拓界而舒展 多聯(lián)而悟思*
——小學(xué)數(shù)學(xué)拓展性課程的開發(fā)策略探討

□張紅波

科技發(fā)展日新月異的今天，學(xué)生的學(xué)習(xí)途徑日益豐富，學(xué)習(xí)中體現(xiàn)出的區(qū)域特征、個(gè)性特點(diǎn)日漸明顯。原來的“教教材”的方式已經(jīng)不能很好地適應(yīng)現(xiàn)在的教學(xué)環(huán)境，因此，以學(xué)校為主體的、靈活可變的、有針對(duì)性的、適合深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)拓展課程應(yīng)運(yùn)而生。

一、拓展性課程的開發(fā)現(xiàn)狀

小學(xué)數(shù)學(xué)拓展課是指對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容進(jìn)行擴(kuò)充、開拓、延伸后展開教學(xué)的一種課型。根據(jù)學(xué)校特色和學(xué)生特點(diǎn)開設(shè)個(gè)性化的拓展性課程，可讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣和魅力，從而更為深入地理解、掌握并靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)，并為其可持續(xù)發(fā)展奠定良好基礎(chǔ)。

然而，受師資條件等所限，目前學(xué)校層面開展的數(shù)學(xué)拓展課程呈現(xiàn)良莠不齊的樣態(tài)，往往表現(xiàn)為“拓而不展”，只限于難題、偏題或怪題的解決，無知識(shí)體系的建構(gòu)；“展而無序”，內(nèi)容選擇、形式采用無序列，或拿來就用或隨意選用，沒有依據(jù)教學(xué)規(guī)律或?qū)W生實(shí)情進(jìn)行適切拓展；“活而不動(dòng)”，拓展課堂看似學(xué)習(xí)氣氛活躍，實(shí)則缺少數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、思維碰撞等體驗(yàn)活動(dòng)。

二、拓展性課程的建構(gòu)框架

課程的實(shí)施在于課的教學(xué)。學(xué)校搭建拓展性課程需要“腳手架”，作為日常數(shù)學(xué)課的延伸與補(bǔ)充，拓展性課程同樣需要以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)為核心，圍繞這一核心，可在內(nèi)容拓展、習(xí)得方法、體悟思想、方式革新等方面建構(gòu)課程體系（如圖1）。充分挖掘、盤活各種源于教材、高于教學(xué)的教學(xué)資源與學(xué)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生在探索中理解知識(shí)，拓寬數(shù)學(xué)視野，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，加強(qiáng)教學(xué)的有效性，提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)力。

圖1 拓展性課程建構(gòu)框架

三、拓展性課程的具體開發(fā)策略

教師要有效開發(fā)數(shù)學(xué)拓展課，在日常教學(xué)的基礎(chǔ)上，多維度、多途徑、多聯(lián)構(gòu)、多元化予以設(shè)計(jì)，讓拓展課成為一道別樣的風(fēng)景。

（一）多維鏈接，開拓視界

拓展性課程可突破教材的藩籬，多維度鏈接課內(nèi)外教學(xué)資源，開拓學(xué)生視野。

1.從教材到素材的銜接

基于教材體系的拓展性課程開發(fā)，不能只限于教材，教師要善于發(fā)掘，可將由習(xí)題延伸拓展出來的內(nèi)容設(shè)計(jì)為拓展課。如《長方體體積》一課中有這樣一道練習(xí)題（如圖2），原教學(xué)目標(biāo)是考查學(xué)生整體觀察信息以及信息轉(zhuǎn)化的能力。但深入挖掘此題，可以將其改造加工為“怎樣切割容積為最大”的拓展研究課，引導(dǎo)學(xué)生從去角法、剪拼法等不同角度進(jìn)行思考，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律。這就是對(duì)一道題目進(jìn)行挖掘與再造，組織學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的拓展課形成方式。

圖2

2.從課內(nèi)到課外的對(duì)接

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）要求學(xué)生面對(duì)實(shí)際問題，能主動(dòng)嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法尋求解決問題的策略。生活化的數(shù)學(xué)問題也是拓展性課程內(nèi)容的主要來源。目前關(guān)于數(shù)學(xué)閱讀的書籍有不少，教師可從中選擇適合學(xué)生的、生活化的數(shù)學(xué)問題，融入拓展性課程中，有效開拓學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光看世界的角度和方式。如從生活現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題：《生活中的圓》《包裝中的學(xué)問》；從自然界的神奇現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題：《動(dòng)物中的數(shù)學(xué)天才》《神奇的角度》；體現(xiàn)數(shù)學(xué)無處不在的《數(shù)學(xué)與音樂》《有趣的計(jì)時(shí)單位》等等，從課內(nèi)走向課外，不斷拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野。同時(shí)還可利用現(xiàn)代信息技術(shù)中的微音頻、微視頻，通過繪聲繪色的圖示音像，讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)就在我們身邊。

