殷法泉

【摘 要】學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)一直是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，原因之一就是很多的幾何知識(shí)點(diǎn)都成為“靜點(diǎn)”，缺乏“動(dòng)態(tài)挖掘”，從而“點(diǎn)—線—面—體”沒(méi)有實(shí)現(xiàn)真正的聯(lián)動(dòng)。本文以“三角形的復(fù)習(xí)”為例，立足于學(xué)生“動(dòng)態(tài)想象”能力的培養(yǎng)。通過(guò)“寫—畫—算”三個(gè)維度的創(chuàng)新，從“點(diǎn)”的角度，在動(dòng)態(tài)視覺(jué)上另謀思“路”，從而連“點(diǎn)”結(jié)“網(wǎng)”構(gòu)“體”，給學(xué)生架構(gòu)一個(gè)序列的、完整的“幾何框架”，為學(xué)生空間觀念的豐盈提供保障。

【關(guān)鍵詞】“點(diǎn)” 動(dòng)態(tài)想象 空間觀念

《三角形的認(rèn)識(shí)》是人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，六年級(jí)學(xué)生對(duì)三角形的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)已了然于胸。但我們發(fā)現(xiàn)，這些知識(shí)點(diǎn)在學(xué)生的記憶里都是獨(dú)立存在的，學(xué)生并沒(méi)有將知識(shí)點(diǎn)有效地串聯(lián)起來(lái)。有的雖有涉及它們間的聯(lián)系，但只是點(diǎn)到為止，更沒(méi)有延伸、融合。課堂教學(xué)現(xiàn)狀告訴我們，很多的幾何知識(shí)點(diǎn)“安靜地躺在那里”，缺乏“動(dòng)態(tài)挖掘”，“點(diǎn)—線—面—體”未有真正的聯(lián)動(dòng)，我們的空間知識(shí)教學(xué)效果收效甚微。因此，真正培養(yǎng)學(xué)生空間觀念需要我們拓寬思維，另辟蹊徑，讓靜態(tài)的幾何點(diǎn)“動(dòng)起來(lái)”，讓學(xué)生的空間觀念豐盈起來(lái)。本文以“三角形的復(fù)習(xí)”為例，在幾何知識(shí)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)想象上另謀“思路”，通過(guò)“寫、畫、算”三個(gè)維度的拓新，從“點(diǎn)”的角度，從動(dòng)態(tài)的、綜合的視角進(jìn)一步豐富與充實(shí)學(xué)生對(duì)各類三角形特征的理解與掌握，打通三角形之間的關(guān)系，形成新思維、新方法，努力提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力。

一、動(dòng)態(tài)想象，以“點(diǎn)”帶“面”，寫出“真相”

學(xué)生從接觸數(shù)學(xué)的那刻起就好像被數(shù)學(xué)這門學(xué)科套了個(gè)“圈子”——數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只要會(huì)用演算解決問(wèn)題就成功了。然而，教學(xué)中我們時(shí)常會(huì)發(fā)現(xiàn)一種奇怪的現(xiàn)象：很多學(xué)生紙筆練習(xí)沒(méi)問(wèn)題，但如果需要用語(yǔ)言將自己的想法清楚地表述出來(lái)時(shí)就噤口不言了。學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高不能僅僅局限于學(xué)生會(huì)解題，也要注重學(xué)生表達(dá)自己數(shù)學(xué)觀點(diǎn)能力的提高?！皥D形與幾何”這種空間領(lǐng)域的學(xué)習(xí)本身就抽象，“空洞”的講解很難讓每一個(gè)學(xué)生理解。此時(shí)，就需要我們把靜態(tài)的幾何知識(shí)點(diǎn)借助圖示動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn)出來(lái)，更要讓學(xué)生學(xué)會(huì)正確地“全盤托出”。

如在“三角形的復(fù)習(xí)”中，我們可以通過(guò)下題引入：

下面方格圖中有兩點(diǎn)A、B（如圖1），現(xiàn)需找一個(gè)點(diǎn)C，使它和另外兩點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)三角形。那么點(diǎn)C需滿足什么條件就一定能和A、B構(gòu)成三角形？（ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?）

