數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教材的研究分析及教學(xué)啟示

【摘 要】為研究數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系，本文從教材角度出發(fā)，統(tǒng)計對比了人教版、北師大版數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容的分布情況，著眼于學(xué)生的個體認知和實際發(fā)展情況，以期幫助數(shù)學(xué)教師透徹了解教材，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史的德育價值，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史;小學(xué)數(shù)學(xué)教材;課程思政;對比研究

【中圖分類號】G623.5? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）34-0248-04

數(shù)學(xué)史既屬于史學(xué)領(lǐng)域，又屬于數(shù)學(xué)科學(xué)領(lǐng)域，因此數(shù)學(xué)史研究既要遵循史學(xué)規(guī)律，又要遵循數(shù)學(xué)的規(guī)律。根據(jù)這一特點，可以將數(shù)理分析作為數(shù)學(xué)史研究的特殊的輔助手段，站在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的高度對古代數(shù)學(xué)內(nèi)容與方法進行分析。HPM（即數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育）研究者認為，數(shù)學(xué)教育取向的數(shù)學(xué)史研究目的之一是為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供材料，另一目的是獲取相關(guān)知識點（概念、公式、定理等）的教學(xué)啟示。將數(shù)學(xué)史知識與數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)合，一直是HPM學(xué)者的研究目標之一，而教材又是教學(xué)的藍本，因此對數(shù)學(xué)史融入教材的研究分析實際上是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的一座橋梁[1]。

本文通過對小學(xué)數(shù)學(xué)教材進行整理和比較，分析數(shù)學(xué)史內(nèi)容在小學(xué)教材中的分布特點，一方面能夠為數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育的研究提供思路，另一方面可以提高小學(xué)數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)史的重視程度并為其數(shù)學(xué)教學(xué)工作提供參考。

1? ?研究設(shè)計

1.1? 研究問題

基于數(shù)學(xué)史的價值與教育現(xiàn)狀的分析，此項研究主要聚焦于以下兩個問題：

（1）中國小學(xué)數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容的分布有什么特點？

（2）對教師運用教材、進行教學(xué)設(shè)計、開展課程思政有什么啟示？

1.2? 研究對象與方法

本研究選取影響力較廣的人民教育出版社發(fā)行的《義務(wù)教育教科書 數(shù)學(xué)》（以下簡稱“人教版”）小學(xué)教科書共12冊以及北京師范大學(xué)出版社發(fā)行的《義務(wù)教育教科書 數(shù)學(xué)》（以下簡稱“北師大版”）小學(xué)教科書共12冊作為研究對象。研究上述教科書中數(shù)學(xué)史內(nèi)容的分布特點和數(shù)量，基于兩條標準進行選擇，一是能追溯數(shù)學(xué)內(nèi)容、思想和方法的演變、發(fā)展過程，二是與數(shù)學(xué)史上公認的經(jīng)典問題、重要事件有關(guān)。

該研究采用內(nèi)容分析法，統(tǒng)計分析教科書中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容，參考已有研究，分析各數(shù)據(jù)的特點，以數(shù)據(jù)來描述對象所含數(shù)學(xué)文化的特征，獲得規(guī)律與啟示[2]。

1.3? 教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容的分析及對比

1.3.1? 總體特征及年級占比

統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，人教版12冊教材共出現(xiàn)數(shù)學(xué)史內(nèi)容54次，平均每本教材出現(xiàn)4.5次;北師大版12冊教材共出現(xiàn)數(shù)學(xué)史內(nèi)容36次，平均每本教材出現(xiàn)3次。其中一、二年級教材中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容較少，人教版教科書一、二年級共出現(xiàn)數(shù)學(xué)史內(nèi)容6次，北師大版教科書一、二年級共出現(xiàn)數(shù)學(xué)史內(nèi)容10次。具體情況如表1所示。

1.3.2? 維度分析

（1）內(nèi)容分類

數(shù)學(xué)史素材豐富多彩，包括數(shù)學(xué)人物、數(shù)學(xué)故事、數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)思想方法等。本文將教材中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容分為：數(shù)學(xué)家及其故事，歷史名題猜想，數(shù)學(xué)的演變、發(fā)展，數(shù)學(xué)的應(yīng)用[3]。其中，涉及兩個及兩個以上方面的，則取決于其主要內(nèi)容及篇幅。

