數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究的現(xiàn)狀、特征與展望
——基于ICME 14的分析

沈中宇 (蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 215006)

從19世紀(jì)中葉開(kāi)始，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系就受到了歐美數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史家和數(shù)學(xué)教育家們的廣泛關(guān)注．1972年，在第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)之關(guān)系國(guó)際研究小組(International Study Group on the Relations Between the History & Pedagogy of Mathematics，簡(jiǎn)稱HPM小組)成立，標(biāo)志著數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育(簡(jiǎn)稱HPM)作為一個(gè)學(xué)術(shù)研究領(lǐng)域的出現(xiàn)[1]．經(jīng)過(guò)近50年的發(fā)展，HPM成為了數(shù)學(xué)教育的一個(gè)富有魅力的研究領(lǐng)域，形成了豐碩的研究成果[2-3]．

2021年7月，第十四屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡(jiǎn)稱ICME 14)在華東師范大學(xué)順利舉行，國(guó)內(nèi)外的HPM研究者匯集一堂，相互交流最新的研究成果．本文對(duì)ICME 14中的HPM研究進(jìn)行分析，從中了解HPM研究的現(xiàn)狀，析取HPM研究的特征，從而展望未來(lái)的HPM研究．

1 ICME 14中的HPM研究

在ICME 14中，一共有19個(gè)HPM的相關(guān)報(bào)告，其中2個(gè)為邀請(qǐng)報(bào)告，4個(gè)為HPM小組報(bào)告，13個(gè)為專題研究小組報(bào)告．

基于已有的HPM研究框架，可以將這19個(gè)HPM報(bào)告分為6類，分別為HPM理論探討、教育取向的數(shù)學(xué)史研究、教學(xué)實(shí)踐與案例開(kāi)發(fā)、HPM與教師專業(yè)發(fā)展、數(shù)學(xué)史融入教材研究和數(shù)學(xué)教育史研究[1]．以下選取各個(gè)類別的典型報(bào)告作具體介紹，以便了解HPM研究的現(xiàn)狀．

HPM理論探討主要解決“為何”與“如何”的問(wèn)題．有關(guān)為何將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，加拿大魁北克大學(xué)蒙特利爾分校的Guillemette系統(tǒng)介紹了將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的不同視角，分別為發(fā)生的視角、人文主義的視角、詮釋學(xué)的視角、話語(yǔ)與實(shí)用主義的視角和對(duì)話與倫理的視角．

教育取向的數(shù)學(xué)史研究是以服務(wù)教育為目的，針對(duì)數(shù)學(xué)課程中涉及的概念、公式、定理、問(wèn)題的歷史所進(jìn)行的文獻(xiàn)研究．有關(guān)數(shù)學(xué)概念的歷史，智利大學(xué)的Soto-Andrade研究了二叉樹(shù)的歷史，其中梳理了中國(guó)古代《易經(jīng)》、萊布尼茲的二進(jìn)制等與二叉樹(shù)相關(guān)的歷史內(nèi)容．

教學(xué)實(shí)踐與案例開(kāi)發(fā)是指將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐研究．針對(duì)HPM微視頻在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，華東師范大學(xué)的李卓忱介紹了小學(xué)HPM微視頻的制作流程、類型、內(nèi)容及其在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的案例．

HPM與教師專業(yè)發(fā)展主要研究數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)教師專業(yè)發(fā)展的促進(jìn)作用．有關(guān)數(shù)學(xué)史對(duì)職前教師專業(yè)發(fā)展的影響，華東師范大學(xué)的姜浩哲研究了在上海HPM專業(yè)學(xué)習(xí)共同體的影響下，職前數(shù)學(xué)教師教學(xué)效能感產(chǎn)生的變化及其影響因素．

數(shù)學(xué)史融入教材研究主要分析教科書(shū)中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容呈現(xiàn)情況．有關(guān)數(shù)學(xué)史在教科書(shū)中的呈現(xiàn)方式，荷蘭阿姆斯特丹應(yīng)用科學(xué)大學(xué)的Bogaart-Agterberg介紹了教科書(shū)中數(shù)學(xué)史的4種形式，分別為短注形式、簡(jiǎn)介形式、片段形式和故事形式．

