圖論及其應(yīng)用課程混合式教學(xué)改革探索

鄧凱 朱立軍

[關(guān)鍵詞]圖論及其應(yīng)用課程;混合式教學(xué);教學(xué)改革

一、圖論及其應(yīng)用課程的特點(diǎn)

圖論以集合元素間某種二元關(guān)系生成的拓?fù)鋱D形為研究對(duì)象，集合中的元素叫作圖的頂點(diǎn)，兩個(gè)頂點(diǎn)之間連邊當(dāng)且僅當(dāng)它們具有二元關(guān)系。任何一個(gè)包含了某種二元關(guān)系的系統(tǒng)都可以用圖論的方法來分析，而且它具有形象直觀的特點(diǎn)[1]。許多問題常常難以應(yīng)用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法解決，然而簡單的圖論模型卻能直觀地解釋這些問題，并由此給出解決問題的方法或途徑。一個(gè)著名的例子就是歐拉1736 年解決的哥尼斯堡七橋問題，該問題也被公認(rèn)為是圖論學(xué)科的起源。社會(huì)生產(chǎn)對(duì)一門學(xué)科的需求程度才是這門學(xué)科發(fā)展快慢的決定性因素[2]，由生產(chǎn)管理、交通運(yùn)輸、通信網(wǎng)絡(luò)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等方面的需要而提出的一系列問題促進(jìn)了圖論的發(fā)展。特別是20世紀(jì)50年代以來，計(jì)算機(jī)科學(xué)的迅速發(fā)展使得大規(guī)模計(jì)算成為可能，圖論學(xué)科也隨之蓬勃發(fā)展，其標(biāo)志性事件就是四色猜想的計(jì)算機(jī)證明。經(jīng)過200多年的發(fā)展，圖論已經(jīng)發(fā)展成為一個(gè)理論與應(yīng)用兼有的數(shù)學(xué)領(lǐng)域[3]，在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用，因此許多大學(xué)為數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)等相關(guān)專業(yè)本科生開設(shè)了圖論及其應(yīng)用課程。

圖論是離散數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它有自己特有的理論和研究方法，是其他數(shù)學(xué)分支所不能代替的[1]。圖論及其應(yīng)用課程中需要學(xué)習(xí)的概念和結(jié)論較多，幾乎每節(jié)課都有新的概念引入，教學(xué)內(nèi)容常常被分成獨(dú)立的專題形式，例如樹、平面圖、染色、匹配、歐拉圖與Hamilton圖、網(wǎng)絡(luò)流等，這也是圖論“離散”的表現(xiàn)。圖論也是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)當(dāng)中很抽象的部分[2]，然而圖論問題都有直觀形象的圖形表示，但是必須用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言進(jìn)行表述和推導(dǎo)，其中蘊(yùn)含了深刻的數(shù)學(xué)理論和結(jié)果，許多問題都是公開的數(shù)學(xué)難題，例如同構(gòu)圖的判定、四色定理的數(shù)學(xué)證明、色數(shù)的確定、Hamilton圖的刻畫等。圖論與實(shí)際問題的緊密聯(lián)系使得它的另一個(gè)特點(diǎn)是交叉融合應(yīng)用性強(qiáng)，大量算法的出現(xiàn)是這個(gè)特點(diǎn)的集中表現(xiàn)，例如最短路算法、深度優(yōu)先算法、廣度優(yōu)先算法、平面性判別算法、最優(yōu)樹算法、最佳匹配算法、網(wǎng)絡(luò)流算法等。這些算法是圖論及其應(yīng)用課程教學(xué)中不可忽視的重要內(nèi)容，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力大有好處。

由此可見，圖論及其應(yīng)用課程具有三個(gè)顯著的特點(diǎn)：內(nèi)容多且離散、表象簡單內(nèi)里復(fù)雜、交叉融合應(yīng)用性強(qiáng)。

