借助數(shù)的過程 體會小數(shù)意義
——《小數(shù)的意義》教學實踐與思考

□陳婷婷 符玲利

【課前思考】

小學階段，有理數(shù)范圍內(nèi)的小數(shù)可以看作是十進分數(shù)的另一種形式，是按照十進制位值原則寫成的不帶分母形式的十進分數(shù)。在整數(shù)的十進制學習中，學生通過數(shù)小棒的過程能很直觀清晰地理解十進制原則。小數(shù)的形成過程是從整數(shù)到一位小數(shù)，再從一位小數(shù)到兩位、三位小數(shù)的平均細化的過程，這個過程比較抽象，對學生的學習有一定的難度。四年級的學生對整數(shù)的認知比較完整，知道整數(shù)可以數(shù)，但對小數(shù)的認知停留在“小數(shù)是十等分的結(jié)果，小數(shù)不一定能數(shù)”這一層面上。本課選擇用正方形和數(shù)軸作為思維表象的載體，通過平均分形象展現(xiàn)小數(shù)形成的過程；在數(shù)小數(shù)的過程中，感知小數(shù)即計數(shù)單位個數(shù)的累加，與整數(shù)計數(shù)相似，甚至與度量意識一致。

【課堂實踐】

（一）找準學生起點，利用直觀圖數(shù)一位小數(shù)

師：我們學過整數(shù)，整數(shù)可以一個一個數(shù)，十個十個數(shù)，小數(shù)能數(shù)嗎？

1.數(shù)0.3

師：我們在三年級學過小數(shù)，你能用圖表示出0.3嗎？

（生畫圖，之后教師出示如下作品，如圖1，全班交流）

師：哪個圖能數(shù)出0.3，為什么？

圖1

生：我認為③⑥都不能數(shù)出0.3，因為它們沒有平均分成10份，0.3要先平均分成10份，再數(shù)3份。

師：為什么要平均分成10份，數(shù)3份？

師：除了③⑥，剩下的圖中你是怎么數(shù)出0.3的？

生：把1平均分成10份，其中1份是0.1，2份就是0.2，3份就是0.3。

生：0.3 就是數(shù)3 個0.1，如④和⑤，只要數(shù)其中的3條或3格，就可以了；尺子上數(shù)3格（如①）就可以了。

師：這些圖形中都能數(shù)出0.3？

生：只要把1 個圖形平均分成10 份，1 份就是0.1，數(shù)這樣的3份就是0.3。

2.數(shù)其他一位小數(shù)

師：你還能數(shù)出哪些小數(shù)？

生：④的空白部分是0.7，一列是0.1，7列就是7個0.1，也就是0.7。

生：1 個0.1 是0.1，2 個0.1 就是0.2，3 個0.1 就是0.3。0.1，0.2，0.3……0.7，可以像整數(shù)一樣數(shù)。

師：繼續(xù)往下數(shù)，還能數(shù)出哪些小數(shù)？

生：0.8，0.9。8個0.1就是0.8，0.9就是9個0.1。師：再來一個0.1呢？

生：1，就是1個正方形。

生：1.0，10個0.1就是1.0。

3.再數(shù)一位小數(shù)

師：數(shù)軸上有很多的整數(shù)，我們在0和1之間取1個點（如圖2），想一想這個點可以用什么數(shù)表示？

圖2

生：小數(shù)，因為它比0 大，比1 小，0 和1 之間沒有整數(shù)了。

生：只要把1平均分成10份，看有幾份，這個點跟1比較接近，我猜大概是0.8吧。

生：先把0～1 這條線平均分成10 份，每份點好點，如果這個點剛好在分割點上，就可以數(shù)出來了。

師：這樣分你能數(shù)出小數(shù)嗎（如圖3）？

圖3

生：能數(shù)出來。一位小數(shù)需要平均分成10份，現(xiàn)在平均分成5 份，1 份就是2 個0.1，也就是0.2，0.2，0.4，0.6，0.8，是0.8。

師：你還能數(shù)出哪些小數(shù)，跟你的同桌說說看。

4.理一位小數(shù)

師：像這些小數(shù)，小數(shù)點的后面只有一個數(shù)字，稱為一位小數(shù)。

生：一位小數(shù)就是表示把1 平均分成10 份，數(shù)幾份就是零點幾，表示十分之幾。

（思考：“整數(shù)可以一個一個數(shù)，十個十個數(shù)，小數(shù)能數(shù)嗎”這一提問，開啟了學生的小數(shù)學習之旅。借助已有的小數(shù)知識經(jīng)驗體會細分的需求，學生在不斷數(shù)數(shù)的過程中，意識到小數(shù)的計數(shù)單位“0.1”后，0.1，0.2，0.3……0.9，就可以像數(shù)整數(shù)一樣數(shù)出來。而且繼續(xù)數(shù)下去就是1，進一步打通了小數(shù)與整數(shù)的聯(lián)系。再借助數(shù)軸這個模型，引導(dǎo)學生思考“五等分怎么數(shù)小數(shù)”，讓學生討論在同一單位“1”下五等分和十等分的聯(lián)系，打破了“只有十等分才能找到小數(shù)”的思維定式。）

