3-李-Rinehart代數(shù)的導(dǎo)子與交叉模

白瑞蒲,李曉娟

(河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 河北 保定 071002)

3-李代數(shù)[1]在幾何、物理等方面都發(fā)揮了重要作用[2-3], 因此, 3-李代數(shù)的研究受到人們的廣泛關(guān)注[4-6]. Lie-Rinehart代數(shù)作為李代數(shù)胚的幾何概念中的代數(shù)部分被人們所熟知[7]. 1997 年, Huebschmann 給出了Lie-Rinehart代數(shù)的概念, 并研究了其在李代數(shù)胚上的作用[8]. 之后許多學(xué)者對(duì)Lie-Rinehart代數(shù)的結(jié)構(gòu)及應(yīng)用進(jìn)行了研究[9-10]. Mandal[11-12]等定義了Hom-Lie-Rinehart代數(shù), 并研究了其低維擴(kuò)張問題.本文要對(duì)3-Lie-Rinehart 代數(shù)[3]的導(dǎo)子和交叉模的結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究.

除特別聲明以外, 文章討論的代數(shù)和向量空間的基域F的特征為零,A是F上的交換結(jié)合代數(shù),V為F上的向量空間.

1 預(yù)備知識(shí)

3-李代數(shù)L是具有線性運(yùn)算[,,]:L＾ 3→L的向量空間[1],滿足?x1,x2,x3,y2,y3∈L,

[[x1,x2,x3],y2,y3]=[[x1,y2,y3],x2,x3]+
[[x2,y2,y3],x3,x1]+[[x3,y2,y3],x1,x2].

(1)

設(shè)L是F上的3-李代數(shù),如果F-線性映射D∶L→L滿足?x,y,z∈L,D[x,y,z]=[Dx,y,z]+[x,Dy,z]+[x,y,Dz],則稱D是L的導(dǎo)子,L的導(dǎo)子李代數(shù)記為Der(L).

由式(1),對(duì)?x,y,z∈L,左乘映射adx,y∶L→L,adx,yz=[x,y,z]及其線性組合是導(dǎo)子,稱為內(nèi)導(dǎo)子,且滿足?x1,x2,y1,y2∈L,[adx1,y1,adx2,y2]=ad[x1,y1,x2],y2+adx2[x1,y1,y2].內(nèi)導(dǎo)子李代數(shù)記為ad(L).

對(duì)F線性映射ρ∶L∧L→gl(V),若有下列等式成立?xi∈L,1≤i≤4,

[ρ(x1,x2),ρ(x3,x4)]=ρ([x1,x2,x3],x4)-ρ([x1,x2,x4],x3),

ρ([x1,x2,x3],x4)=ρ(x1,x2)ρ(x3,x4)+ρ(x2,x3)ρ(x1,x4)+ρ(x3,x1)ρ(x2,x4),

則稱(V,ρ)是3-李代數(shù)L的表示,簡(jiǎn)稱(V,ρ)為L(zhǎng)-模[4].子空間Kerρ={x∈L|ρ(x,L)=0}稱作ρ的核.

由式(1)可知,對(duì)任意3-李代數(shù)L,(L,ad)是3-李代數(shù)L的表示,稱為L(zhǎng)的正則表示,其中?x,y∈L,ad∶L∧L→gl(L),ad(x,y)=adx,y，且Kerad=Z(L)={x∈L|[x,L,L]=0}.

定義1[10]設(shè)L是李代數(shù),且L是A-模,(A,ρ)是L-模.如果ρ(L)?Der(A),并且

[x,az]=a[x,z]+ρ(x)az,ρ(ax)=aρ(x),?x,z∈L,a∈A,

(2)

則稱(L,ρ)為李-Rinehart代數(shù).若ρ=0,則L叫作李-A代數(shù).

定義2[13]設(shè)域F上的3-李代數(shù)L是A-模,(A,ρ)是L模,且滿足ρ(L∧L)?Der(A),

[x,y,az]=a[x,y,z]+ρ(x,y)az,ρ(ax,y)=ρ(x,ay)=aρ(x,y),?x,y,z∈L,a∈A,

則稱(L,A,ρ)為3-李-Rinehart代數(shù).進(jìn)一步,若ρ=0,則(L,A)為3-李A(yù)-代數(shù).

定義3[13]設(shè)(L,A,ρ)和(L′,A,ρ′)是3-李-Rinehart代數(shù),f∶L→L′是3-李代數(shù)同態(tài).如果f滿足

f(ax)=af(x),ρ′(f(x),f(y))=ρ(x,y),?a∈A,x,y∈L,

(3)

則稱f為3-李-Rinehart代數(shù)同態(tài).進(jìn)一步,如果f是雙射,則稱f是同構(gòu)映射;如果f是滿射并且Ker(f)?Z(L),則稱f為中心滿態(tài).

