基于數(shù)學(xué)抽象談初中數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)

【摘 要】與小學(xué)數(shù)學(xué)相比，初中數(shù)學(xué)的抽象化、符號(hào)化特點(diǎn)更加明顯。學(xué)生在接觸新的數(shù)學(xué)符號(hào)時(shí)，不易理解其內(nèi)涵，容易混淆概念。造成這一現(xiàn)象的主要原因是學(xué)生僅是被動(dòng)地接受教師的教學(xué)，缺乏主動(dòng)探究的精神，不理解符號(hào)的來源。教師在教學(xué)過程中可以多途徑、多角度地解讀數(shù)學(xué)符號(hào)，引導(dǎo)學(xué)生理解其合理性，從而培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)抽象;符號(hào)意識(shí);教學(xué)設(shè)計(jì)

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2021）34-0046-02

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本思想，是形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇运季S不可或缺的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)抽象反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性，且能夠運(yùn)用于其他學(xué)科，可以解決很多問題。數(shù)學(xué)抽象主要指從數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)術(shù)語予以表現(xiàn)。而在義務(wù)教育階段，符號(hào)意識(shí)則是數(shù)學(xué)抽象的最直接體現(xiàn)。符號(hào)意識(shí)主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律;知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性[1]。因此，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，應(yīng)當(dāng)重視義務(wù)教育階段對(duì)學(xué)生符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)。

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)培養(yǎng)的主要途徑，教師的教學(xué)設(shè)計(jì)要依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求[2]。在此背景下，本文主要以人教版七年級(jí)下冊(cè)“實(shí)數(shù)”章節(jié)中的“平方根”為例，探討在數(shù)學(xué)課堂上培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意識(shí)的教學(xué)策略。

1? ?教學(xué)分析

1.1? 教材分析

“實(shí)數(shù)”是人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)的第六章。實(shí)數(shù)是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)四大模塊中“數(shù)與代數(shù)”的重要內(nèi)容。本章的主要內(nèi)容有開方運(yùn)算、平方根、立方根、無理數(shù)和實(shí)數(shù)等概念及其相關(guān)基本運(yùn)算[3]。經(jīng)過本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)將從有理數(shù)的范圍擴(kuò)大到實(shí)數(shù)的范圍，是數(shù)的第二次擴(kuò)充，且完成了義務(wù)教育階段數(shù)的擴(kuò)展。義務(wù)教育階段課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于實(shí)數(shù)章節(jié)的要求如下：通過教學(xué)讓學(xué)生了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根、算術(shù)平方根、立方根;體驗(yàn)從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)符號(hào)的過程，理解實(shí)數(shù);掌握必要的運(yùn)算（包括估算）技能。實(shí)數(shù)章節(jié)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)二次根式、一元二次方程以及函數(shù)等知識(shí)的基礎(chǔ)，因此，讓學(xué)生正確而深刻地理解實(shí)數(shù)的概念是非常重要的。無理數(shù)的引入和數(shù)系的擴(kuò)展體現(xiàn)了對(duì)立和統(tǒng)一的辯證關(guān)系及分類思想。本章不僅能完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，而且還是培養(yǎng)學(xué)生想象能力、滲透數(shù)學(xué)抽象、使學(xué)生感受數(shù)學(xué)符號(hào)的有效載體，也是發(fā)展學(xué)生邏輯思維能力的重要內(nèi)容。

1.2? 學(xué)情分析

本章節(jié)即將學(xué)習(xí)一種新的運(yùn)算——開方運(yùn)算，由于開方與乘方是互逆運(yùn)算，部分學(xué)生對(duì)于這部分的知識(shí)理解會(huì)存在一定難度。教學(xué)中可以通過圖形展示互為逆運(yùn)算，突出互逆過程，揭示開方運(yùn)算的本質(zhì)，讓學(xué)生直觀感受根號(hào)的意義。在理解平方根的意義和表示之后，學(xué)生能夠類比學(xué)習(xí)，自主推導(dǎo)出立方根的定義及表示方法。對(duì)于實(shí)數(shù)的運(yùn)算，基于有理數(shù)的運(yùn)算順序與法則，學(xué)生可以在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新知識(shí)，使學(xué)習(xí)形成正遷移，易于掌握相關(guān)運(yùn)算。且本章不涉及二次根式的內(nèi)容，雖然數(shù)系有一定的擴(kuò)充，但數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律都沒有發(fā)生變化，所以學(xué)生在運(yùn)算方面不會(huì)有太大的困難。

2? ?教學(xué)策略

2.1? 課堂引入——感受數(shù)學(xué)符號(hào)的簡潔性

每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)的出現(xiàn)，都為數(shù)學(xué)學(xué)科注入了新的活力，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展。因此，數(shù)學(xué)的符號(hào)化是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在動(dòng)力。世界上現(xiàn)有的數(shù)學(xué)符號(hào)有200多個(gè)，義務(wù)教育階段就有20多個(gè)。數(shù)學(xué)符號(hào)具有簡潔性、抽象性、科學(xué)性等特點(diǎn)。如乘號(hào)與乘方均可明確地表示代數(shù)運(yùn)算：3×2=2+2+2=3+3，25=2×2×2×2×2;等幾何圖形的符號(hào)則抽象出相應(yīng)圖形基本特征以及幾何圖形之間的關(guān)系，表達(dá)形象;類似于乘法分配律a（b+c）=ac+bc的符號(hào)避免了冗長的語言敘述，也避免文字理解可能產(chǎn)生的歧義，以最簡單的方式體現(xiàn)了運(yùn)算的規(guī)律。而本章學(xué)習(xí)的（a≥0）表示實(shí)數(shù)a的算術(shù)平方根，比自然語言表達(dá)更簡潔，便于揭示開方運(yùn)算的本質(zhì)，便于進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算，利于表述、分析和解決問題。