（二）多種途徑，習(xí)得方法

教師要打破數(shù)學(xué)拓展課單一的途徑，設(shè)計(jì)多樣態(tài)的課程形式。

1.學(xué)中悟——設(shè)計(jì)探究式拓展課

學(xué)生異想天開的天性與靈動(dòng)的思維能力往往使他們?cè)谡n堂上會(huì)有各種意想不到的發(fā)現(xiàn)與觀點(diǎn)。教師在課堂上除了為學(xué)生創(chuàng)設(shè)輕松和諧的學(xué)習(xí)氛圍外，還要善于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，抓住來自學(xué)生的稍縱即逝的思維火花智慧地進(jìn)行啟發(fā)，生成有價(jià)值的拓展性教學(xué)資源。

例如，在《圓柱的體積》一課中有這樣一道題：廣場(chǎng)的一側(cè)設(shè)有圓柱形擋車柱，擋車柱的側(cè)面積是25.12平方分米，地面半徑是1分米，這個(gè)擋車柱的體積是多少？

學(xué)生一般的解題思路是先求圓柱的高：25.12÷（2×3.14×1）=4（分米），再求圓柱體積：3.14×12×4=12.56（立方分米）。而有位學(xué)生提出了一種特殊的解法：25.12÷2×1=12.56（立方分米）。

顯然，第二種方法不僅溝通了圓柱與近似長方形之間的關(guān)系，而且巧妙地把長方體側(cè)放，利用直柱體的通用體積計(jì)算方法（底面積乘高）輕松解答。小小的一個(gè)變式，使復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單化。我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中還有哪些像這樣的小竅門呢？中高年級(jí)的拓展課可以創(chuàng)設(shè)類似的探究式拓展課，讓學(xué)生通過探究諸多數(shù)學(xué)現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，以產(chǎn)生“類”的共鳴：轉(zhuǎn)化法、歸一法、數(shù)形結(jié)合等，以簡(jiǎn)馭繁。這其實(shí)是數(shù)學(xué)建模能力的一種培養(yǎng)，通過數(shù)學(xué)操作、比較分析、方法提煉，使學(xué)生建立起知識(shí)與應(yīng)用的橋梁，抽象出眾多表象后的數(shù)學(xué)思想方法。教師要有意識(shí)地設(shè)計(jì)諸如此類的拓展題，以啟迪學(xué)生的智慧，使其更為靈活地學(xué)數(shù)學(xué)。

2.做中思——設(shè)計(jì)項(xiàng)目式拓展課

圖3

以項(xiàng)目為引導(dǎo)的任務(wù)驅(qū)動(dòng)型小課題也是拓展性課程的一種形式，它可以是基于社會(huì)生活實(shí)踐的研究，也可以是基于課本內(nèi)容的延伸，如在學(xué)習(xí)了平行四邊形的面積后，可以引導(dǎo)學(xué)生開展“車位小研究”的活動(dòng)，研究為什么生活中有的車位是長方形的，而有的車位是平行四邊形的，這其中有什么奧秘嗎？學(xué)生在活動(dòng)中展現(xiàn)出不同的思維方式、別樣的思考角度（如圖4），為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)作了精彩的演繹。

圖4

深度學(xué)習(xí)是學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)樂趣、減輕數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的路徑之一。教師可以和學(xué)生一起商定研究主題，制定研究方案，并搭建交流平臺(tái)。引導(dǎo)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)、圖書館等平臺(tái)查閱資料，開展調(diào)查研究，形成研究性材料。在課題成果匯報(bào)交流中，學(xué)生之間相互補(bǔ)充完善，教師在方法上予以必要的指導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生帶著數(shù)學(xué)的眼光從生活中發(fā)現(xiàn)問題、研究問題的能力。教師還可以利用微信公眾號(hào)，推廣學(xué)生的研究小成果，以提高拓展性課程的價(jià)值。

（三）多重聯(lián)構(gòu)，體悟思想

教師可以教材中的“你知道嗎”這一欄目為基點(diǎn)，適當(dāng)加以拓展，通過數(shù)學(xué)中的經(jīng)典問題或是數(shù)學(xué)文化，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)的興趣，體悟數(shù)學(xué)思想的精妙之處。

1.與經(jīng)典同頻，感悟數(shù)學(xué)之美

教師可對(duì)教材中的數(shù)學(xué)經(jīng)典問題進(jìn)行挖掘，結(jié)合不同階段的數(shù)學(xué)知識(shí)加以有機(jī)滲透，以豐厚數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。如人教版六年級(jí)上冊(cè)《比》這一單元的“你知道嗎”欄目中介紹了黃金比這一知識(shí)，教師可以布置這樣一項(xiàng)課外作業(yè)——“尋找生活中的黃金比”。學(xué)生通過查找材料會(huì)發(fā)現(xiàn)這一經(jīng)典問題的無窮魅力。教師可以在此基礎(chǔ)上展開教學(xué)：從數(shù)與形中感受黃金比例的簡(jiǎn)潔美；從生活現(xiàn)象、植物世界以及著名建筑如法國的巴黎圣母院、埃及的金字塔等感受黃金比例的形式美；乃至在藝術(shù)、軍事等各個(gè)領(lǐng)域中都用到了與黃金比例相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生充分感受在生活中數(shù)學(xué)所蘊(yùn)藏的“美”和奇妙之處。

