享創(chuàng)數(shù)學發(fā)現(xiàn)的魅力*
——《奇妙的完全數(shù)》教學實錄及解析

□李鐵安 毛海巖

這節(jié)課是借助數(shù)學史中“完全數(shù)”的史料而開發(fā)的一節(jié)數(shù)學文化課。其宗旨是讓學生在探索解決問題的過程中，初步理解什么是完全數(shù)，感受完全數(shù)的神奇特征，由此對數(shù)學產(chǎn)生強烈的好奇心，深層次激發(fā)學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學的樂趣。更重要的是，通過問題解決，能有效地培養(yǎng)學生的數(shù)學觀念、數(shù)學發(fā)現(xiàn)意識和數(shù)學創(chuàng)造性思維能力等。

【教學過程】

環(huán)節(jié)一：概括完全數(shù)的定義

師：下面等式中的△、□、○分別表示不同的自然數(shù)，你能試著填一填，使等式成立嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)了，△、□、○分別代表1、2、3，這樣等式就成立了。因為1+2+3=1×2×3。

師：好啊！再認真觀察這個等式，你還有什么發(fā)現(xiàn)？

生：1+2+3=1×2×3=6，1、2、3是6除了自己以外所有的因數(shù)。

生：6 的所有因數(shù)包括1、2、3、6。除了6 以外，1、2、3 就叫6 的真因數(shù)，也叫真因子①在數(shù)學史及數(shù)論相關文獻中，真因數(shù)（真因子）通常是指一個自然數(shù)除了它自身以外的所有因數(shù)。。6 所有的真因子的和還是它自己。

師：就是啊，6好神奇，它恰好等于它所有的真因子之和。在自然數(shù)里，還能找到像6 這樣的數(shù)嗎？

師：還有沒有呢？（停頓1 秒）比如7 這個數(shù)，行不行？

生：不行，7的真因子只有1，相加不等于它。

生：7 的真因子只有1，也沒法相加，它是個質(zhì)數(shù)。

生：質(zhì)數(shù)肯定都不行！所有的質(zhì)數(shù)的真因子只有1。

師：對呀！那我們換一個不是質(zhì)數(shù)的數(shù)，比如8這個自然數(shù)（停頓1秒），行不行呢？

生：8也不行，8的真因子有1、2、4，1+2+4也不等于8啊。

師：在自然數(shù)中，到底有沒有這樣的數(shù)？咱們一起去找一找，1～10 之間有沒有這樣的數(shù)？（師生一起整理）

板書：

生：沒有。

師：再找找11～20之間有沒有。

生：也沒有。

師：那21～30之間有沒有這樣的數(shù)呢？

（學生忙于計算、尋找，突然一個學生說：我找到啦！是28。）

師：28確實具有和6一樣的特征嗎？

生：28真的可以！28的真因子有1、2、4、7、14，把它們加在一起，1+2+4+7+14=28，正好等于28。

師：28 也可以表示為它所有的真因子之和。那么像6、28這樣的數(shù)是不是很奇妙呢？在數(shù)學史上，像6和28這樣的數(shù)，有一個非常美妙的名字，叫“完全數(shù)”。現(xiàn)在你能說一下什么樣的數(shù)叫完全數(shù)嗎？

生：除了它本身以外，所有的真因子相加等于它本身的數(shù)就是完全數(shù)。

生：真因子已經(jīng)不包括它本身了，所以可以直接說，所有的真因子之和等于它本身的數(shù)是完全數(shù)。

師：在自然數(shù)中，如果一個數(shù)恰好等于它所有的真因子之和，則稱這個數(shù)為“完全數(shù)”。這就是完全數(shù)的定義。

環(huán)節(jié)二：猜想完全數(shù)的數(shù)字特征

師：完全數(shù)在數(shù)學史上是一個受到關注的話題，也是一個非常有趣的問題。它是由古希臘畢達哥拉斯學派最先發(fā)現(xiàn)并命名的。據(jù)數(shù)學史料介紹，畢達哥拉斯學派發(fā)現(xiàn)了前4 個完全數(shù)，分別是6、28、496 和8128。請你讀一讀這些數(shù)，再認真地觀察一下，這些完全數(shù)有什么特征？