2.2? 問題探究——體會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)的合理性

數(shù)學(xué)中數(shù)系的不斷擴(kuò)充是為了解決生活實(shí)際的新問題。為了解決一類問題——已知正方形面積或體積，求其邊長或棱長，根號(hào)應(yīng)運(yùn)而生。教學(xué)過程中，教師以不同面積為例，讓學(xué)生求其邊長，并引導(dǎo)學(xué)生感受乘方與開方是互逆運(yùn)算，而后通過圖片（如圖1）直觀地感受互逆運(yùn)算，有利于學(xué)生對(duì)概念的理解以及后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

學(xué)生每學(xué)習(xí)一種新的運(yùn)算，就會(huì)認(rèn)識(shí)一個(gè)新的數(shù)學(xué)符號(hào)。而每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)的產(chǎn)生都是經(jīng)過長時(shí)間的發(fā)展，才逐漸演變成今日大家所熟悉的符號(hào)。如小數(shù)點(diǎn)，最開始人們將小數(shù)部分降一格寫，但這與整數(shù)部分的差別并不明顯。而后改成用豎線隔開，但豎線與數(shù)字1又容易混淆。接著改成用逗號(hào)隔開，但也容易與自然語言中的逗號(hào)產(chǎn)生誤解。因此，最后演變成一個(gè)小圓點(diǎn)，避免了以上的困境。而根號(hào)的書寫方式也是經(jīng)過數(shù)百年的不斷改進(jìn)，逐漸完善的。

最開始，數(shù)學(xué)家用根的首字母，或大寫或小寫來表示如今的根號(hào)，但并未完全統(tǒng)一。之后德國人便開始用一個(gè)點(diǎn)來表示方根，如·3表示3的平方根，··3表示3的4次方根，這種表示方式較為繁瑣且容易產(chǎn)生歧義。16世紀(jì)初，人們用小點(diǎn)帶上一條小尾巴來表示根號(hào)，就像一個(gè)小蝌蚪，書寫較為困難。1525年，德國數(shù)學(xué)家魯?shù)婪蚴状斡谩?表示8的平方根，雖然這是目前最簡潔的表示方式，但隨之而來的新問題差點(diǎn)釀成大禍，原因是“√”的開方對(duì)象并不明確，無法確定它能對(duì)后面幾個(gè)數(shù)字或幾個(gè)項(xiàng)進(jìn)行開方運(yùn)算。最終，笛卡爾對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，解決了此問題。他在小鉤子上方用直線把開方的對(duì)象畫在線內(nèi)，上方直線起到了括號(hào)的作用，就變成了現(xiàn)在國際上廣泛使用的根號(hào)了。之后，n次方根符號(hào)在根號(hào)的基礎(chǔ)上也出現(xiàn)了。此部分可由教師為學(xué)生提供微課學(xué)習(xí)資源，供學(xué)生深入了解。

2.3? 練習(xí)鞏固——強(qiáng)化語言互譯能力

符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)離不開符號(hào)語言、圖形語言、自然語言的互譯。因此，在新知講解之后，教師需要通過練習(xí)多方位檢測學(xué)生的學(xué)習(xí)成果。

練習(xí)1：下列語句寫成數(shù)學(xué)式子正確的是（? ）

3? ?回顧反思

學(xué)生的符號(hào)意識(shí)培養(yǎng)不在一朝一夕，教師應(yīng)當(dāng)把握每一節(jié)數(shù)學(xué)課堂，精心設(shè)計(jì)，循序漸進(jìn)，螺旋上升。對(duì)于實(shí)數(shù)章節(jié)，教師可通過多種方式鞏固學(xué)生對(duì)于根號(hào)的理解。在今后的學(xué)習(xí)中，學(xué)生還將接觸二次根式，用根號(hào)來表示更為一般化的二次根式的運(yùn)算規(guī)律等。在平時(shí)的課堂教學(xué)中，教師要對(duì)新學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行挖掘和深究，通過多角度、多方位地設(shè)計(jì)課堂環(huán)節(jié)，讓更多的學(xué)生知其所以然，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)符號(hào)的來龍去脈，掌握其本質(zhì)規(guī)律以及應(yīng)用方法，從而體驗(yàn)數(shù)學(xué)符號(hào)的優(yōu)越性與抽象性，促進(jìn)學(xué)生符號(hào)意識(shí)的發(fā)展、抽象思維的形成。

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2]劉鑫.數(shù)學(xué)教學(xué)，要為新知引入找理由——以“平方根”（第1課時(shí)）為例[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2021（6）.

[3]劉超.根號(hào)的歷史及其啟示[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2011（10）.

【作者簡介】

林霄霞（1994～），女，漢族，福建莆田人，本科，二級(jí)教師。研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)。