二、圖論及其應(yīng)用課程的教學(xué)現(xiàn)狀

圖論及其應(yīng)用課程的教學(xué)目的是使學(xué)生理解和掌握?qǐng)D論的基本概念和思想，會(huì)運(yùn)用圖論方法分析和解決實(shí)際或理論問題，基于課程學(xué)習(xí)培養(yǎng)一定的實(shí)踐和創(chuàng)新能力。筆者在教學(xué)實(shí)踐中有這樣一些體會(huì)，內(nèi)容多且離散的特點(diǎn)使得圖論課上需要介紹的定義或概念較多，解決問題的辦法和定理的證明方法適用范圍小，不能統(tǒng)一概括，上課時(shí)需要不斷引入新概念和解釋新問題，留給學(xué)生思考和消化的時(shí)間較少，師生互動(dòng)少。課后不少學(xué)生反饋課堂的信息量太大不易接受。傳統(tǒng)的改進(jìn)方式是要求學(xué)生在課下完成一些簡單基礎(chǔ)概念和知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，課上以啟發(fā)式教學(xué)和探究式教學(xué)為主引導(dǎo)學(xué)生完成課程學(xué)習(xí)，但是由于學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)差異大、自主學(xué)習(xí)能力有限以及缺乏有效監(jiān)督和師生互動(dòng)少等原因，教學(xué)效果不佳。

許多圖論問題源于數(shù)學(xué)游戲和實(shí)際問題，建立圖論模型后變得直觀易懂，不需要大量的預(yù)備知識(shí)也能理解，這也是圖論最吸引人的地方。這種表象簡單的特點(diǎn)，有利于引入概念或問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。但是解決一般性的問題往往需要深刻的數(shù)學(xué)理論支持，因此要用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言概括或抽象表述成定義、定理或結(jié)論，進(jìn)行嚴(yán)格的推理和證明，用數(shù)學(xué)的思維方式教數(shù)學(xué)比較適合這部分的教學(xué)[4]。然而，相應(yīng)的課程難度也會(huì)增加，例如講解染色時(shí)，四色問題作為重要且有趣的引入實(shí)例能很好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，很多學(xué)生躍躍欲試，但是后繼學(xué)習(xí)中染色問題的困難程度及其獨(dú)特的思考方式和證明方法，使得學(xué)習(xí)難度加大，課堂又變成“老師講，學(xué)生聽”的模式。課程內(nèi)容表象簡單內(nèi)里復(fù)雜的特點(diǎn)容易形成反差，打擊學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，影響教學(xué)效果，怎樣解決此類問題是值得思考的。

交叉融合應(yīng)用性強(qiáng)是圖論學(xué)科的重要特點(diǎn)，教學(xué)中應(yīng)該有所體現(xiàn)。僅簡單地介紹交叉應(yīng)用的大方向，而不深入講解具體內(nèi)容，給人的感覺是“意猶未盡”，沒有完成教學(xué)任務(wù)，但是面面俱到地講解應(yīng)用的各個(gè)方面也不可行?，F(xiàn)行的做法是挑選幾個(gè)應(yīng)用專題深入學(xué)習(xí)，但是講解大都是以實(shí)際問題建立圖論模型為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)，而關(guān)于其他學(xué)科的需求和發(fā)展及其對(duì)圖論發(fā)展的影響和推動(dòng)介紹得較少。例如在匹配問題的教學(xué)中，必要的基礎(chǔ)理論學(xué)習(xí)通常包括Berge 定理、Hall 定理、K?nig定理和Tutte定理，應(yīng)用方面主要介紹求最大匹配的匈牙利算法、求最佳匹配的KM算法和一般圖上求最大匹配的開花算法等。有關(guān)匹配在其他學(xué)科中的交叉應(yīng)用，以及這些學(xué)科如何促進(jìn)圖論的發(fā)展等問題在課堂上沒有體現(xiàn)或僅僅只是泛泛地提及，學(xué)生聽完課只知道匹配的應(yīng)用背景很強(qiáng)，但是不清楚其具體情況，因此感覺很“空洞”。有關(guān)圖論算法的講解也多限于理論分析，相關(guān)教學(xué)常常注重算法正確性的證明和算法復(fù)雜性的分析，缺乏應(yīng)用實(shí)踐方面的學(xué)習(xí)。