如人教版教材四年級下冊劉徽關(guān)于小數(shù)的萌芽，朱世杰“小數(shù)”概念的提出，同時涉及數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)的演變發(fā)展兩個方面，但整段文字的介紹強調(diào)的是小數(shù)的萌芽產(chǎn)生與確定，所以將其歸類為數(shù)學(xué)的演變、發(fā)展。數(shù)學(xué)史內(nèi)容分類的具體情況如表2所示。

在數(shù)學(xué)的應(yīng)用方面，人教版和北師大版各占31%和22%。數(shù)學(xué)應(yīng)用中蘊含著深厚的數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)應(yīng)用中滲透數(shù)學(xué)史可以幫助學(xué)生在實踐活動中掌握數(shù)學(xué)方法，體驗數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值、文化價值和審美價值，進而使學(xué)生加深對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解。

數(shù)學(xué)的演變發(fā)展方面，人教版占比46%，北師大版占比53%。數(shù)學(xué)家及其故事方面，人教版占比6%，北師大版占比17%。二者都是數(shù)學(xué)的演變發(fā)展相關(guān)內(nèi)容多于數(shù)學(xué)家及其故事相關(guān)內(nèi)容，這意味著兩種教材都更關(guān)注數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展，數(shù)學(xué)家的故事相對淺顯易懂，數(shù)學(xué)的演變發(fā)展更能讓學(xué)生體會知識的產(chǎn)生、發(fā)展的過程，感受數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動力，也能增強學(xué)生對數(shù)學(xué)文化的認同感[4]。

（2）內(nèi)容所屬領(lǐng)域

研究數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教材的情況，不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)史內(nèi)容本身和分類情況，也需要考察其在教材中的所屬領(lǐng)域，以便進一步了解數(shù)學(xué)史的融入情況，為教師合理利用數(shù)學(xué)史開展教學(xué)活動做準備[5]。為方便統(tǒng)計，本文將內(nèi)容所屬領(lǐng)域分為：引入、習(xí)題、拓展延伸三個方面。具體分析如圖1所示。

（3）呈現(xiàn)方式

分析教材中數(shù)學(xué)史的呈現(xiàn)方式，可以幫助教師尋找更為合適的方法帶領(lǐng)學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)魅力。本文依據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的呈現(xiàn)樣式，將數(shù)學(xué)史的呈現(xiàn)大致分為三種：文字、文字為主、圖片為主。具體呈現(xiàn)情況如表3所示。

2? ?結(jié)論思考

對人教版教材和北師大教材的對比研究，可以發(fā)現(xiàn)人教版教材和北師大版教材都注重數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的聯(lián)系，數(shù)學(xué)史內(nèi)容較為豐富多彩，運用數(shù)學(xué)史的方式也各有特色，具體表現(xiàn)如下：

2.1? 內(nèi)容選材

兩個版本的教材都涉及數(shù)學(xué)家及其故事、歷史名題猜想、數(shù)學(xué)的演變發(fā)展和數(shù)學(xué)的應(yīng)用四個類型的數(shù)學(xué)史內(nèi)容。教材從數(shù)學(xué)史出發(fā)，并不局限于介紹數(shù)學(xué)史，給抽象枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)融入一份樂趣，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使學(xué)生主動探究數(shù)學(xué)問題。此外，各個類型的分配占比也比較合理。橫向?qū)Ρ葋砜矗私贪娼滩母⒅貧v史名題猜想、數(shù)學(xué)的演變發(fā)展和數(shù)學(xué)應(yīng)用，北師大版教材更注重數(shù)學(xué)家及其故事、數(shù)學(xué)的演變發(fā)展和數(shù)學(xué)的應(yīng)用。這表明兩個版本教材在選取數(shù)學(xué)史內(nèi)容時都考慮到了自身的整體結(jié)構(gòu)與整體風(fēng)格，而不是一味地追求數(shù)學(xué)史內(nèi)容的數(shù)量。

