例談小學(xué)生數(shù)學(xué)守恒觀念的培養(yǎng)

汪東興

摘 ? 要：守恒是皮亞杰兒童認(rèn)知發(fā)展階段論中的核心概念之一，是獲得數(shù)和量概念的重要條件。發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生守恒觀念，強(qiáng)化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解，達(dá)成知識的融會貫通，在現(xiàn)階段教師應(yīng)重視提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教師可從培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)量守恒、長度守恒、面積守恒、體積守恒觀念四個(gè)方面開展教學(xué)實(shí)踐，培養(yǎng)數(shù)學(xué)守恒觀念。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)量守恒;長度守恒;面積守恒;體積守恒

中圖分類號：G623.5 ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? 文章編號：1009-010X（2021）01-0048-05

守恒是皮亞杰兒童認(rèn)知發(fā)展階段論中的核心概念之一。皮亞杰認(rèn)為：守恒是一種認(rèn)知格式，是指物體的形式（主要是外部特征）起了變化，但是個(gè)體認(rèn)識到物體的量（或內(nèi)部性質(zhì)）并未改變，獲得守恒觀念是兒童認(rèn)知水平發(fā)展的一個(gè)重要標(biāo)志。相關(guān)研究表明：兒童是通過可逆推理、兩維互補(bǔ)和恒等性推理等思維形式獲得守恒概念的;兒童獲得不同守恒形式的年齡是不一樣的，一般表現(xiàn)為數(shù)目守恒（6～7歲）→物質(zhì)和長度守恒（7～8歲）→面積和重量守恒（9～10歲）→體積守恒（11～12歲）。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)理論認(rèn)為，守恒是獲得數(shù)和量概念的重要條件，兒童沒有守恒觀念就不能從真正意義上認(rèn)識和理解數(shù)和量，把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)內(nèi)涵。具有守觀概念就表明兒童能夠抓住事物的本質(zhì)，對客觀事物的認(rèn)識已經(jīng)不為物理性質(zhì)的變化所迷惑。通觀現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材，不難發(fā)現(xiàn)：不論從教材例題的編排上還是課后習(xí)題的設(shè)計(jì)，都體現(xiàn)著對發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生守恒觀念的重視。然而，審視我們的教學(xué)實(shí)踐，教師因?qū)Πl(fā)展和培養(yǎng)小學(xué)生守恒觀念的重要性及其教學(xué)價(jià)值認(rèn)識不足，導(dǎo)致自覺或不自覺地忽視了對小學(xué)生數(shù)學(xué)守恒觀念的培養(yǎng)，在一定程度上影響或阻滯了小學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。筆者就小學(xué)生數(shù)學(xué)守恒觀念的培養(yǎng)談個(gè)人拙見。

一、借助轉(zhuǎn)化與推理，培養(yǎng)數(shù)量守恒觀念

數(shù)量守恒，是指物體的數(shù)目不因物體外部特征（顏色、形狀、大小等）和排列方式的改變而變化。掌握數(shù)量守恒，要求思維具有一定抽象成分，要排除外部因素的干擾，只考慮數(shù)目的多少。在皮亞杰的研究中，兒童到8歲左右才達(dá)到數(shù)量守恒。教學(xué)中，尤其是低年級教學(xué)中，教師要針對學(xué)生的思維發(fā)展特點(diǎn)，相機(jī)培養(yǎng)兒童的數(shù)量守恒觀念。筆者以為，數(shù)量守恒觀念可從下面三個(gè)方面進(jìn)行培養(yǎng)：

例1：比多少。（第1冊P6）

教學(xué)時(shí)，先觀察小兔。問學(xué)生：“圖中有幾只小兔？”再問：“每只小兔搬幾塊磚？”1只小兔搬1塊磚，4只小兔搬4塊磚。然后在小兔和磚之間用小圓點(diǎn)連起來，正好都對上，沒有多余的。由此發(fā)現(xiàn)小兔的只數(shù)和磚的塊數(shù)同樣多。然后教師將上述圖形中每兩塊磚間的間距拉大（見上圖），同樣讓學(xué)生觀察、交流，發(fā)現(xiàn)小兔的只數(shù)和磚的塊數(shù)同樣多。