綜上所述，“教師+課堂”的傳統(tǒng)教學(xué)方式不能有效解決教學(xué)實(shí)踐中所反映出來的一些問題。下面討論將混合式學(xué)習(xí)引入圖論及其應(yīng)用的課程教學(xué)中，探索有效的教學(xué)方式，以期提升教學(xué)質(zhì)量。

三、基于混合式學(xué)習(xí)的圖論及其應(yīng)用課程教學(xué)

隨著信息技術(shù)的不斷發(fā)展，以“互聯(lián)網(wǎng)+”為基本特征的學(xué)習(xí)模式使得知識(shí)獲取的方式發(fā)生了根本性的變化，教與學(xué)不再受時(shí)間、地點(diǎn)、人員等條件的限制，教育教學(xué)模式正在經(jīng)歷深刻的變革[5]。大學(xué)課程教學(xué)改革的中心已經(jīng)從教學(xué)方法的改進(jìn)轉(zhuǎn)向教學(xué)模式的改變[6]，混合式教學(xué)是技術(shù)提升教育的必然發(fā)展方向，是有效解決教學(xué)難題的最佳選擇[7]。教育過程信息化改革是教育信息化的核心構(gòu)成，混合式教學(xué)成為穩(wěn)步推進(jìn)教學(xué)信息化進(jìn)程中一個(gè)具有現(xiàn)實(shí)性和必要性的選擇與過程[8]。何克抗指出，混合式教學(xué)就是把傳統(tǒng)學(xué)習(xí)方式的優(yōu)勢和網(wǎng)絡(luò)化學(xué)習(xí)的優(yōu)勢結(jié)合起來，也就是既要發(fā)揮教師引導(dǎo)、啟發(fā)、監(jiān)控教學(xué)過程的主導(dǎo)作用，又要充分體現(xiàn)學(xué)生作為學(xué)習(xí)過程的主體的主動(dòng)性、積極性和創(chuàng)造性[9]。李逢慶認(rèn)為，混合式教學(xué)是在適當(dāng)?shù)臅r(shí)間，通過應(yīng)用適當(dāng)?shù)拿襟w技術(shù)，提供與適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)環(huán)境相契合的資源和活動(dòng)，讓適當(dāng)?shù)膶W(xué)生形成適當(dāng)?shù)哪芰?，從而取得最?yōu)化教學(xué)效果的教學(xué)方式[10]。

因此，筆者嘗試將混合式學(xué)習(xí)引入圖論及其應(yīng)用課程教學(xué)，探索網(wǎng)絡(luò)教學(xué)與課堂教學(xué)有效結(jié)合的方式，綜合運(yùn)用多種教學(xué)方法引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，通過多種途徑提高教學(xué)質(zhì)量。

（一）網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)

1. 精心準(zhǔn)備教學(xué)資料，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容

網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的主體是學(xué)生，其實(shí)施過程是教師依據(jù)教學(xué)目標(biāo)設(shè)定學(xué)習(xí)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生開展自主學(xué)習(xí)。認(rèn)知科學(xué)家的研究表明，主動(dòng)學(xué)習(xí)是促進(jìn)知識(shí)由短期記憶轉(zhuǎn)化為長期記憶的最佳方式[11]。但是，數(shù)學(xué)類課程內(nèi)容并不是全部都適合自主學(xué)習(xí)[12]，因此要鉆研教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合學(xué)生實(shí)際，選擇適合學(xué)生自主學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識(shí)，將教學(xué)內(nèi)容分解成相對(duì)獨(dú)立的知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)教學(xué)需要制作精簡易懂的短視頻或?qū)W習(xí)材料。例如學(xué)習(xí)圖的基本概念時(shí)，可以考慮將教學(xué)內(nèi)容分解成三個(gè)主要的知識(shí)點(diǎn)即圖的定義、度和定理、圖的同構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生圍繞這三個(gè)方面展開自主學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)資料既要利用圖論形象直觀的特點(diǎn)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又要遵循數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般規(guī)律注重嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拿枋龊屯评?。利用視頻資料可視化的優(yōu)點(diǎn)，演示一個(gè)畫圖的動(dòng)態(tài)過程，引起學(xué)生的興趣，再展示一些有趣的圖，然后引出圖的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義。這樣的安排既可以避免用特殊圖示代替嚴(yán)格圖定義的學(xué)習(xí)誤區(qū)，又可以加深學(xué)生對(duì)由頂點(diǎn)集、邊集和關(guān)聯(lián)函數(shù)構(gòu)成的三元組確定的嚴(yán)格的圖定義的理解，從而使學(xué)生意識(shí)到圖論中的圖僅關(guān)注頂點(diǎn)之間的連接關(guān)系，對(duì)頂點(diǎn)的位置、邊的長短曲直不做要求，為后面學(xué)習(xí)圖的同構(gòu)概念做好鋪墊，學(xué)生也能感受到知識(shí)點(diǎn)之間潛在的聯(lián)系，有利于使學(xué)生產(chǎn)生更多的聯(lián)想和思考。