2.2? 內(nèi)容所屬領(lǐng)域

兩個版本的教材都做到了數(shù)學(xué)史與教材的合理融合，幾乎在每個板塊都能看到數(shù)學(xué)史的影子，但是由于小學(xué)生認知能力的局限，數(shù)學(xué)史在拓展延伸中出現(xiàn)頻率最高。相較而言，人教版教材更注重三個板塊的均衡分布，有15%的數(shù)學(xué)史內(nèi)容出現(xiàn)在習(xí)題中，將歷史名題以符合時代的方式呈現(xiàn)出來。數(shù)學(xué)學(xué)科具有延續(xù)性，如古代文明中形成的十進制、數(shù)字表示方法、四則運算法則等至今仍在使用，但數(shù)學(xué)的發(fā)展進步就是古為今用，推陳出新的過程，因此，從歷史素材中汲取養(yǎng)分是十分必要的。

2.3? 呈現(xiàn)方式

人教版和北師大版教材中均采用多種呈現(xiàn)方式，整體富有趣味性，擺脫了數(shù)學(xué)學(xué)科的枯燥抽象。相較而言，人教版教材多采用圖片為主的方式來呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史內(nèi)容，北師大版則多采用文字。兩個版本在年級分類上都呈現(xiàn)遞增趨勢，年級越高所涉及的數(shù)學(xué)史內(nèi)容也越多，相應(yīng)的，呈現(xiàn)方式也由圖片為主逐步轉(zhuǎn)變?yōu)橐晕淖譃橹骰蛉坑晌淖謹⑹?。兩個版本都注意到了不同年齡段認知水平的差異，著眼于學(xué)生的個體認知特點和未來發(fā)展需求。在數(shù)學(xué)史材料的數(shù)量上，人教版教材要比北師大版教材更為豐富;呈現(xiàn)方式上，人教版要比北師大版更為形象生動;從整體來看，北師大版教材更注重整體的均衡性和呈現(xiàn)的完整性。

3? ?教學(xué)啟示

在一般人看來，數(shù)學(xué)是一門比較枯燥無味的學(xué)科，因而很多人視其為畏途，從某種程度上來說，這是長期以來數(shù)學(xué)教育僵化不變的結(jié)果。如果教師能夠在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史內(nèi)容，讓數(shù)學(xué)變得生動起來，便可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也有助于加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、方法和原理的理解[6]。

數(shù)學(xué)的文化價值與審美價值的不斷提升，使得數(shù)學(xué)課堂教學(xué)越發(fā)關(guān)注數(shù)學(xué)文化的滲透水平與質(zhì)量。本文基于教材特點，著眼于學(xué)生的個體認知和實際發(fā)展，關(guān)于數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教材得到以下啟示。

3.1? 深入挖掘教材：拓展數(shù)學(xué)史的閱讀，加深對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解

小學(xué)階段正值學(xué)生思維的批判性、發(fā)散性、深刻性高速發(fā)展的關(guān)鍵時期，因此在這個階段拓展數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，既能幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)問題解法的多樣性，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題中感受數(shù)學(xué)知識亙古不變的傳承魅力，也能使其學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去評判解法的優(yōu)劣，加深理解，拓展思維。

因此筆者建議小學(xué)數(shù)學(xué)教師深入挖掘教材中已有的數(shù)學(xué)史內(nèi)容，對課本中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)史內(nèi)容進行補充說明，幫助學(xué)生深入認識、理解有關(guān)數(shù)學(xué)概念、方法和原理。

以人教版五年級上冊數(shù)學(xué)教材為例，教材中出現(xiàn)了“數(shù)字黑洞”“方程的發(fā)展”“劉徽出入相補原理”等數(shù)學(xué)史材料。關(guān)于“方程的發(fā)展”，教材表述簡潔，闡述了早在三千六百多年前埃及人使用方程解決實際問題，我國古代兩千年前成書的《九章算術(shù)》記載了方程解決問題的案例，三百多年前笛卡兒第一個提倡用x，y，z等字母表示未知數(shù)。但是讀完之后學(xué)生不免會有一些疑問：埃及人以及古代中國人為什么會用方程解決問題，解決的是什么問題？笛卡兒是誰？為什么要用x，y，z來表示未知數(shù)而不是a，b，c或者其他的字母？其實每一個問題都需要教師提前準備，其背后都是對方程的深入探索。在教學(xué)過程中，教師往往會遇到部分學(xué)生有這樣的觀點：“為什么這道題也要求用方程解決?。糠匠毯秒y啊，還不如不用方程呢?！薄昂衳的等式才叫方程，這個3a+6=9不是方程?！边@其實就是學(xué)生不理解方程的概念，或者是對方程解題方法的認識不到位。深入挖掘方程背后的數(shù)學(xué)史材料，既豐富了數(shù)學(xué)課堂，又能幫助學(xué)生理解有關(guān)概念、方法和思想。