設(shè)計(jì)意圖：本教學(xué)環(huán)節(jié)的安排依據(jù)就是皮亞杰所作數(shù)目守恒實(shí)驗(yàn)，意在通過改變磚的擺放形式制造認(rèn)知沖突，剛進(jìn)入一年級學(xué)習(xí)的兒童往往專注于一個(gè)維度（長度），并且使用的是知覺線索而非邏輯原則，所以他們有可能得出“兔子的只數(shù)比磚的塊數(shù)少”的錯(cuò)誤判斷。此時(shí)，通過在小兔和磚之間用小圓點(diǎn)連起來，在兩者之間建立一一對應(yīng)關(guān)系，明確：雖然磚之間的距離有改變，仍是4塊。兔子和磚的數(shù)目都是4，它們的數(shù)目相等。這樣的教學(xué)，有助于對學(xué)生進(jìn)行數(shù)量守恒的啟蒙教育。

例2：乘法運(yùn)算定律。（第8冊P29第6題節(jié)選）

用乘法分配律計(jì)算下面各題：

103×12 ? ? ? ? 24×205

指導(dǎo)學(xué)生解題可分如下步驟：

①引導(dǎo)學(xué)生觀察算式中的數(shù)據(jù)，思考：題中哪些數(shù)據(jù)可寫成兩個(gè)數(shù)相加的和的形式？

②獨(dú)立解題，匯報(bào)交流：

103×12 ? ? ? ? ? ? ? ? 103×12

=（103+3）×12 ? ? ? ? ?=103×（10+2）

=100×12+3×12 ? ? ? ? =103×10+103×2

=1200+36 ? ? ? ? ? ? ? =1030+206

=1236 ? ? ? ? ? ? ? ? ? =1236

24×205 ? ? ? ? ? ? ? ? ?24×205

=（20+4）×205 ? ? ? ? ?=24×（200+5）

=20×205+4×205 ? ? ? =24×200+24×5

=4100+820 ? ? ? ? ? ? =4800+120

=4920 ? ? ? ? ? ? ? ? ? =4920

③對比分析，優(yōu)化算法。明確：運(yùn)用乘法分配律計(jì)算的目的在于使較復(fù)雜的計(jì)算轉(zhuǎn)化為簡單的口算，上述解法中的第1、4種方法是較為優(yōu)化的算法。

設(shè)計(jì)意圖：本題是應(yīng)用乘法分配律使計(jì)算簡便的練習(xí)。教師的指導(dǎo)過程，符合學(xué)生初步學(xué)習(xí)乘法分配律的學(xué)情，既可以讓學(xué)生習(xí)得和積累解題經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)算法的優(yōu)化，也可從中感受“運(yùn)算形式變化，運(yùn)算結(jié)果不變”的數(shù)量守恒觀念。

例3：小數(shù)乘小數(shù)。（第9冊P10第14題節(jié)選）

根據(jù)65×39=2535，在下面的括號里填上合適的數(shù)。你能想出幾種填法？

25.35=（ ? ?）×（ ? ?）=（ ? ?）×（ ? ?）

指導(dǎo)學(xué)生解題可分如下步驟：

①引導(dǎo)學(xué)生審題，明確解題關(guān)鍵：根據(jù)因數(shù)與積的變化規(guī)律以及因數(shù)與積小數(shù)位數(shù)之間的關(guān)系;②啟發(fā)思考：根據(jù)乘積是25.35如何確定兩個(gè)因數(shù)的小數(shù)位數(shù)？③分類討論，解決問題：

兩個(gè)因數(shù)都是一位小數(shù)：算式是6.5×3.9=25.35;

一個(gè)因數(shù)是兩位小數(shù)：算式是65×0.39=25.35或0.65×39=25.35;

一個(gè)因數(shù)是三位小數(shù)：算式是650×0.039=25.35或0.065×390=25.35;

……

④交流解題體會，感受“變”與“不變”。

設(shè)計(jì)意圖：本題是一道要求應(yīng)用因數(shù)與積的變化規(guī)律填空的開放題，通過四個(gè)環(huán)節(jié)的指導(dǎo)，使學(xué)生進(jìn)一步體會因數(shù)與積小數(shù)位數(shù)之間的關(guān)系，培養(yǎng)其靈活運(yùn)用小數(shù)乘法計(jì)算方法的能力。同時(shí)，感受“因數(shù)的變”與“積的不變”的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的數(shù)量守恒觀念。