（二）創(chuàng)造單位，溝通兩位小數(shù)，類推多位小數(shù)

師：用0.1可以數(shù)出所有的小數(shù)嗎？

1.創(chuàng)造單位

師：這里有一個正方形（被信封遮擋了一部分，如圖4），如果把這個正方形看成1 元，那么涂色部分是多少元？

圖4

生：正方形平均分成了10 列，每一列是0.1。涂色部分是這樣的7列，7個0.1就是0.7元。（師拿掉信封，出現(xiàn)如圖5所示正方形）生：這不是0.7，它比0.7 小，又比0.6大。

師：用0.1 數(shù)不出來了，能不能想辦法“數(shù)”出這個數(shù)？信封中有其他一些材料（如圖6），可能會對你有幫助。（1）反饋一。

圖5

圖6

生：我發(fā)現(xiàn)把正方形平均分成100個小格，1格就是0.01，數(shù)涂色部分有64 格，64 個0.01，就是0.64（如圖7）。

師：你的意思是0.1太大了不能數(shù)，可以把正方形分得更小一點（涂紅1格）。

（2）反饋二。

生：前面已經(jīng)有6 個0.1了，后面不足0.1,把這個0.1繼續(xù)平均分成10 份，1 小格就是0.01，數(shù)涂色部分有4格，就是0.04，合起來就是0.64（如圖8）。

師：（涂紅1格）這里的1小格表示多少？

生：0.01。

2.對比分析

師（出示圖9）：這兩種方法有什么異同點？

圖7

圖8

圖9

生：左邊這種方法是把1平均分成100份，其中的1 份是0.01；右邊這種方法是把0.1 再平均分成10份，也相當于把1平均分成100份。

生：左邊這種方法是數(shù)共有多少個0.01，像以前數(shù)整數(shù)的方法一樣，幾個1 就是幾，現(xiàn)在有幾個0.01，就是零點幾幾。右邊這種方法是先數(shù)0.1 的個數(shù)，再數(shù)0.01的個數(shù)。

師：小數(shù)數(shù)法與整數(shù)數(shù)法一樣嗎？

生：一樣的，10個0.01就是0.1，就是1條，先數(shù)有幾個0.1就是零點幾，再數(shù)更小的0.01的個數(shù)，合起來就是這個小數(shù)了。整數(shù)也是先數(shù)幾個百，再數(shù)幾個十，再數(shù)幾個一。

師：是的，小數(shù)的數(shù)法與整數(shù)相同，只是數(shù)數(shù)時用到的單位比原來的更小了。如果將這個小數(shù)放到數(shù)軸上，你能找到它的位置嗎？

生：在0和1之間平均分成100份，數(shù)64份就可以了。

生：0.6 和0.7 之間再平均分成10 份，1 份是0.01，在0.6 的右邊再數(shù)這樣的4 格就是0.64（如圖10）。

圖10

3.練中求聯(lián)

圖11

師（出示圖11）：上面的圖分別可以用哪個小數(shù)來表示？你是怎么數(shù)出來的？

生：第一幅圖中有20個0.01，即0.20，第二幅圖里有7個0.1，6個0.01，合起來就是0.76，第三幅圖中有6個0.1，是0.6。

生：第二幅圖還可以看作76 個0.01，合起來就是0.76。

生：只要看它1份是多少，再數(shù)幾份就可以了。

4.類推多位小數(shù)

師：我們已經(jīng)研究了一位小數(shù)、兩位小數(shù)，誰來猜測一下三位小數(shù)表示什么？

生：表示千分之幾。

師：什么情況下才產(chǎn)生三位小數(shù)？

生：把1 平均分成1000 份，其中的1 份就是0.001。

生：或者把0.01 再平均分成10 份，就能得到0.001。

師：你能列舉幾個三位小數(shù)嗎？

生：0.666……

師：0.666能數(shù)出來嗎？

生：只要數(shù)666個0.001就行。

生：先數(shù)6 個0.1，再數(shù)6 個0.01，最后數(shù)6 個0.001。

師：還能數(shù)出其他小數(shù)嗎？（繼續(xù)分，找到萬分之一、十萬分之一……再數(shù)。師在數(shù)位表上板書出來）

（思考：數(shù)著數(shù)著，學生發(fā)現(xiàn)用0.1 作為計數(shù)單位不可以數(shù)出所有的小數(shù)，通過繼續(xù)細分自主創(chuàng)造出新的計數(shù)單位0.01，并在對不同分法的對比分析中溝通內(nèi)在聯(lián)系，加深對新的計數(shù)單位0.01 的理解。學生利用新的計數(shù)單位數(shù)數(shù)，在不斷數(shù)的過程中，利用遷移類推，很自然地想到其他計數(shù)單位。）