只有在學(xué)習(xí)者承擔(dān)了合適的任務(wù)，并知道應(yīng)該怎么做的時(shí)候，有效的學(xué)習(xí)才會(huì)發(fā)生[13]。因此教師要針對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容設(shè)計(jì)難度適當(dāng)?shù)木毩?xí)。練習(xí)不僅可以幫助學(xué)生自查學(xué)習(xí)效果，促進(jìn)知識(shí)的理解和吸收，也可以反映學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，為教師后續(xù)的課堂設(shè)計(jì)提供參考，彌補(bǔ)不足。練習(xí)的設(shè)計(jì)應(yīng)充分利用圖論的趣味性，吸引學(xué)生積極參與練習(xí)。例如學(xué)習(xí)度和定理之后可設(shè)計(jì)這樣一個(gè)問題：在某次宴會(huì)上，與奇數(shù)個(gè)人握手的人數(shù)必定是偶數(shù)。對(duì)初學(xué)者來講，理解這樣的問題是有一定難度的，此時(shí)可以設(shè)計(jì)簡單的提示環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生將參加宴會(huì)的人抽象成頂點(diǎn)，連邊由握手關(guān)系而定，建立圖論模型，再應(yīng)用度和公式解決問題。由此提出“握手定理”，這種形象的名稱有利于進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)度和定理的理解。

針對(duì)圖論及其應(yīng)用課程內(nèi)容多且離散的特點(diǎn)，通過合理安排網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)，利用過程性評(píng)價(jià)等監(jiān)督方式，引導(dǎo)學(xué)生完成基本的定義和概念的學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)常用的數(shù)學(xué)符號(hào)，熟悉基本定理和結(jié)論，為后續(xù)的課堂教學(xué)打好基礎(chǔ)。

2.利用網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)開展有效的師生互動(dòng)

利用網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)不受固定時(shí)間和地點(diǎn)限制的優(yōu)勢，采取有效的方式鼓勵(lì)學(xué)生提問或發(fā)表個(gè)人見解，通過網(wǎng)絡(luò)互動(dòng)的方式發(fā)揮課堂“面對(duì)面”教學(xué)模式的優(yōu)勢。通過有效的互動(dòng)，全面了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，尊重個(gè)體差異，因材施教。利用網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)進(jìn)行個(gè)性化的指導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生意識(shí)到圖論及其應(yīng)用課程表象簡單內(nèi)里復(fù)雜的特點(diǎn)，逐步從記定義—證定理—做練習(xí)的被動(dòng)學(xué)習(xí)模式轉(zhuǎn)變成發(fā)現(xiàn)問題—分析問題—解決問題的主動(dòng)學(xué)習(xí)模式。

3. 拓展教學(xué)內(nèi)容范圍，實(shí)現(xiàn)深層次學(xué)習(xí)

傳統(tǒng)的課堂教學(xué)難以反映圖論學(xué)科動(dòng)態(tài)發(fā)展的特點(diǎn)，教學(xué)內(nèi)容陳舊跟不上學(xué)科的前沿進(jìn)展，教學(xué)大綱設(shè)定的專題學(xué)習(xí)內(nèi)容較少且多以理論介紹為主，算法應(yīng)用實(shí)踐少，學(xué)習(xí)層次較淺。網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)為拓展教學(xué)內(nèi)容范圍提供了條件，為實(shí)現(xiàn)深層次學(xué)習(xí)提供了資源。拓展教學(xué)內(nèi)容不是簡單把大量學(xué)習(xí)資料上傳，其目的是豐富學(xué)生的知識(shí)體系，幫助學(xué)生更好地了解圖論的研究背景和發(fā)展?fàn)顩r，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在豐富網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)資料的基礎(chǔ)上，教師作為教學(xué)的主導(dǎo)者，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)與知識(shí)點(diǎn)密切相關(guān)的學(xué)習(xí)資料，以便于學(xué)生把教學(xué)內(nèi)容與閱讀材料有機(jī)地結(jié)合起來，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生閱讀更多文獻(xiàn)資料的興趣。