2.以文化感人，傳遞數(shù)學(xué)思想

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)文化作為教材的組成部分，應(yīng)滲透在整套教材中?！蹦敲磾?shù)學(xué)文化的表現(xiàn)形態(tài)是否可以從以下兩個(gè)方面去理解？一是體現(xiàn)與數(shù)學(xué)內(nèi)外聯(lián)系的事物或?qū)ο?。如?shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展史、數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生背景、數(shù)學(xué)家的故事以及數(shù)學(xué)在日常生活和其他領(lǐng)域中的應(yīng)用；二是蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)意識(shí)形態(tài)和精神領(lǐng)域的因素。如數(shù)學(xué)知識(shí)的形成、發(fā)展和應(yīng)用過程之中的數(shù)學(xué)思想、方法、觀念、意識(shí)、精神和數(shù)學(xué)美等。

數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生發(fā)展的過程也是數(shù)學(xué)文化的一部分，數(shù)的產(chǎn)生就是一個(gè)很有結(jié)構(gòu)的序列，從石頭結(jié)繩記數(shù)產(chǎn)生自然數(shù)開始，發(fā)展到小數(shù)、分?jǐn)?shù)，因?yàn)樯a(chǎn)生活的需要，數(shù)的分支越來越豐富，越來越細(xì)致。分?jǐn)?shù)是學(xué)生在小學(xué)階段第一次接觸到的非整數(shù)的新的數(shù)學(xué)知識(shí)，因此給學(xué)生介紹分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生，既能幫助學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的意義有更深的認(rèn)識(shí)，又能了解分?jǐn)?shù)在產(chǎn)生發(fā)展的過程中經(jīng)歷了哪些變化。分?jǐn)?shù)本身是非常抽象的概念，通過圖文并茂的講解，數(shù)形結(jié)合，學(xué)生對(duì)此會(huì)有全新的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)拓展教學(xué)不僅應(yīng)當(dāng)關(guān)注那些顯性的數(shù)學(xué)知識(shí)本身，還應(yīng)特別關(guān)注那些隱性的數(shù)學(xué)思想，需要把兩者的教學(xué)有機(jī)融合起來，才能使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)，獲得對(duì)數(shù)學(xué)的完整認(rèn)識(shí)。

（四）多元活動(dòng)，提升素養(yǎng)

信息化時(shí)代的現(xiàn)今，數(shù)學(xué)豐盈的活動(dòng)彰顯了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的多樣性。

1.設(shè)計(jì)“數(shù)學(xué)節(jié)”式拓展課，全方位感受數(shù)學(xué)的魅力

可以利用每年的3 月14 日——π 日所在的一周專門開設(shè)數(shù)學(xué)節(jié)，讓每一個(gè)孩子感受數(shù)學(xué)的魅力、享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣是開設(shè)數(shù)學(xué)節(jié)活動(dòng)最大的價(jià)值所在。數(shù)學(xué)節(jié)活動(dòng)可以形式多樣，內(nèi)容豐富。可以是現(xiàn)場(chǎng)操作競(jìng)技類的活動(dòng)，如低年級(jí)的“七巧板拼圖”、中年級(jí)的“酷玩魔方”、高年級(jí)的“數(shù)獨(dú)游戲”等，也可以是“數(shù)學(xué)手抄報(bào)”“制作微課”“數(shù)學(xué)論文”等專題專項(xiàng)活動(dòng)，還可以穿插數(shù)學(xué)課外知識(shí)專題講座、名題欣賞、數(shù)學(xué)家圖片展等活動(dòng)?；顒?dòng)設(shè)計(jì)重在體現(xiàn)“基礎(chǔ)性”“全員性”“參與性”“操作性”“探究性”，重在激發(fā)興趣，感悟數(shù)學(xué)思想方法。讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)的魅力，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的熱情。

2.設(shè)計(jì)“微課程”式拓展課，全視角留存數(shù)學(xué)的美妙

微課作為一種新型的教學(xué)方式，已越來越被廣大教師所重視，數(shù)學(xué)拓展內(nèi)容的微課程開發(fā)本身就可以作為拓展課的一部分。教師應(yīng)精選輔助材料，拓展學(xué)習(xí)空間，開發(fā)一些學(xué)生喜歡的、有趣的學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生參與錄制。如制作數(shù)學(xué)經(jīng)典“斐波那契數(shù)列”微課或者錄制有關(guān)數(shù)學(xué)名題解析的視頻等，既是課程的學(xué)習(xí)資源，又是課程內(nèi)容之一，也為后續(xù)拓展課程資源的開發(fā)作了很好的素材積累。

綜上所述，數(shù)學(xué)拓展課實(shí)施策略的開發(fā)，既為其應(yīng)用提供了保障，也使教師對(duì)數(shù)學(xué)拓展課的認(rèn)知更為準(zhǔn)確而深入，促使課程價(jià)值的實(shí)現(xiàn)得以最大化。