定義4[13]設(shè)(L,A,ρ)是3-李-Rinehart代數(shù),(R,A)是3-李A(yù)-代數(shù),β∶L∧L→Der(R)是F-線性映射. 如果滿足:

1)(R,β)是3-李代數(shù)L-模；

2)β(ax,y)=β(x,ay)=aβ(x,y),?a∈A,x,y∈L；

3)β(x,y)(ar)=aβ(x,y)r=β(x,y)(a)r,?a∈A,r∈R,x,y∈L.

則稱β是(L,A,ρ)在(R,A)上的作用. 進(jìn)一步, 如果R是Abel 的, 即[R,R,R]=0, 則稱(R，β)是 3-李-Rinehart 代數(shù)(L,A,ρ)-模.

引理1[13]設(shè)(L,A,ρ)是3-李-Rinehart代數(shù), 則(L∧L,ρ2)是李-Rinehart 代數(shù), 其中

(4)

ρ2∶L∧L→Der(A),ρ2(x∧y)=ρ(x,y),?x∧y∈L∧L.

(5)

引理2[13]設(shè)(L,A,ρ)是3-李-Rinehart代數(shù), (R,A)是Abel 3-李A(yù)-代數(shù),(R,β)是3-李代數(shù)L-模，則(R,β)是(L,A,ρ)-模當(dāng)且僅當(dāng)(L+βR,A,ρ4)是3-李-Rinehart代數(shù),其中3-李代數(shù)L+βR的運(yùn)算為?x1,x2,x3∈L,r1,r2,r3∈R,

[x1+r1,x2+r2,x3+r3]=[x1,x2,x3]+β(x1,x2)r3+β(x2,x3)r1+β(x3,x1)r2,

(6)

ρ4∶(L+βR)∧(L+βR)→Der(A),ρ4(x1+r1,x2+r2)=ρ(x1,x2).

(7)

2 3-李-Rinehart代數(shù)到3-李A(yù)-代數(shù)的導(dǎo)子

定義5設(shè)(L,A,ρ)是3-李-Rinehart代數(shù), (R,A)是Abel 3-李A(yù)-代數(shù),β∶L∧L→Der(R)是(L,A,ρ)在(R,A)上的作用. 如果F-線性映射ψ∶L→R滿足

ψ([x,y,z])=[ψ(x),ψ(y),ψ(z)]+β(x,y)ψ(z)+β(y,z)ψ(x)+β(z,x)ψ(y),?x,y,z∈L,

(8)

則稱ψ是從(L,A,ρ)到(R,A)的3-李-Rinehart代數(shù)導(dǎo)子. 記Derβ(L,R)為從(L,A,ρ)到(R,A)的3-李-Rinehart 代數(shù)導(dǎo)子的全體.

(9)

(10)

ψ(x,r)∶L+βR→R,ψ(x,r)(z+r′)=β(z,x)r?z∈L,r∈R.

(11)

定理3設(shè)(L,A,ρ)和(L′,A,ρ′)是3-李-Rinehart代數(shù),(R,β)是(L,A,ρ)-模. 如果f∶L′→L是3-李-Rinehart代數(shù)同態(tài),則對(duì)?ψ∈Derβ(L,R),有ψ′=ψf∈Derβ′(L′,R)成立(簡(jiǎn)稱ψ為f-A-導(dǎo)子),并且(R,β′)是由f誘導(dǎo)的(L′,A,ρ′)-模,其中

β′∶L′∧L′→gl(R),β(x′,y′)=β(f(x′),f(y′)),?x′,y′∈L′.

(12)

證明：由式(8), 對(duì)?x′,y′,z′∈L′,得到

ψ′([x′,y′,z′])=[ψf(x′),ψf(y′),ψf(z′)]+β(f(x′),f(y′))ψ(f(z′))+
β(f(y′),f(z′))ψ(f(x′))+β(f(z′),f(x′))ψ(f(y′))=
[ψ′(x′),ψ′(y′),ψ′(z′)]+β′(x′,y′)ψ′(z′)+β′(y′,z′)ψ′(x′)+β′(z′,x′)ψ′(y′).

因此,ψ′∈Derβ′(L′,R).由定理2, 易知(R,β′)是(L′,A,ρ′)-模. 證畢.

