高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)銜接問(wèn)題的研究
——以導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)為例

（渤海大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，遼寧 錦州 121003）

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)理工類(lèi)與經(jīng)管類(lèi)學(xué)科的專(zhuān)業(yè)必修課之一，在大學(xué)的學(xué)習(xí)中屬于核心科目，旨在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠?jì)算能力。高等數(shù)學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)延續(xù)和提高，但是，中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)注重技巧和結(jié)論，往往忽視了理論本身，而高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)卻要求學(xué)生深刻理解概念、法則，這就使得學(xué)生在學(xué)習(xí)思路上出現(xiàn)轉(zhuǎn)換困難。因此，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)進(jìn)行科學(xué)的銜接顯得尤為重要。本文探討了中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)在導(dǎo)數(shù)概念這節(jié)課教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)以及教學(xué)方法的區(qū)別，并針對(duì)這些差異對(duì)高等數(shù)學(xué)課程中的導(dǎo)數(shù)概念課程進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)。

一、高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)在教學(xué)中的差異

1.中學(xué)數(shù)學(xué)注重應(yīng)試。在教學(xué)過(guò)程中，教學(xué)節(jié)奏比較慢，時(shí)間相對(duì)充裕，這就使得老師有時(shí)間去把知識(shí)點(diǎn)講清、講透，還有很多時(shí)間帶領(lǐng)學(xué)生做大量輔助的練習(xí)題，一題多練、反復(fù)訓(xùn)練可以加深學(xué)生對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的記憶和理解，鞏固某種題型的解題方法。還經(jīng)常組織階段性測(cè)試，以檢測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果、對(duì)知識(shí)的掌握情況，便于老師和學(xué)生找到學(xué)習(xí)中的薄弱之處并加以鞏固。應(yīng)試為目的的教學(xué)方法和手段，對(duì)于快速、高效地提高學(xué)習(xí)成績(jī)無(wú)疑是有效的，但是由于學(xué)習(xí)過(guò)程中的一切步驟都被老師預(yù)先設(shè)定好，學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的能力和探索知識(shí)的求知欲被慢慢減弱，學(xué)習(xí)上極度依賴(lài)?yán)蠋煛?/p>

2.高等數(shù)學(xué)注重能力。到了大學(xué)階段，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，教師的教學(xué)方式不再是細(xì)致入微，老師們?cè)谡n堂上對(duì)知識(shí)做一個(gè)概括性的描述，對(duì)知識(shí)點(diǎn)加以準(zhǔn)確、精煉的介紹，更多的是發(fā)揮教材的作用、凸出學(xué)生自主學(xué)習(xí)的重心。雖然也配以典型的例題輔助，但例題的數(shù)量較少，同類(lèi)型例題出現(xiàn)的頻率不高，注重的是以少而精的例題，全面展示知識(shí)的內(nèi)容及應(yīng)用，使學(xué)生能夠舉一反三，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)習(xí)的綜合能力。

二、高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)在導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)中的差異

無(wú)論是在中學(xué)數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)概念都是非常重要的知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)也是高頻考點(diǎn)。因此，在高等數(shù)學(xué)課程中就要做到了解學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備和能力，在此基礎(chǔ)上做好導(dǎo)數(shù)這節(jié)課的銜接教學(xué)。本文對(duì)比了此課程在中學(xué)和大學(xué)兩個(gè)學(xué)習(xí)階段的差別，見(jiàn)表1。

表1 導(dǎo)數(shù)概念在中學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中的主要差異

三、高等數(shù)學(xué)課程中導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)

1.課程設(shè)計(jì)原則。在高等數(shù)學(xué)課程中，導(dǎo)數(shù)的思想貫穿整個(gè)高等數(shù)學(xué)課程的始終，而導(dǎo)數(shù)概念是這一思想的靈魂，對(duì)整個(gè)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)起到了重要的作用。因此，本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)一是要注意做到將導(dǎo)數(shù)概念的中學(xué)教學(xué)內(nèi)容與高等數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行銜接，便于學(xué)生去理解導(dǎo)數(shù)的概念；二是要以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、挖掘?qū)W生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能以及培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神為目標(biāo)，通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境、引發(fā)學(xué)生興趣與思考、探究學(xué)習(xí)以及合作交流等方式，使學(xué)生既能夠?qū)W會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)還能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)用于解決實(shí)際問(wèn)題。

2.課程設(shè)計(jì)思路。本節(jié)課采用線(xiàn)上與線(xiàn)下相結(jié)合的教學(xué)手段，課程教學(xué)分為三個(gè)環(huán)節(jié)：一是學(xué)生課前線(xiàn)上預(yù)習(xí)，教師提前在線(xiàn)發(fā)布預(yù)習(xí)提綱；二是師生線(xiàn)下課堂教學(xué)，在課堂教學(xué)中主要采用“生活實(shí)例教學(xué)法”+“討論法”+“啟發(fā)式教學(xué)法”的教學(xué)模式，其教學(xué)流程為：通過(guò)生活實(shí)例引入，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境；同類(lèi)數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換，引出問(wèn)題；學(xué)生分組討論，探究問(wèn)題；引導(dǎo)學(xué)生，師生共同解決問(wèn)題；總結(jié)知識(shí)點(diǎn)與方法，提出新問(wèn)題引發(fā)學(xué)生深入思考；三是課后復(fù)習(xí)與作業(yè)，教師發(fā)布作業(yè)，學(xué)生線(xiàn)上提交作業(yè)。