生：我發(fā)現(xiàn)這些數(shù)都是偶數(shù)。

生：這些數(shù)的末尾都是6或者8，而且循環(huán)出現(xiàn)。

生：我還發(fā)現(xiàn)，個位是8的完全數(shù)，十位都是2。

生：這些數(shù)是從一位數(shù)到四位數(shù)按順序出現(xiàn)的，第幾個完全數(shù)就是幾位數(shù)。

師：真是這樣嗎？請你猜一猜，第5 個、第6 個完全數(shù)可能是什么樣的數(shù)？

生：我想第5個完全數(shù)的尾數(shù)是6，它應該是個五位數(shù)。

生：我也這么想的，因為第幾個完全數(shù)就是幾位數(shù)。

生：第6 個完全數(shù)的尾數(shù)是8，它應該是個六位數(shù)。

師：這是你們的猜想，真的是這樣嗎？先看第5個完全數(shù)。

（教師出示第5個完全數(shù)的末尾數(shù)字6，學生很興奮?。?/p>

師：末尾數(shù)字果然是6，猜對了！

（教師繼續(xù)按照數(shù)位順序，由低位到高位，逐個數(shù)位出示第5個完全數(shù)：33550336。當學生看到五位數(shù)時非常興奮。但緊接著教師出示第六位、第七位、第八位數(shù)字，學生很驚訝?。?/p>

師：雖然按照前面的規(guī)律，咱們的猜想看起來很有道理，不過事實說明，我們猜錯了?，F(xiàn)在你想說什么？

生：那第6 個完全數(shù)不可能是六位數(shù)了，因為第5 個完全數(shù)都已經(jīng)是八位數(shù)了，所以第6 個完全數(shù)一定不會是六位數(shù)。

師：有根據(jù)地說明自己的想法，好！第6 個完全數(shù)的尾數(shù)我們猜得對不對呢？

（教師出示第6個完全數(shù)：8589869056）

生：我們也猜錯了，尾數(shù)不是8。

生：竟然是十位數(shù)，真是太讓人吃驚了。

師：同學們有什么想說的嗎？

生：完全數(shù)一點規(guī)律都沒有。

生：我認為還是有一點規(guī)律的，至少我們能確定尾數(shù)不是6就是8。

師：同學們，我們是根據(jù)前4 個完全數(shù)所具有的數(shù)字特征和尾數(shù)特征來大膽地猜想第5、第6 個完全數(shù)的特征的。事實證明，有些規(guī)律我們猜錯了。這說明在數(shù)學中，僅僅靠猜想是不夠的！猜想之后必須要經(jīng)過嚴格的論證和驗證。尾數(shù)是6 或者8這一規(guī)律現(xiàn)在看還依然成立，但能確定對所有完全數(shù)一定是成立的嗎？

生：不確定。

師：數(shù)學的學習離不開猜想！在數(shù)學史上，好多定理都是先經(jīng)過數(shù)學家的大膽猜想，再經(jīng)過嚴格驗證得出的。所以，同學們依然要養(yǎng)成猜想的好習慣，這是非常寶貴的。要敢猜、敢想，最后再進行驗證。猜想能激發(fā)智慧，猜想能創(chuàng)造奇跡。

環(huán)節(jié)三：探究完全數(shù)的奇妙規(guī)律

師：讓我們再來回憶一下那個美妙的等式，6=1+2+3。這個等式實際是連續(xù)三個自然數(shù)的和。是不是很整齊、很好看呢？（生答）

師：讓我們再來看28這個完全數(shù)。按照完全數(shù)的定義，28=1+2+4+7+14。那么，我感到好奇的是，28能不能也像6這樣寫成幾個連續(xù)自然數(shù)的和呢？

生：哇，我算出來啦！28=1+2+3+4+5+6+7。

師：果然是這樣啊！你是按照連續(xù)自然數(shù)依次相加，最后發(fā)現(xiàn)加到7正好就是28了吧！這樣雖然不錯，但當我們不知道最后加到幾時，應該怎么辦呢？還有沒有更一般的方法呢？