（三）以形助數(shù)，感知數(shù)域擴充

1.平面分割

師：我們是怎么找到這些計數(shù)單位的？（課件出示圖12）

圖12

生：前一個計數(shù)單位再10等分，就能得到下一個計數(shù)單位。

生：每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率是10。

2.立體分割

師：如果用正方體表示1，你能想象0.1，0.01，0.001的樣子嗎？

生：把1個正方體平均分成10份，1層就是0.1，再把1層平均分成10份，1條就是0.01，再把1條平均分成10份，1小塊就是0.001（如圖13）。

圖13

3.感受聯(lián)系

師（出示圖14）：如果從右往左看，你又有什么發(fā)現(xiàn)？

圖14

生：10 個0.001 是0.01，10 個0.01 是0.1，10 個0.1是1，10個1是十，10個10是百……相鄰兩個單位之間的進率都是10。

生：從1 開始往左，是10 個10 數(shù)，從1 開始往右，是平均分成10份，一直往下分。

生：不管是小數(shù)，還是整數(shù)，都是10個10個數(shù)，就是數(shù)有多少個單位，跟面積計算、長度測量一樣，都是數(shù)單位的個數(shù)。

（思考：借助圖形，對整數(shù)與小數(shù)的計數(shù)單位進行梳理，既打通整數(shù)與小數(shù)的聯(lián)系，加深學生對十進制的理解，又讓學生體會到數(shù)的本質(zhì)即計數(shù)單位個數(shù)的累加，滲透極限思想。）

【教后反思】

（一）化虛為實，在數(shù)數(shù)中開啟小數(shù)認知

數(shù)是對數(shù)量的抽象，因此在認識數(shù)之前，首先要認識數(shù)量，而數(shù)量是實際背景中關(guān)于量多少的表達。在整數(shù)范圍內(nèi)，這種量是很容易被“數(shù)”出來的，依托整數(shù)學習經(jīng)驗，通過數(shù)數(shù)教學小數(shù)，可在序列增加或減少的數(shù)數(shù)過程中，凸顯計數(shù)單位，培養(yǎng)數(shù)感，豐富學生數(shù)的概念。小數(shù)的教學，要為學生提供充分的、可感知的現(xiàn)實背景，來幫助學生將數(shù)概念與它們所表示實際的量建立聯(lián)系，進一步理解小數(shù)的意義。

（二）細分微化，在數(shù)數(shù)中溝通計數(shù)單位

數(shù)的表征需要建立在數(shù)具體“數(shù)量”的基礎(chǔ)上，本課借助了正方形圖、數(shù)軸、米尺等素材，在直觀模型中“數(shù)”0.1，0.01……引導(dǎo)學生感知小數(shù)即十進分數(shù)，由若干個計數(shù)單位累加而成，建立小數(shù)與十進分數(shù)之間的聯(lián)系。在數(shù)數(shù)的過程中，引導(dǎo)學生體會到十進制計數(shù)規(guī)則下，不斷細分就能建立更小的計數(shù)單位。在數(shù)計數(shù)單位的過程中逐步實現(xiàn)對小數(shù)意義的理解。

（三）數(shù)形結(jié)合，在數(shù)數(shù)中理解小數(shù)意義

以小數(shù)計數(shù)單位的創(chuàng)建為主線，將數(shù)數(shù)活動貫穿于教學始終。整課緊緊圍繞“小數(shù)能數(shù)嗎”“怎么數(shù)”等問題，充分借助正方形的直觀圖來數(shù)數(shù)，將小數(shù)計數(shù)單位具體化、可視化。在利用正方形圖表征0.1 和0.01 后，借助數(shù)數(shù)，鞏固對計數(shù)單位的認識。如在正方形圖中0.1，0.1 地數(shù)，一直數(shù)到整數(shù)1，進而驗證10個0.1是1，建立“1”與0.1在形上的聯(lián)系。將正方形圖繼續(xù)分一分、數(shù)一數(shù)，自主創(chuàng)建新的計數(shù)單位“0.01”，利用新的計數(shù)單位數(shù)出兩位小數(shù)，并在對不同分法的對比分析中溝通內(nèi)在聯(lián)系，加深對小數(shù)意義的理解。