3.教學(xué)目標(biāo)要求。一是知識(shí)與技能目標(biāo)。理解、掌握導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)概念的幾何意義和物理意義；掌握導(dǎo)數(shù)概念的三種形式；學(xué)會(huì)利用三步求導(dǎo)法求解與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的問(wèn)題。二是過(guò)程與方法目標(biāo)。通過(guò)對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)，掌握從具體到抽象的思維方法；學(xué)會(huì)觀(guān)察、猜想、推理的數(shù)學(xué)思維過(guò)程；領(lǐng)悟極限的思想；提高類(lèi)比、歸納、抽象概括、聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的思維能力。三是情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)目標(biāo)。通過(guò)相互交流、合作學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受探索的樂(lè)趣與成功的喜悅，體會(huì)數(shù)學(xué)的邏輯性與嚴(yán)謹(jǐn)性。

4.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)。第一，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境。首先，情境1：求切線(xiàn)的斜率。復(fù)習(xí)中學(xué)學(xué)過(guò)的平均變化率與瞬時(shí)變化率的概念，結(jié)合函數(shù)曲線(xiàn)的圖形推導(dǎo)出切線(xiàn)的斜率。其次，情境2：求物體做變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的瞬間速度。側(cè)重用極限來(lái)定義物體做變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的瞬間速度。一是解釋路程分布。路程分布就是動(dòng)點(diǎn)所處的位置s是一個(gè)關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)。設(shè)動(dòng)點(diǎn)沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在直線(xiàn)上引入原點(diǎn)和單位點(diǎn)（即表示實(shí)數(shù)1 的點(diǎn)），使直線(xiàn)成為數(shù)軸。此外，再取定一個(gè)時(shí)刻作為測(cè)量時(shí)間的零點(diǎn)，記動(dòng)點(diǎn)于時(shí)刻t在直線(xiàn)上位置的坐標(biāo)為（簡(jiǎn)稱(chēng)位置s），這樣該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)完全由某個(gè)函數(shù)所確定，我們?cè)O(shè)函數(shù)對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所出現(xiàn)的t值有定義，即是路程分布（也稱(chēng)為位置函數(shù)）。二是解釋速度（指的是勻速運(yùn)動(dòng)的速度）概念。所謂動(dòng)點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，指的是路程分布的變化是均勻的，也就是說(shuō)動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)的路程與所花的時(shí)間成正比，我們稱(chēng)此比值為動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度，記作ν（為常數(shù)）即：速度等于路程除以時(shí)間。三是研究非勻速運(yùn)動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)在某一時(shí)刻（設(shè)為to）的速度。設(shè)時(shí)間從to變到，動(dòng)點(diǎn)的位置由變到。于是，在這段時(shí)間內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的平均速度為這段時(shí)間所走過(guò)的路程與走過(guò)這段路程所用時(shí)間之比。這里，只能說(shuō)明在這段時(shí)間內(nèi)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的平均快慢程度，而不能說(shuō)明在這一瞬間的快慢程度，若想要更好地說(shuō)明在這一時(shí)刻動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的快慢程度，就應(yīng)該盡量讓無(wú)限靠近零。但無(wú)論怎樣靠近零，仍然不能反映時(shí)的情況。不過(guò)，當(dāng)越是靠近零，就越接近時(shí)刻的情況。因此，很自然地，的極限如果存在，則記為，這時(shí)就把這個(gè)極限值稱(chēng)為動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度。

在情境1 的教學(xué)中，側(cè)重使用學(xué)生中學(xué)熟悉的平均變化率與瞬時(shí)變化率的關(guān)系引出切線(xiàn)斜率，從而體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想。在情境2 的教學(xué)過(guò)程中，要運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的極限思想去體會(huì)導(dǎo)數(shù)的概念，以因變量與自變量的增量比的極限存在性來(lái)討論平均速度與瞬間速度的關(guān)系。

導(dǎo)數(shù)概念是函數(shù)變化率這一概念的精確描述，它撇開(kāi)自變量與因變量所代表的幾何或物理等方面的特殊意義，純粹從數(shù)量角度來(lái)精準(zhǔn)刻畫(huà)函數(shù)變化率的本質(zhì)：因變量增量與自變量增量的比值是函數(shù)在以為端點(diǎn)的區(qū)間上的平均變化率，而點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，則是函數(shù)y 在這一點(diǎn)處的變化率，它反映的是函數(shù)隨自變量變化而變化的快慢程度。

第三，拓展導(dǎo)數(shù)定義的三種形式。導(dǎo)數(shù)定義中形式（1）是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中導(dǎo)數(shù)的定義形式，形式（2）和形式（3）是高等數(shù)學(xué)中在函數(shù)思想下導(dǎo)數(shù)定義的兩種靈活變化方式，每一種定義的變化形式都有其特有的意義和作用。

三種定義方式各有各的用途，在教學(xué)中對(duì)應(yīng)給出3 道例題進(jìn)行講解，幫助學(xué)生理解。此教學(xué)環(huán)節(jié)需師生合作，拓展導(dǎo)數(shù)概念的三種形式，從而培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思想和科學(xué)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，學(xué)生通過(guò)對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的靈活運(yùn)用，鍛煉了發(fā)散思維，提高了運(yùn)算能力，學(xué)會(huì)了用理論解決問(wèn)題的方法。

第四，課后作業(yè)與反思。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)主要目的就是提高學(xué)習(xí)成績(jī)，因此，無(wú)論課上還是課后，教師都會(huì)給學(xué)生布置大量的練習(xí)題，對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題探求多種解法，對(duì)于同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)通過(guò)不同的題型去深入理解和掌握。大學(xué)階段重點(diǎn)要培養(yǎng)的是學(xué)生學(xué)習(xí)的獨(dú)立性和邏輯思維能力，因此，為了培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，在課后除了給學(xué)生布置鞏固課堂知識(shí)的作業(yè)外，還要留給學(xué)生探索新知識(shí)和拓展所學(xué)知識(shí)的空間和內(nèi)容。