定理4設(shè)(L,A,ρ)和(L′,A,ρ′)是3-李-Rinehart代數(shù),(R,β)是(L,A,ρ)-模,則對(duì)任意3-李-Rinehart 代數(shù)同態(tài)f∶L′→L和任意f-A-導(dǎo)子ψ′∈Derβ′(L′,R),存在唯一3-李-Rinehart代數(shù)同態(tài)h∶L′→L+R滿足

π·h=f,q·h=ψ′,

(13)

其中,π∶L+βR→L,π(x+r)=x;q∶L+R→R,q(x+r)=r,?x∈R.

反之, 對(duì)任意3-李-Rinehart代數(shù)同態(tài)h∶L′→L+R,則存在唯一3-李-Rinehart代數(shù)同態(tài)f∶L′→L和唯一f-A-導(dǎo)子,滿足式(13), 其中β′由式(12)定義.

證明：設(shè)f∶L′→L是3-李-Rinehart 代數(shù)同態(tài),則由定理3 可知,(R,β′)是由f誘導(dǎo)的3-李-Rinehart 代數(shù)(L′,A,ρ′)-模. 對(duì)?ψ′∈Derβ′(L′,R), 定義F-線性映射

h′∶L′→L+R,h(x′)=f(x′)+ψ′(x′),?x′∈L′,

(14)

則π·h(x′)=f(x′), 且q·h(x′)=ψ′(x′). 因此,h滿足式(13).

再由定義3，引理2，式(8)和式(14), 對(duì)?a∈A,x′,y′,z′∈L′有

h(ax′)=f(ax′)+ψ(ax′)=a(f(x′)+ψ′(x′))=ah(x′),
h([x′,y′,z′])=[f(x′)+ψ′(x′),f(y′)+ψ′(y′),f(z′)+ψ′(z′)]=[h(x′),h(y′),h(z′)].

所以h是3-李代數(shù)同態(tài),且ρ4(h(x′),h(y′))=ρ4(f(x′)+ψ′(x′),f(y′)+ψ(y′))=ρ′(x′,y′).因此,h是3-李-Rinehart代數(shù)同態(tài).

反之,設(shè)h′∶L′→L+R是3-李-Rinehart代數(shù)同態(tài). 定義f∶L′→L和ψ′∶L′→R為

f(x′)=π(h(x′)),ψ′(x′)=q(h(x′)),?x′∈L′.

因此,對(duì)?x′∈L′,有f=π·x,ψ′=q·h所以式(13)成立.

根據(jù)引理2, 對(duì)?x′,y′z′∈L′,a∈A有ρ4(h(x′),h(y′))=ρ′(x′,y′)=ρ(f(x′),f(y′)),f(ax′)=af(x′),ψ′(ax′)=aψ′(x′),其中ρ4由式(7)定義, 并且h([x′,y′,z′])=[h(x′),h(y′),h(z′)]=f([x′,y′,z′])+ψ′([x′,y′,z′]).所以f([x′,y′,z′])=[f(x′),f(y′),f(z′)],ψ′([x′,y′,z′])=[ψ′(x′),ψ′(y′),ψ′(z′)]+β′(x′,y′)ψ′(z′)+β′(y′,z′)ψ′(x′)+β′(z′,x′)ψ′(y′).因此,f∶L′→L是3-李-Rinehart代數(shù)同態(tài),并且ψ′∈Derβ′(L′,R).證畢.

3 3-李-Rinehart代數(shù)的交叉模

定義6設(shè)(L,A,ρ)是3-李-Rinehart代數(shù),(R,A)是3-李A(yù)-代數(shù),β∶L∧L→Der(R)是3-李-Rinehart代數(shù)(L,A,ρ)在(R,A)上的作用,如果3-李代數(shù)同態(tài)?∶R→L滿足

1)?(β(x,y)r)=[x,y,?r],?r∈R,x,y∈L；

2)β(?r1,?r2)r=[r1,r2,r],?r1,r2,r∈R；

3)β(x,?r1)r2=-β(x,?r2)r1,?r1,r2∈R；

4)?(ar)=a?(r),?a∈A,r∈R；

5)ρ(?(r1),?(r2))(a)=0,?a∈A,r1,r2,r∈R.

則稱(R,A,β,?)為3-李-Rinehart 代數(shù)(L,A,ρ)的交叉模.

定理5設(shè)(L,A,ρ)和(L′,A,ρ′)是3-李-Rinehart代數(shù),f∶L′→L是3-李-Rinehart代數(shù)同態(tài),?∶Ker(f)→L是包含映射,即對(duì)?u∈Ker(f),有?(u)=u.則(Ker(f),A,ad,?)是3-李-Rinehart 代數(shù)(L,A,ρ)的交叉模.

