生了一系列更為復(fù)雜的時(shí)滯問(wèn)題［2］。由于運(yùn)行條件更為復(fù)雜，區(qū)域間不時(shí)出現(xiàn)低頻振蕩［3］。與傳統(tǒng)電力系統(tǒng)就地測(cè)量和現(xiàn)場(chǎng)控制相比，互聯(lián)電網(wǎng)采用廣域控制，需要同時(shí)使用遠(yuǎn)程信號(hào)和本地信號(hào)。所以，即使時(shí)滯很小，也可能對(duì)電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生重大影響［4］。因此，研究電力系統(tǒng)時(shí)滯穩(wěn)定裕度有重要意義。

目前進(jìn)行的時(shí)滯系統(tǒng)研究中，常采用構(gòu)造L-K（Lyapunov-Krasovskii）泛函，利用 Lyapunov 穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式求解［5-6］得到最終的系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)。而此方法研究重點(diǎn)和難點(diǎn)是如何構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖-K 泛函和L-K 泛函求導(dǎo)后放縮以降低穩(wěn)定性條件的保守性。

通常情況下，使用不同的放縮不等式會(huì)對(duì)結(jié)果保守性產(chǎn)生不同程度的影響。文獻(xiàn)［5］利用Jensen 不等式得到穩(wěn)定性判據(jù)，計(jì)算量小，但保守性較大。文獻(xiàn)［7］利用自由矩陣的積分不等式得到一類時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)，由于引入自由矩陣，計(jì)算量偏大，但可以得到保守性更小的判據(jù)。文獻(xiàn)［8］用Wirtinger 不等式代替Jensen 不等式，放縮得到更緊的下界。文獻(xiàn)［9］得到單時(shí)滯電力系統(tǒng)的判據(jù)，但沒(méi)有推廣到多時(shí)滯系統(tǒng)。文獻(xiàn)［10］基于輔助函數(shù)的不等式得到判據(jù)，但由于引入過(guò)多變量，導(dǎo)致計(jì)算量過(guò)大。文獻(xiàn)［11］給出基于Bessel-Legendre 不等式的穩(wěn)定性判據(jù)，但應(yīng)用條件繁瑣。文獻(xiàn)［12］構(gòu)造含有多重積分項(xiàng)的泛函，得到保守性更小的新結(jié)果，但能否推廣到多時(shí)滯系統(tǒng)有待研究。文獻(xiàn)［13］推導(dǎo)出更復(fù)雜的Wirtinger不等式，但需要匹配特定的L-K泛函，計(jì)算復(fù)雜度較高。文獻(xiàn)［14］將系統(tǒng)判據(jù)簡(jiǎn)單地推廣到多時(shí)滯系統(tǒng)。文獻(xiàn)［15］用自由權(quán)矩陣和Jensen 不等式推導(dǎo)多時(shí)滯系統(tǒng)判據(jù)。文獻(xiàn)［16］提出優(yōu)化L-K 泛函和評(píng)估保守性的新方法。

針對(duì)多時(shí)滯電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，文獻(xiàn)［17-18］通過(guò)設(shè)計(jì)新的L-K泛函得到新判據(jù)，但此方法推廣到多時(shí)滯系統(tǒng)時(shí)計(jì)算量過(guò)大。文獻(xiàn)［14］雖推廣到了多時(shí)滯系統(tǒng)，但得到的時(shí)滯區(qū)間太小，結(jié)果保守性較大。而且，上述文獻(xiàn)在L-K 泛函設(shè)計(jì)中引入的矩陣都要求是正定對(duì)稱的。受文獻(xiàn)［19］的啟發(fā)，本文引入自由矩陣替代L-K 泛函中的部分矩陣對(duì)稱正定，設(shè)計(jì)新的L-K 泛函，結(jié)合F-M-B（Free Matrix-Based）積分不等式，以期得到系統(tǒng)更大的時(shí)滯穩(wěn)定裕度。

1 時(shí)滯電力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

含有時(shí)滯環(huán)節(jié)的電力系統(tǒng)模型可以表示為時(shí)滯-微分代數(shù)方程

2 時(shí)滯電力系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)

2.1 二階時(shí)滯電力系統(tǒng)

當(dāng)式（4）中i=2 時(shí)，得時(shí)滯系統(tǒng)模型

注意到這里只要求Q1,Q2,Q3對(duì)稱，依據(jù)文獻(xiàn)［16］，給出代替矩陣Q1,Q2,Q3正定的條件。

2.2 多時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)

當(dāng)式（4）中有k個(gè)時(shí)滯時(shí)，得到如下穩(wěn)定性判據(jù)。

3 算例分析

考慮式（5）中的系統(tǒng)，其中

若τ1=τ2，僅取矩陣A0，A1，系統(tǒng)（5）穩(wěn)定區(qū)間上界為6.058 9。文獻(xiàn)［20］中給出的系統(tǒng)真實(shí)穩(wěn)定區(qū)間上界為6.172 5。利用判據(jù)1 與目前已有的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表1所示。本文構(gòu)造的L-K泛函中，矩陣Q1，Q2，Q3只需滿足對(duì)稱，無(wú)需滿足正定，大大降低了判據(jù)的保守性。從L-K 泛函推廣到多時(shí)滯系統(tǒng)中的結(jié)果看去掉了文獻(xiàn)［9］中ζT(t)的二重積分項(xiàng)，計(jì)算量更小。

表1 給定τ1 時(shí)保證式（5）中系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的范圍Tab.1 Range of τ2 that guarantees asymptotic stability of system in equation（5）when τ1 is given

表2 給出本文判據(jù)與相關(guān)文獻(xiàn)決策變量的數(shù)量。與現(xiàn)有文獻(xiàn)相比，本文判據(jù)有較少的決策變量或更大的時(shí)滯穩(wěn)定裕度。

表2 各方法決策變量數(shù)Tab.2 Number of decision variables in each method

4 結(jié) 論

本文提出適用于多時(shí)滯電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析新方法，將L-K 泛函引入的部分矩陣的取值條件從正定對(duì)稱變成對(duì)稱，結(jié)合基于自由矩陣的積分不等式，得到保守性更低的穩(wěn)定性判據(jù)。典型的二階時(shí)滯系統(tǒng)的仿真實(shí)驗(yàn)證明，本文判據(jù)比目前已有的文獻(xiàn)保守性更小，可以算出系統(tǒng)多個(gè)時(shí)滯穩(wěn)定區(qū)間。后續(xù)研究將關(guān)注時(shí)滯電力系統(tǒng)在受到隨機(jī)擾動(dòng)的穩(wěn)定性分析。