生：我先把連加算式的最后一個數(shù)設為x，那么這個式子就是28=1+2+……+x。

師：好??！那怎樣得出x是幾呢？

生：可以把算式變成56=x（x+1），得出x=7。

生：等等，56=x（x+1）這個算式是怎么得到的？

生：是這樣的，我先把28=1+2+……+x 這個等式變形，變成28=x+……+2+1 這個等式的樣子。然后，我再把兩個等式的左邊和右邊分別相加。左邊相加肯定是56啦！再看右邊，每個對應的數(shù)相加都得到（x+1），有多少呢？一共有x個，就得到56=x（x+1）。

板書：

師：這位同學通過轉化，得到了這樣一個等式，這也叫方程吧！那怎么解這個方程呢？怎么求這里的x呢？我們可以看一下，這是兩個什么樣的數(shù)？

生：是兩個相鄰的自然數(shù)。

師：對呀！兩個相鄰的自然數(shù)的乘積等于56，這兩個數(shù)是幾呢？

生：七八五十六。

生：x是7。

師：是??！這樣，28就等于1+2+3+4+5+6+7。

師：那么，大家是不是也想把496 寫成連續(xù)的自然數(shù)的和的形式呢？

生：這個不難，列方程得到496=1+2+……+x。所以496=x（x+1）。

生：好像不對，等式右邊的x（x+1）是對的，左邊不是496，還要乘2。

師：是這樣嗎？咱們再回到剛才的式子看一看。等式右邊，為什么能有x 個（x+1）呢？是因為我們把上下兩個等式相加了。那等式左邊呢？

生：我們也要把它們相加，否則等式就不成立了。

師：是呀，496當然也要乘2??！好了，現(xiàn)在我們得到了992=x（x+1）這樣一個方程。又該怎么解呢？

生：這是兩個連續(xù)的自然數(shù)的乘積，我們只要算一算是哪兩個連續(xù)的自然數(shù)相乘就可以了。

生：我知道了。x（x+1）是兩個連續(xù)的自然數(shù)相乘，因為結果是900 多，所以這兩個自然數(shù)應該是三十幾。

師：對啊！三十幾乘三十幾就等于900多。到底是三十幾呢？

生：我覺得應該是31×32。因為我發(fā)現(xiàn)乘積的末尾是2，一二得二?。?/p>

生：我認為有可能是31×32，也有可能是38×39，因為它們相乘后，末尾都是2。

師：個位是2，這是個多重要的信息?。倓傆型瑢W說，還可能是38×39，那么，究竟是不是38×39呢？

生：我覺得38×39太大了，兩個數(shù)都接近40，再一相乘，得數(shù)就接近1600，不可能得992。

師：好??！那么這次咱們的思路究竟對不對呢？有了剛才的經(jīng)驗教訓，推理不一定完全正確。咱們還是驗證一下吧！

生：對啦！我算過了，31×32就是等于992。

生：所以，x=31。

生：496就等于1+2+3+……+31。

板書：

師：其實啊，同學們，在數(shù)學史上，完全數(shù)的發(fā)現(xiàn)經(jīng)歷了一個漫長的過程，截止到2018年，借助計算機，人們也才找到第51 個完全數(shù)。而關于完全數(shù)還有很多奧秘，你們課后可以繼續(xù)了解它，關注它，研究它。你會感覺學習數(shù)學其實很美妙，讓我們一起享受數(shù)學發(fā)現(xiàn)之美吧！

【育人意蘊解析】

本節(jié)課依托完全數(shù)的數(shù)學史料對其進行了深入挖掘，設計了三個探究環(huán)節(jié)：概括完全數(shù)的定義；猜想完全數(shù)的數(shù)字特征；探究完全數(shù)的奇妙規(guī)律。