給出兩點(diǎn)，通過(guò)第三點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化，讓學(xué)生進(jìn)一步感知三角形，體驗(yàn)圖形之間的變換，讓獨(dú)立的知識(shí)點(diǎn)連成片、結(jié)成網(wǎng)，從而突破傳統(tǒng)“線段”的角度，進(jìn)而從“點(diǎn)”的角度加深學(xué)生對(duì)三角形三邊關(guān)系“兩邊之和大于第三邊”的理解。學(xué)生可以找到無(wú)數(shù)個(gè)變化著、運(yùn)動(dòng)著的點(diǎn)C（包括方格線上的和方格內(nèi)的，而方格內(nèi)的點(diǎn)往往是學(xué)生忽視的點(diǎn)）和A、B兩點(diǎn)構(gòu)成三角形，這無(wú)數(shù)個(gè)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)面，以“點(diǎn)”帶“面”。我們不需要學(xué)生找出每一個(gè)這些具體的點(diǎn)，我們需要的是學(xué)生經(jīng)歷這種“由點(diǎn)及面”的全方位的思維碰撞。通過(guò)這些具體點(diǎn)C的動(dòng)態(tài)變化，讓學(xué)生從點(diǎn)的動(dòng)態(tài)變化中感悟三角形成立時(shí)“點(diǎn)對(duì)邊”的影響，重在讓學(xué)生提煉出并會(huì)用語(yǔ)言有條理地表述出點(diǎn)C位置滿足的充分不必要條件（只要A、B、C不在同一條直線上）。我們結(jié)合圖可以顯而易見(jiàn)地發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)C與A、B在同一條直線上時(shí)三點(diǎn)是不能構(gòu)成三角形的，此時(shí)三點(diǎn)連一線，更好地闡釋了為什么“兩邊之和等于第三邊時(shí)不能構(gòu)成三角形”的原因。

二、動(dòng)態(tài)想象，“點(diǎn)”出內(nèi)通，畫出“乾坤”

從“點(diǎn)”的角度“籠統(tǒng)”地鞏固了構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系后，我們需要從“按角分”和“按邊分”兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)從“點(diǎn)”的角度對(duì)已構(gòu)成的三角形類別有更好的說(shuō)明，進(jìn)一步通過(guò)動(dòng)態(tài)展示確定每類三角形點(diǎn)C的位置。我們可以進(jìn)行如下設(shè)計(jì)：

點(diǎn)C和A、B可以構(gòu)成各種三角形：

①若要構(gòu)成直角三角形，那么點(diǎn)C的位置可以在哪里？請(qǐng)你在圖2中畫出;

②若要構(gòu)成銳角三角形，那么點(diǎn)C的位置可以在哪里？請(qǐng)你在圖2中畫出;

③若要構(gòu)成鈍角三角形，那么點(diǎn)C的位置可以在哪里？請(qǐng)你在圖2中畫出;

④若要構(gòu)成等腰三角形，那么點(diǎn)C的位置可以在哪里？請(qǐng)你在圖2中畫出;

⑤若要構(gòu)成等邊三角形，那么點(diǎn)C的位置可以在哪里？請(qǐng)你在圖2中畫出。

本題讓學(xué)生初步感受 “點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡與圖形的關(guān)系”，由點(diǎn)及線、由線到面，把一個(gè)個(gè)獨(dú)立的、靜態(tài)的點(diǎn)動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，點(diǎn)、線、面互通，也進(jìn)一步溝通了三角形與其他平面圖形的另一層關(guān)系，如圖3中點(diǎn)C要和A、B兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡除了左右兩條線（除去A、B兩點(diǎn)）外，以AB為直徑的圓（除去A、B兩點(diǎn)）更好地闡釋了三角形與圓的關(guān)系，也為后續(xù)學(xué)習(xí)“在圓中，直徑所對(duì)的圓周角是直角”做好鋪墊。

再則，通過(guò)動(dòng)態(tài)演示、畫一畫，讓學(xué)生深刻體驗(yàn)各類三角形的關(guān)系。如問(wèn)題①、②、③的畫圖結(jié)果就是要讓學(xué)生從另一個(gè)視角（脫離常用的集合圖）認(rèn)識(shí)直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的并列關(guān)系，一個(gè)平面分成三塊區(qū)域，形象、直觀地闡釋了它們的并列關(guān)系;問(wèn)題④中點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡一部分是以A或B為圓心、AB為半徑的左右兩個(gè)圓（除去A、B、M、N四點(diǎn)），將圓半徑知識(shí)綜合運(yùn)用到解決三角形的問(wèn)題中來(lái)，體現(xiàn)知識(shí)的融合。問(wèn)題④、⑤的答案很清楚地展示了等腰三角形與等邊三角形的包含關(guān)系，向?qū)W生動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)“等邊三角形為什么是特殊的等腰三角形”的原因——只有點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到X、Y兩個(gè)特殊位置時(shí)等腰三角形才成了等邊三角形。