二、借助觀察與操作，培養(yǎng)長度守恒觀念

長度守恒，是指兒童對長度達(dá)到內(nèi)化的可逆性認(rèn)識能力，具體來說，包括當(dāng)兩條（或多條）相等的線段的呈現(xiàn)形式、位置等外在形式發(fā)生改變時(shí)，也能準(zhǔn)確判定線段之間的相等關(guān)系。小學(xué)數(shù)學(xué)中，培養(yǎng)長度守恒觀念常有下面三種形式：

例4：看看哪條線段長，再量一量。（第3冊P9第7題）

本題中，學(xué)生一眼看上去，會產(chǎn)生“豎線①比橫線②長些”的錯(cuò)誤感覺。為指導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確做出判斷，教師可設(shè)計(jì)4個(gè)環(huán)節(jié)：

①讓學(xué)生觀察兩條線段，說一說，覺得哪條線段長？（線段①長些）;②把書轉(zhuǎn)一個(gè)方向，觀察兩條線段，說一說，哪條線段長？（線段②長些）;③用尺子量一量，看看兩條線段的長度？（兩條線段都是2厘米，一樣長）;④教師引導(dǎo)學(xué)生交流活動心得，真切感受：兩條一樣長的線段雖然擺放的形式發(fā)生了改變，但其長短仍然相等。

設(shè)計(jì)意圖：這是一道利用人的視覺誤差原理設(shè)計(jì)的趣味性題目。視覺誤差，是人對外界事物的不正確的感覺或知覺之一，是最常見的是視覺錯(cuò)覺。一般認(rèn)為，人的兩眼之間有一定的距離，當(dāng)人觀景物時(shí)，在一定的距離下，左眼的視線向右，右眼向左，視線交叉而產(chǎn)生誤差。案例中，通過變化學(xué)生的觀察視角，得到自相矛盾的結(jié)論，以此創(chuàng)設(shè)疑問情境，再運(yùn)用測量手段得到準(zhǔn)確的結(jié)論，調(diào)動學(xué)生多種感官參與，能有效避免先入為主的錯(cuò)覺，初步養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牧己昧?xí)慣，也可相機(jī)滲透“線段長度不因擺放位置的改變而改變”的守恒觀念。

例5：下面的圖形分成兩個(gè)部分，哪一部分的周長長？（第5冊P88第9題）

由于初學(xué)長方形的周長，學(xué)生不可避免存在概念模糊，概括水平低，容易產(chǎn)生錯(cuò)誤的認(rèn)識：左下部分的周長比右上部分的周長長一些。教學(xué)時(shí)，教師可利用多媒體將圖形一分為二。

引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)：長方形的對邊相等，長方形分成的兩部分都有一條長、一條寬和一條公共邊，周長都是長、寬、公共邊的長度之和，所以兩部分的周長相等。

設(shè)計(jì)意圖：這道題同樣是利用人的視覺誤差原理設(shè)計(jì)的易錯(cuò)題。本例教學(xué)，針對學(xué)生周長概念模糊的疑點(diǎn)，多媒體教學(xué)手段動態(tài)直觀呈現(xiàn)分成的兩個(gè)圖形，通過觀察每個(gè)圖形的邊界，根據(jù)周長的意義求得每個(gè)圖形的周長，既可以又能強(qiáng)化對周長概念的理解，促進(jìn)概念的精確分化，也有助于通過 “形變”而“周長不變”的具體實(shí)例，感受長度守恒的觀念。

例6：圓的周長計(jì)算公式的推導(dǎo)。（第11冊P62～63）

教師的教學(xué)過程略述如下：

1.創(chuàng)設(shè)情境，揭示概念。以教材“要在圓桌和菜板的邊緣箍上一圈鐵皮，求鐵皮的長度”的生活情境導(dǎo)入，幫助學(xué)生理解圓的周長的概念：圓一周的長度叫圓的周長。

2.激活經(jīng)驗(yàn)，解決問題。借助學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)或預(yù)習(xí)，嘗試用圓形物體在直尺上滾一圈再量出長度或者用線在圓形物體上繞一圈，量出線的長度等方法以解決問題。

3.優(yōu)化方法，提升思維。引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)探究發(fā)現(xiàn)圓的周長與直徑之間的關(guān)系（圓的周長總是直徑的3倍多一點(diǎn)），進(jìn)而介紹圓周率的知識，推導(dǎo)得出圓的周長=圓周率×直徑。