3.2? 課程思政：感受數(shù)學(xué)的傳承魅力，增強民族文化認同感

課程思政是教育回歸育人本質(zhì)的關(guān)鍵途徑，教師肩負傳道授業(yè)解惑的重要使命。中國有著悠久的歷史，14世紀以前一直是世界上數(shù)學(xué)最為發(fā)達的國家，出現(xiàn)過許多杰出數(shù)學(xué)家，取得了很多輝煌成就，在小學(xué)教材中所出現(xiàn)的算盤、算籌計數(shù)、司南、指南針、《九章算術(shù)》、《周髀算經(jīng)》等都是我國璀璨數(shù)學(xué)文化的代表[7]。對數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生了解中國古代數(shù)學(xué)的輝煌成就，能夠增強學(xué)生的文化自信和對數(shù)學(xué)文化的認同感，了解中國近代數(shù)學(xué)落后的原因、中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的現(xiàn)狀以及與發(fā)達國家數(shù)學(xué)的差距，以激發(fā)學(xué)生的愛國熱情，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動力。

結(jié)合HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，本文基于數(shù)學(xué)史的德育價值將小學(xué)數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史的部分思政元素做了總結(jié)，具體如表4所示。

因此，在數(shù)學(xué)課堂中，教師要利用已有的課程資源，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法以及數(shù)學(xué)文化價值，合理地在課堂中發(fā)揮數(shù)學(xué)史的積極作用，為學(xué)生搭建一座橋梁，實現(xiàn)古為今用，推陳出新，激勵學(xué)生不斷探索，促進民族科學(xué)的發(fā)展。

3.3? 教學(xué)設(shè)計：優(yōu)化課堂呈現(xiàn)方式，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)文化價值

隨著HPM研究的深入開展，關(guān)于數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的具體方法的探討也越來越重要。面對同樣的數(shù)學(xué)史材料，不同的教師會有不同的呈現(xiàn)方式，這往往會帶來不一樣的影響。有些教師對數(shù)學(xué)史不夠重視，看到數(shù)學(xué)史有關(guān)的內(nèi)容往往一帶而過甚至視而不見，這對于處在模仿期的學(xué)生的發(fā)展來講是不利的。

有些教師對于歷史名題的處理是值得學(xué)習(xí)的，他們會提前布置預(yù)習(xí)作業(yè)，讓學(xué)生提前閱讀相關(guān)數(shù)學(xué)史內(nèi)容，分組闡述心得，共同探討歷史名題的不同解法，從數(shù)學(xué)角度比較解法的優(yōu)劣。這樣的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，不但豐富了學(xué)生的見識，鍛煉學(xué)生的口頭表達能力，還能幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)問題解法的多樣性，加深對知識的理解。如賁友林老師對于“雞兔同籠”問題的講授。大約1500年前，“雞兔同籠”這一趣味數(shù)學(xué)問題就記載于《孫子算經(jīng)》中，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》中將其作為課程內(nèi)容的一項實例進行分析，賁友林老師執(zhí)教的“雞兔同籠”這一節(jié)課，以中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典傳統(tǒng)文化為載體，由課內(nèi)延伸至課外，從表象看本質(zhì)，既注重弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的特色與創(chuàng)新[8]。

教師應(yīng)深入探索數(shù)學(xué)史背后的價值，積極對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)進行創(chuàng)新，使得整個課堂成為一個師生交流互動的有機整體。中國學(xué)生在某種程度上是優(yōu)秀的“考試者”，而不是“學(xué)習(xí)者”“創(chuàng)新者”。在日常教學(xué)設(shè)計中，教師應(yīng)當充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，依據(jù)數(shù)學(xué)史中實際問題的表面特征，引導(dǎo)學(xué)生的思考從“一”走向“多”，再從“多”走向“一”，深入理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性，并與已有認知形成聯(lián)系，幫助學(xué)生形成自主學(xué)習(xí)的能力。

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【作者簡介】

唐瑜璐（1996～），女，漢族，河南商丘人，喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）專業(yè)2020級在讀碩士研究生。研究方向：學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）。