“圖形與幾何”領(lǐng)域本身要求教學(xué)中要將幾何的幾個(gè)基本要素“點(diǎn)—線—面—體”循序漸進(jìn)，有機(jī)整合，賦予學(xué)生完整的“幾何概念體”。我們很好地利用“點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)—線的勾勒—面的描述”這一規(guī)律，根據(jù)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)變化，利用舊知對(duì)“后知”進(jìn)行預(yù)測(cè)、判斷，讓學(xué)生提前“后知后覺(jué)”，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的奧秘，體驗(yàn)探索、推理、分析的成功。

三、動(dòng)態(tài)想象，由“內(nèi)”及“外”，算出“玄機(jī)”

“點(diǎn)”，作為三角形的基本要素之一，它的運(yùn)動(dòng)可以改變?nèi)切蔚男螤?。而有時(shí)另一種“點(diǎn)”，繞著三角形邊運(yùn)動(dòng)的“點(diǎn)”，可以打開對(duì)三角形的另一基本要素“角”探索的新范疇。學(xué)生已經(jīng)熟知包括三角形在內(nèi)的各種多邊形的內(nèi)角和，在此基礎(chǔ)上我們需要給予學(xué)生充分的探索空間，讓學(xué)生經(jīng)歷“猜想—推理—驗(yàn)證”的全過(guò)程，探索多邊形的外角和。因此，我們可以這樣設(shè)計(jì)：

一只小瓢蟲沿著下面這個(gè)三角形ABC（圖5）的各邊沿爬行一周，身體一共旋轉(zhuǎn)了（ ? ? ）度。

對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，“三角形的外角”是一個(gè)新概念，所以先讓學(xué)生根據(jù)圖5猜想、描繪三角形的外角在哪里、三角形的外角應(yīng)該是怎樣的，進(jìn)而去研究三角形的外角和是多少度、如何推算等。在此，我們借助小瓢蟲的運(yùn)動(dòng)軌跡，把小瓢蟲看作一個(gè)“運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)”，動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生找出外角。如圖6中，小瓢蟲沿三角形ABC的三條邊爬行一周所轉(zhuǎn)過(guò)的角是∠1、∠2、∠3，就是三角形ABC的三個(gè)外角，運(yùn)用三角形的內(nèi)角和知識(shí)，推算三角形外角和的度數(shù)，讓學(xué)生充分享受外角和推算的過(guò)程，并以此為“原點(diǎn)”，給學(xué)生一個(gè)更廣闊的想象空間：任意一個(gè)多邊形（包括四邊形、五邊形、六邊形……）外角和都是這個(gè)度數(shù)嗎？讓學(xué)生充分猜想、驗(yàn)證這些多邊形外角和的計(jì)算規(guī)律，最終得出規(guī)律：多邊形的外角和總是360°。

“三角形的復(fù)習(xí)”作為平面圖形綜合復(fù)習(xí)中的重要一環(huán)，我們必須立足于學(xué)生“動(dòng)態(tài)想象”能力的培養(yǎng)，真正激活“圖形與幾何”領(lǐng)域每一個(gè)靜態(tài)的點(diǎn)，讓每一個(gè)“靜點(diǎn)”動(dòng)起來(lái)、變起來(lái)，將各個(gè)幾何知識(shí)點(diǎn)在橫向的廣度和縱向的深度上都得到延伸、拓展，厘清各個(gè)幾何知識(shí)點(diǎn)在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段的來(lái)龍去脈，從而連“點(diǎn)”結(jié)“網(wǎng)”，給學(xué)生架構(gòu)一個(gè)序列的、完整的“幾何框架”，為學(xué)生空間觀念的豐盈提供保障，也為我們整個(gè)“圖形與幾何”領(lǐng)域的“動(dòng)態(tài)教學(xué)”提供借鑒。