設(shè)計(jì)意圖：圓是曲線圖形，它與以前學(xué)習(xí)的圖形有本質(zhì)的區(qū)別。教師借助學(xué)生已有的測量經(jīng)驗(yàn)用“先滾后量”或“先繞后量”的方法解決情境中的實(shí)際問題，初步感受“化曲為直”的妙處，然后通過實(shí)驗(yàn)再次運(yùn)用“化曲為直”探究周長與直徑之間的關(guān)系。這樣做，既可以適時(shí)提煉思想方法，提升學(xué)生思維層次，也可讓學(xué)生感悟?qū)⒁粋€(gè)未曾學(xué)過的曲線圖形的長度轉(zhuǎn)化為可以直接測量的直線段的長度，即線段的長度不因表現(xiàn)形式而發(fā)生改變的守恒觀念。

三、借助運(yùn)算與變換，培養(yǎng)面積守恒觀念

面積守恒，一般可理解為圖形的面積不會因?yàn)閳D形所在的位置或擺放形狀的改變而改變。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，這樣的例子有許多。如：

例7：面積和面積單位的認(rèn)識。（第6冊P65第8題）

下圖中每個(gè)□代表1平方厘米，說出每個(gè)圖形的面積各是多少。

教學(xué)時(shí)，可設(shè)計(jì)如下環(huán)節(jié)：

①引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個(gè)圖形，發(fā)現(xiàn)左圖中除了4個(gè)1平方厘米的正方形，還有2個(gè)面積不夠1平方厘米的三角形，右圖中除了2個(gè)1平方厘米的正方形，還有2個(gè)面積不夠1平方厘米的三角形;②啟發(fā)思考：怎樣確定2個(gè)三角形的面積？③討論交流，明確：通過割補(bǔ)的方法將2個(gè)三角形拼成面積1平方厘米的正方形;④確定每個(gè)圖形的面積：左圖面積是5平方厘米，右圖面積是4平方厘米。

設(shè)計(jì)意圖：題中給出的圖形有所變化，兩個(gè)圖中的三角形面積不夠1個(gè)面積單位，教師引導(dǎo)學(xué)生將2個(gè)三角形拼成面積1平方厘米的正方形，再計(jì)數(shù)確定圖形的面積。其意圖有二：一是借助變式練習(xí)，提高學(xué)生用面積單位測量圖形面積的能力;二是讓學(xué)生認(rèn)識到為了準(zhǔn)確、方便數(shù)出圖形的面積，可以將圖形形狀進(jìn)行改變。但割補(bǔ)后的圖形面積與原圖形的面積不會發(fā)生改變，從而發(fā)現(xiàn)面積守恒觀念。

例8：長方形、正方形面積的計(jì)算。（第6冊P69第10題節(jié)選）

把一張邊長是10厘米的正方形紙中，剪去一個(gè)長6厘米、寬4厘米的長方形。小明想到了三種方法（如下圖）。剩下部分的面積是多少？

教學(xué)時(shí)，可設(shè)計(jì)如下環(huán)節(jié)：

①不出示數(shù)據(jù)，學(xué)生觀察，猜測哪個(gè)圖形剩下部分的面積大？②給出數(shù)據(jù)，分別計(jì)算每個(gè)圖形剩下部分的面積;③改變剪去的長方形的位置或方向，分別計(jì)算剩下部分的面積（如下圖）;④比較各種情況下所剩部分的面積，并交流后發(fā)現(xiàn)：不管怎樣剪，原來的圖形和剪去的圖形總是一樣的，所以都可列出相同的算式10×10-6×4=76（平方厘米）來計(jì)算，剩下部分的面積都相等。

設(shè)計(jì)意圖：本題是從一個(gè)圖形中剪去一部分，求所剩圖形的面積的問題，其理論依據(jù)就是皮亞杰所做的關(guān)于面積守恒的實(shí)驗(yàn)。由于所剪圖形的位置與方向不同，視覺上會影響學(xué)生對所剩圖形面積的大小做出判斷。教師對問題的處理，可以使學(xué)生獲得兩方面的認(rèn)識：一是面積是可以相加減的;二是從同樣大小的圖形中，去掉同樣大小的部分，所剩圖形的面積相等，而與圖形的擺放形狀或所在位置無關(guān)，進(jìn)一步發(fā)展面積守恒觀念。