證明：由定義4可知,ad∶L∧L→Der(Ker(f))是(L,A,ρ)在(Ker(f),A)上的作用.對(duì)?x,y∈L,u1,u2∈Ker(f)和a∈A, 有

?(adx,yu)=adx,yu=[x,y,u],?(au)=au=a?(u),ad?u1,?u2u=[u1,u2,u],
adx,?u1u2=[x,?u1,u2]=-adx,?u2u1,ρ(?(u1),?(u2))(a)=ρ′(f(u1),f(u2))a=0,

所以,(Ker(f),A,ad,?)滿足定義6. 證畢.

例1由定義6和定理5可知,對(duì)3-李-Rinehart代數(shù)(L,A,ρ),若N是(L,A,ρ)的真理想,則(N,a,ad,i)是3-李-Rinehart代數(shù)(L,A,ρ)的交叉模,其中i∶N→L,i(x)=x,?x∈N.若(R,β)是(L,A,ρ)-模, 則(R,A,β,0)是(L,A,ρ)的交叉模.

定理6設(shè)(L,A,ρ)是3-李-Rinehart代數(shù),(R,A)是3-李A(yù)-代數(shù),?∶R→L是3-李-Rinehart的中心滿態(tài),則(R,A,β,?)是(L,A,ρ)的交叉模,其中β∶L∧L→gl(R),

β(x,y)r=[r1,r2,r],且?(r1)=x,?(r2)=y,?x,y∈L,r1,r2,r∈R.

(15)

證明：因?yàn)?∶R→L是3-李-Rinehart代數(shù)的中心滿態(tài),由定義3可知,?是3李-Rinehart代數(shù)同態(tài),并且滿足Ker(?)?Z(R)和?(R)=L.因此,β由式(15)定義有意義,且?a∈A,r,r1,r2∈R,有?(ar)=a?(r)和ρ(?(r1),?(r1))(a)=0.由式(1)和(15),對(duì)?x,y∈L,ri∈R,1≤i≤5,存在r1,r2∈R,使得?(r1)=x,?(r2)=y,并且

β(x,y)[r3,r4,r5]=[r1,r2,[r3,r4,r5]]=[β(x,y)r3,r4,r5]+[r3,β(x,y)r4,r5]+[r3,r4,β(x,y)r5],
β(x,?r3)?r4=[r1,r3,r4]=-[r1,r4,r3]=-β(x,?r4)?r3,
β(?r1,?r2)r=β(x,y)r=[r1,r2,r],?(β(x,y)r)=?[r1,r2,r]=[?r1,?r2,?r]=[x,y,?r].

因此,(R,A,β,?)滿足定義6.證畢.

定理7設(shè)(L,A,ρ)是3-李-Rinehart代數(shù),(R,A)是3-李A(yù)-代數(shù),(R,A,β,?)是(L,A,ρ)的交叉模,則下面結(jié)論成立.

1)(Im(?),A,ρ|Im(?)∧Im(?))是(L,A,ρ)的次理想;

2)(Coker(?),A是3-李A(yù)-代數(shù), 其中ρ0(Coker(?),Coker(?))=0;

3)(Ker(?),A)是(R,A)的Abel理想;

4)(L,A,ρ)在(R,A)上的作用β誘導(dǎo)了(Im(?),A,ρ|Im(?)∧Im(?))在(Ker(?),A)上的作用β|Im(?)∧Im(?).

證明：由定義 6可知,Im(?)是L的子代數(shù),并且對(duì)?r∈R,x,y∈L和a∈A,有a?(r)=?(ar)∈Im(?),[x,y,?r]=?(β(x,y)r)∈Im(?).因此,(Im(?),A,ρ|Im(?)∧Im(?))是(L,A,ρ)的次理想,則結(jié)論1)得證. 結(jié)論2)可由結(jié)論1)直接推得.

因?yàn)?∶R→L是3-李代數(shù)同態(tài), 所以Ker(?)是3-李代數(shù)R的理想.對(duì)?r∈R,r1，r2,r′∈Ker(?),a∈A,有?(ar′)=a?(r′)=0,[r1,r2,r]=β(?(r1),?(r2))r=0.因此,Ker(?)是A-模, 并且[Ker(?),Ker(?),R]=0, 則結(jié)論3)得證. 結(jié)論4)根據(jù)定義6和結(jié)論1)可直接推得. 證畢.

設(shè)(L,A,ρ)是3-李-Rinehart代數(shù),R=L∧L(向量空間)是李A(yù)-代數(shù), 且(L,A,ρ)滿足

ρ(x,y)bz=0,?x,y,z∈L,b∈A.

(16)

記

(17)

(18)

(19)

并且Ad(x∧y)∈Der(R),Ad(x∧y)(x′∧y′)=[x∧y,x′∧y′],?x′∧y′∈R.進(jìn)一步,Ker(?)是李代數(shù)L∧L的中心,Ker(?)是A-模.