數(shù)學(xué)教育史研究主要關(guān)注某一階段、某個(gè)國(guó)家或地區(qū)的數(shù)學(xué)教育發(fā)展歷程．有關(guān)不同國(guó)家的數(shù)學(xué)教育發(fā)展歷程，德國(guó)美因茨大學(xué)的Weiss介紹了19世紀(jì)德國(guó)的幾何教學(xué)，其中重點(diǎn)分析了歷史上圓錐曲線的教學(xué)．

2 HPM研究的特征

2.1 以教育取向的數(shù)學(xué)史研究為基礎(chǔ)

從以上介紹可以發(fā)現(xiàn)，在不同類型的研究中，教育取向的數(shù)學(xué)史研究始終是HPM研究的基礎(chǔ)．在教學(xué)實(shí)踐與案例開(kāi)發(fā)中，首先需要梳理相關(guān)課題的數(shù)學(xué)發(fā)展歷程．在數(shù)學(xué)史融入教材研究中，首要任務(wù)即為熟悉教科書(shū)中相關(guān)課題的數(shù)學(xué)史素材．

在將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，一些教師對(duì)HPM實(shí)踐抱有濃厚的興趣，但是苦于找不到資料，因而陷入“巧婦難為無(wú)米之炊”的困境[4]，教育取向的數(shù)學(xué)史研究可幫助教師解決以上問(wèn)題．

一般而言，教育取向的數(shù)學(xué)史研究分為兩種類型：一類為對(duì)數(shù)學(xué)史上經(jīng)典著作的研究，如中國(guó)古代的《九章算術(shù)》、歐幾里得的《幾何原本》等；另一類為對(duì)早期數(shù)學(xué)教科書(shū)的研究，如對(duì)20世紀(jì)中葉以前的西方早期三角學(xué)教科書(shū)進(jìn)行研究．?dāng)?shù)學(xué)歷史是一個(gè)寶藏，不論時(shí)代如何變遷，從事數(shù)學(xué)教育的人們總是可以，并且也有必要從中汲取有益的思想養(yǎng)料[5]．

2.2 以理論與實(shí)踐的互相融通為途徑

從以上報(bào)告中可以發(fā)現(xiàn)，理論與實(shí)踐相結(jié)合是HPM研究的基本途徑．在HPM理論探討中，需要融入數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐案例作為支撐．在教學(xué)實(shí)踐與案例開(kāi)發(fā)中，需要HPM的理論作為指引．

有關(guān)HPM的知識(shí)，有一半來(lái)自書(shū)本，即數(shù)學(xué)的歷史(H)，而另一半則來(lái)自課堂，即教學(xué)(P)．不走進(jìn)課堂，人們永遠(yuǎn)無(wú)法獲得完整而深刻的HPM知識(shí)[4]．而實(shí)踐與理論的互相融通彌補(bǔ)了知識(shí)來(lái)源單一的缺陷，使得HPM成為數(shù)學(xué)教育中充滿活力和魅力的領(lǐng)域．

目前，在HPM研究領(lǐng)域逐漸形成了基于實(shí)踐的HPM理論框架，可以概括為“一個(gè)視角、兩座橋梁、三維目標(biāo)、四種方式、五項(xiàng)原則、六類價(jià)值”：一個(gè)視角即HPM的視角；兩座橋梁是指數(shù)學(xué)史架起了數(shù)學(xué)與人文、歷史與現(xiàn)實(shí)之間的兩座橋梁；三維目標(biāo)指教師專業(yè)發(fā)展的知識(shí)、信念和能力三個(gè)方面；四種方式即數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的方式(附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式)；五項(xiàng)原則即數(shù)學(xué)史料的選取原則(趣味性、科學(xué)性、有效性、可學(xué)性、人文性)；六類價(jià)值是數(shù)學(xué)史對(duì)學(xué)生的教育價(jià)值(知識(shí)之諧、方法之美、探究之樂(lè)、能力之助、文化之魅、德育之效)[6]．