四、借助實(shí)驗(yàn)與變式，培養(yǎng)體積守恒觀念

體積守恒，是指物體體積的大小不會因形態(tài)、方向、位置的變化而發(fā)生改變。體積守恒和長度守恒、面積守恒同屬于皮亞杰守恒觀的空間結(jié)構(gòu)發(fā)展，即一維守恒、二維守恒、三維守恒。教材中這樣的例子也屢見不鮮，如：

例9：求不規(guī)則物體的體積。（第10冊P39例6）

設(shè)法求出下面兩種物體的體積：

教師的教學(xué)過程略述如下：

1.研究橡皮泥的體積求法。①分組探究測量橡皮泥的體積;②匯報(bào)交流：

第一組：把橡皮泥捏成了長方體，量出長、寬、高，再利用長方體的體積公式算出橡皮泥的體積。

第二組：把橡皮泥捏成了正方體，量出它的棱長，再利用正方體的體積公式求出橡皮泥的體積。

教師適時(shí)點(diǎn)撥：這種測量物體體積的方法，叫做等積變形。在捏橡皮泥的過程中不要隨意把橡皮泥去掉任何一小塊，去掉的話體積就變了;捏成的長方體、正方體要盡量標(biāo)準(zhǔn)，這樣測量才標(biāo)準(zhǔn)，體積計(jì)算才準(zhǔn)確。

③啟發(fā)思考：在把橡皮泥捏成長方體或正方體的過程中，橡皮泥什么有變化？什么沒有變化？（形狀改變了，體積沒變化）

2.研究土豆的體積求法。①啟發(fā)思考：土豆能變形嗎？怎么辦？②分組探究測量土豆的體積。各組學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的有刻度的量筒和土豆，討論交流并做好記錄;③匯報(bào)交流：

把土豆放入水中來測量它的體積，先記錄好量筒內(nèi)原來水的體積是200毫升。放入土豆后，水面上升了，這時(shí)水和土豆的總體積是350毫升，土豆的體積就是350-200=150（毫升）。

教師適時(shí)點(diǎn)撥：這種測量物體體積的方法，叫做排水法。用排水法測量物體體積時(shí)，要注意水不能溢出來，否則測量結(jié)果會不準(zhǔn)確。

設(shè)計(jì)意圖：用等積變形、排水法測量不規(guī)則物體的體積是轉(zhuǎn)化思想的具體應(yīng)用。通過學(xué)生分組實(shí)驗(yàn)，親身經(jīng)歷把先前所學(xué)的知識、方法運(yùn)用于解決新的、不熟悉情境中的數(shù)學(xué)問題的解決過程，既讓學(xué)生感受解決問題策略的多樣化，又激活探究熱情，體會 “做中學(xué)”的樂趣，同時(shí)在“形狀變”而“體積不變”的比較分析中，真切感受體積守恒的妙用。

例10：圓柱與圓錐整理和復(fù)習(xí)。（第12冊P38第1題）

把一塊長方體鋼坯鑄造成一根直徑為4dm的圓柱形鋼筋，求鋼筋的長度。

指導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)，可設(shè)計(jì)如下環(huán)節(jié)：

①引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個(gè)圖形，思考：長方體鋼坯鑄造成圓柱形鋼筋，什么發(fā)生變化？什么沒變？（物體的形狀發(fā)生改變，但體積沒有變化）②嘗試解答，匯報(bào)結(jié)果;③交流解題感受：利用立體圖形“變形”前后體積不變的原理是解決此類問題的關(guān)鍵。

設(shè)計(jì)意圖：本題屬于“等積變形”問題，涉及到不同立體圖形的體積計(jì)算方法，學(xué)生解題難度不大。案例中，教師引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察、讀題審題，理解題意，找到關(guān)鍵信息，把生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，自行解決，有助于不斷提高分析和解決問題的綜合能力?！敖涣鹘忸}感受”的安排，既是對解題過程的回顧與反思，也有助于發(fā)展學(xué)生的體積守恒觀念。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于以教育哲學(xué)的視野審視數(shù)學(xué)知識的縱橫聯(lián)系，把握變與不變的辯證關(guān)系，將學(xué)生數(shù)學(xué)守恒觀念的培養(yǎng)落實(shí)于教學(xué)全程，強(qiáng)化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解，達(dá)成知識的融會貫通，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。