在“概括完全數(shù)的定義”這一環(huán)節(jié)，教師首先通過一個非常精巧的等式模型，引出1+2+3=1×2×3=6這個數(shù)學事實。當學生驚奇地發(fā)現(xiàn)這個事實后，油然生發(fā)一種感嘆：多么奇妙而美麗的結論??！這不僅為激發(fā)學生的學習熱情創(chuàng)設了良好氛圍，也為引出6可以表示為它的三個真因子1、2、3的和做了巧妙鋪墊。事實上，這還為學生概括完全數(shù)的定義埋下了伏筆。進而，教師順勢引導學生探究10以內(nèi)、20 以內(nèi)自然數(shù)中是否存在如6 這樣的數(shù)。這個過程看似對于尋找第2個完全數(shù)28沒有實際意義，實則讓學生通過推理和驗證，來深化對完全數(shù)概念的理解，并且可以讓學生懷著既興奮又迫切的情緒積極地尋找如6 這樣的數(shù)。當學生帶著一絲隱隱的失落，依然鼓舞興致尋找30以內(nèi)是否存在如6這樣的數(shù)時，當28 這個數(shù)被學生次第發(fā)現(xiàn)時，可以想見，學生的興奮度陡然提升。至此，教師再宣布像6 和28 這樣的數(shù)在數(shù)學史上有一個漂亮的名字——完全數(shù)，學生就會對完全數(shù)生發(fā)一份熱愛。學生經(jīng)歷了這個豐厚的尋找和探究的過程，之后概括完全數(shù)的定義自然水到渠成了。

在“猜想完全數(shù)的數(shù)字特征”這一環(huán)節(jié)，教師先給出前4 個完全數(shù)——6、28、496、8128，接著讓學生認真觀察這四個數(shù)的數(shù)字特征，大膽猜想第5個和第6 個完全數(shù)具有怎樣的特征。這真是一個精巧的數(shù)學問題情境！這個問題情境是激發(fā)學生自覺發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的興趣和引導學生進行大膽猜想的一個絕妙的“誘餌”！所以，正像學生所發(fā)現(xiàn)和猜想的那樣：第5 個完全數(shù)應該是一個五位數(shù)，末尾數(shù)字是6，第6 個完全數(shù)是六位數(shù)，末尾數(shù)字是8。這是合情推理和歸納猜想，可謂無懈可擊！而當幾乎所有的學生都滿心興奮之時，教師將第5個完全數(shù)和第6個完全數(shù)陸續(xù)展現(xiàn)出來，學生一下子驚呆了——我們的猜想錯啦！正當學生處于失落與不解之時，教師不失時機地點撥學生——數(shù)學學習離不開猜想，但在數(shù)學中僅僅靠猜想是不夠的！猜想之后必須要經(jīng)過嚴格論證與驗證，等等?？梢哉f，這個猜想的過程既讓學生的詩性智慧縱情綻放，也使理性思維受到痛徹洗禮。對于學生的情感與思維來說，不啻經(jīng)歷一次“冰與火”的考驗！這才是曼妙的數(shù)學學習！而這個教學過程，是位于數(shù)學知識技能之上的對學生數(shù)學觀念與數(shù)學方法論的啟迪與塑造。這才是具有育人價值的數(shù)學課堂！

在“探究完全數(shù)的奇妙規(guī)律”這一環(huán)節(jié)，教師首先展示“6=1+2+3”這個表達式，讓學生發(fā)現(xiàn)這是一個連續(xù)自然數(shù)的和的形式結構，進而啟發(fā)學生探索28 是否也可以類似地寫成若干連續(xù)自然數(shù)的和?？梢韵胂螅瑢W生在將“28=1+2+4+7+14”改造為“28=1+2+3+4+5+6+7”的過程中不僅建立了數(shù)學模型，而且充分調(diào)動了數(shù)感，培養(yǎng)了數(shù)學直覺。而當教師追問是否還有更一般的方法解決這個問題時，學生又自然地想到設立未知數(shù)，這就在這一問題的解決過程中滲透了方程的思想。特別是學生推出56=x（x+1）這個關系式時，直面了一個非常好的數(shù)學問題——究竟如何求得x？雖然從表面上看這是一個一元二次方程，但x（x+1）所表示的實質(zhì)是兩個連續(xù)自然數(shù)的乘積，當學生從這個視角審視56=x（x+1）時，問題就迎刃而解了。無疑，對這個問題的探究與解決，必將培養(yǎng)學生思維的深刻性和變通性。

細細品味這三個問題的內(nèi)容結構設計：各個問題的子問題之間不僅具有嚴謹精妙的內(nèi)在邏輯，而且蘊含著豐富的數(shù)學思想，這不僅可以讓學生經(jīng)歷完滿的問題解決過程，還可以讓學生在這一過程中積累寶貴的數(shù)學活動經(jīng)驗，提升數(shù)學創(chuàng)造水平和素養(yǎng)，盡情享創(chuàng)數(shù)學發(fā)現(xiàn)的魅力。