2.3 以大學(xué)與中學(xué)的共同合作為模式

進(jìn)一步分析以上報(bào)告可以發(fā)現(xiàn)，大學(xué)與中學(xué)的共同合作已經(jīng)成為HPM研究的基本模式．在教學(xué)實(shí)踐與案例開(kāi)發(fā)過(guò)程中，需要大學(xué)教師與中學(xué)教師合作，對(duì)數(shù)學(xué)史材料進(jìn)行加工并用于教學(xué)設(shè)計(jì)．

中學(xué)數(shù)學(xué)教師是一個(gè)龐大而復(fù)雜的群體，他們身處不同的學(xué)校文化，有著不同的教育背景和教育理念，其中研究和實(shí)踐HPM的教師只占了少數(shù)，這些教師往往感到曲高和寡、知音難覓[4]．在HPM與教師專業(yè)發(fā)展中，HPM專業(yè)學(xué)習(xí)共同體為教師的專業(yè)發(fā)展提供了強(qiáng)有力的支撐．

在理論與實(shí)踐的互動(dòng)過(guò)程中，中國(guó)HPM的發(fā)展走上了一條特色之路．其中，結(jié)合中國(guó)的教研制度，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的課例研究流程分為選題與準(zhǔn)備、研討與設(shè)計(jì)、實(shí)施與評(píng)價(jià)、分析與寫(xiě)作四個(gè)步驟．基于這一課例研究流程，形成了HPM課例開(kāi)發(fā)驅(qū)動(dòng)下的、以HPM專家與授課教師為中心向外輻射到HPM研究團(tuán)隊(duì)、數(shù)學(xué)教師團(tuán)隊(duì)、教師專業(yè)發(fā)展指導(dǎo)者團(tuán)隊(duì)的HPM專業(yè)學(xué)習(xí)共同體[7]．

3 HPM研究的展望

3.1 基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)學(xué)科德育研究

近年來(lái)，學(xué)科德育受到了國(guó)家政策層次的高度重視．?dāng)?shù)學(xué)課程是基礎(chǔ)教育學(xué)科課程中不可或缺的組成部分，具有十分獨(dú)特的道德價(jià)值，承載著至關(guān)重要的德育使命．實(shí)踐表明，將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，是在數(shù)學(xué)課堂中落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科德育的一條有效途徑．

然而，在數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，一些教師對(duì)于如何基于數(shù)學(xué)史培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科德育仍然缺乏清晰的認(rèn)識(shí)．因此，基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)學(xué)科德育研究還有著廣闊的研究前景．

3.2 HPM視角下的課堂評(píng)價(jià)框架構(gòu)建

課堂教學(xué)評(píng)價(jià)是改進(jìn)教學(xué)效果的重要手段，同時(shí)也是促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展的重要組成部分．?dāng)?shù)學(xué)課堂評(píng)價(jià)研究是數(shù)學(xué)教育研究的重要組成部分．隨著HPM教學(xué)案例的不斷增加，如何評(píng)價(jià)HPM視角下的課堂教學(xué)成為了亟待解決的問(wèn)題．

目前，主要從“史料的適切性”“方式的多元性”“融入的自然性”和“價(jià)值的深刻性”四個(gè)維度評(píng)價(jià)HPM視角下的課堂教學(xué)．但是，以上評(píng)價(jià)框架還缺乏扎實(shí)的理論基礎(chǔ)，與數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域已有的課堂評(píng)價(jià)方式之間缺乏密切的聯(lián)系，因此還有很大的完善空間．

3.3 基于數(shù)學(xué)史的專業(yè)學(xué)習(xí)共同體建設(shè)

教師合作學(xué)習(xí)模式已引起世界各國(guó)關(guān)注，這一研究主題也被列入了ICMI系列專題研究．在將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，從而促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展的過(guò)程中，基于數(shù)學(xué)史的專業(yè)學(xué)習(xí)共同體發(fā)揮著重要作用．

中國(guó)的教研活動(dòng)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，教師之間的合作根植于中國(guó)的文化和數(shù)學(xué)教育傳統(tǒng)．中小學(xué)數(shù)學(xué)教研組作為數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的最前線，如何將其建設(shè)為基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)教師專業(yè)學(xué)習(xí)共同體成為研究者們進(jìn)一步關(guān)注的問(wèn)題．