Horadam四元數(shù)關(guān)于二項(xiàng)式和的若干恒等式

陳慶華

（福建師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，福建 福州 350108）

四元數(shù)序列是一個(gè)數(shù)字延伸到復(fù)數(shù)的數(shù)域，其在許多領(lǐng)域分支發(fā)揮著重要的作用，如廣泛應(yīng)用于量子物理和數(shù)學(xué)等.其中，通過特殊整數(shù)序列定義的四元數(shù)序列引起了廣泛學(xué)者的研究.此外，二項(xiàng)式定理作為初等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要定理，是一塊非常熱門的研究內(nèi)容，其在組合理論、開高次方、高階等差數(shù)列求和以及差分法中都有廣泛的應(yīng)用.本文將四元數(shù)與二項(xiàng)式定理結(jié)合，探討四元數(shù)關(guān)于二項(xiàng)式和的有趣的恒等式，不僅是對四元數(shù)性質(zhì)的擴(kuò)充，也是將二項(xiàng)式和運(yùn)用到四元數(shù)領(lǐng)域，對二項(xiàng)式定理的應(yīng)用實(shí)例研究具有實(shí)際意義，凸顯了數(shù)學(xué)中相關(guān)領(lǐng)域的聯(lián)系和交叉.

1 Horadam 四元數(shù)的介紹

四元數(shù)序列是一個(gè)數(shù)字延伸到復(fù)數(shù)的數(shù)域，它是由實(shí)部a0，a1，a2，a3和基1，i，j，k 組成的以下形式的元素：

其中i2=j2=k2=-1,ij=k=-ji，jk=i=-kj，ki=j=-ik.

1963年，Horadam[1]定義了系數(shù)為Fibonacci 序列和Lucas 序列的四元數(shù)

之后，Pell-Lucas 四元數(shù)，Jacobsthal-Lucas 四元數(shù)等也被學(xué)者們廣泛研究.例如，Halici[2]中研究了Fibonacci 和Lucas 四元數(shù)的生成函數(shù)，Binet 公式和一些組合性質(zhì).Ramiz[3]中定義了k-Fibonacci 和k-Lucas 四元數(shù)，并得出類似于Cassini 恒等式的一些公式，此外，文獻(xiàn)[4]引入了h(x)-Fibonacci 四元數(shù)多項(xiàng)式，推廣了k-Fibonacci 四元數(shù)，更多關(guān)于四元數(shù)的內(nèi)容可參考文獻(xiàn)[5-8].

近年來，Serpil 等[9]推廣了一種新的四元數(shù)序列，即Horadam 四元數(shù).包含了前人所研究的四元數(shù)序列，如Fibonacci 四元數(shù)、Lucas 四元數(shù)、Pell-Lucas 四元數(shù)、Jacobsthal-Lucas 四元數(shù).

定義1Horadam 四元數(shù)被定義為：

這里Wn是第n 個(gè)Horadam 數(shù)，其通項(xiàng)公式表示為：

且這個(gè)四元數(shù)符合如下遞推關(guān)系：

該遞推關(guān)系的特征方程的根為：

令Δ=p2+4q，即α-β=，得到：

引理1Horadam 四元數(shù)的Binet 公式表示為：

基于這些研究，本文推導(dǎo)出Horadam 四元數(shù)的一些恒等式.本文第2 節(jié)介紹了Horadam 四元數(shù)的指生成數(shù)型函數(shù).第3 節(jié)推導(dǎo)出這個(gè)Horadam 四元數(shù)關(guān)于二項(xiàng)式和的一些恒等式，推廣了對二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.

2 關(guān)于Horadam 四元數(shù)的結(jié)論

2.1 Horadam 四元數(shù)的指數(shù)型生成函數(shù)

不同于普通的生成函數(shù)，推導(dǎo)出Horadam 四元數(shù)的指數(shù)型的生成函數(shù).

定理1Horadam 四元數(shù)的指數(shù)型生成函數(shù)為：

證明將式(8)代入式（9）左邊得由于，因此有，定理得證.

2.2 Horadam 四元數(shù)關(guān)于二項(xiàng)式和的恒等式

這一部分得出若干關(guān)于二項(xiàng)式和的恒等式.首先，回顧二項(xiàng)式系數(shù)（）定義為：

定理2令n 為非負(fù)整數(shù)，則

定理3令n 為非負(fù)整數(shù)，則

證明將式(8)代入式（11）左邊得

定理4令n 為非負(fù)整數(shù)，則

證明將式(8)代入式（12）左邊得

定理5令n 為非負(fù)整數(shù)，則

證明將式（8）代入式（13）左邊得

已知(α-β)2=Δ，且四元數(shù)不滿足乘法交換律，化簡得

注1若取a=0，b=1，則定理1-5 為文獻(xiàn)[10]中的特殊情況.

定理6令n 為非負(fù)整數(shù)，則

證明將式(8)代入式（14）左邊得

定理7令n 為非負(fù)整數(shù)，則

證明將式(8)代入式（15）左邊得

3 總論

本文從特殊的四元數(shù)序列，即Horadam 四元數(shù)出發(fā)，先計(jì)算指數(shù)型生成函數(shù)，其次把二項(xiàng)式和與四元數(shù)結(jié)合，推導(dǎo)得出若干恒等式，使四元數(shù)的性質(zhì)更加豐富，推廣了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.