網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)不能僅限于拓展學(xué)習(xí)內(nèi)容范圍，不能只是簡單地閱讀資料而停留在淺層次的學(xué)習(xí)水平。教師可以根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行個(gè)性化指導(dǎo)，選擇合適的專業(yè)學(xué)習(xí)資料推薦給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生深入自己感興趣的某個(gè)方向繼續(xù)學(xué)習(xí)，并隨著學(xué)習(xí)的深入和學(xué)習(xí)能力的提高，具備自己查閱文獻(xiàn)資料研究科學(xué)問題的能力，進(jìn)而結(jié)合畢業(yè)論文、大學(xué)生創(chuàng)新項(xiàng)目、參與教師科研項(xiàng)目、算法設(shè)計(jì)等學(xué)習(xí)活動(dòng)，提升學(xué)生的創(chuàng)新能力和應(yīng)用實(shí)踐能力，達(dá)到培養(yǎng)高素質(zhì)人才的目的。

（二）課堂教學(xué)

1. 將課堂教學(xué)與網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)有機(jī)結(jié)合起來，提升教學(xué)質(zhì)量

根據(jù)學(xué)生網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)情況，教師要設(shè)計(jì)符合實(shí)際的課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，提前公布課堂教學(xué)活動(dòng)安排和討論主題，讓學(xué)生做好充分準(zhǔn)備，帶著問題進(jìn)入課堂。通過網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)課堂教學(xué)中涉及的基礎(chǔ)知識(shí)已經(jīng)有所了解，因此課堂教學(xué)中可以不展開講這些知識(shí)點(diǎn)，但是教學(xué)實(shí)踐表明學(xué)生對(duì)一些基礎(chǔ)知識(shí)的理解仍然較淺。教師應(yīng)該根據(jù)自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)這些內(nèi)容，這個(gè)過程不是簡單重復(fù)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，而是引導(dǎo)學(xué)生加深理解，提升思維的層次，使學(xué)生確實(shí)意識(shí)到自己的不足，激發(fā)學(xué)生課堂聽課的興趣和積極性。例如課堂教學(xué)要強(qiáng)調(diào)圖的數(shù)學(xué)定義，因?yàn)閳D示直觀形象的特點(diǎn)，容易使學(xué)生對(duì)圖的學(xué)習(xí)只是限于表面的觀察，而忽略了對(duì)圖的數(shù)學(xué)定義的思考，導(dǎo)致對(duì)圖的拓?fù)湫再|(zhì)缺乏理解。圖論學(xué)習(xí)中有不少類似的情況，教師要結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，將課堂教學(xué)和網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)有機(jī)地結(jié)合起來，使學(xué)生更好地理解和掌握所學(xué)知識(shí)。

2. 選講學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)，注重學(xué)生專業(yè)思維培養(yǎng)

通過網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)熟悉了課程學(xué)習(xí)的基本內(nèi)容、數(shù)學(xué)符號(hào)、主要結(jié)論和證明。因此在課堂教學(xué)中主要強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)重點(diǎn)，解決學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生理解知識(shí)以及發(fā)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，勤思考，多總結(jié)，以期達(dá)到融會(huì)貫通的效果。

一些定理的證明是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)也是重點(diǎn)，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和創(chuàng)新能力的有效途徑。教學(xué)實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)證明的自主學(xué)習(xí)效果往往不佳，因此必須結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，在課堂教學(xué)中選講一些重要的和難學(xué)的證明。學(xué)生常常直接閱讀定理的證明，忽略發(fā)現(xiàn)問題和分析問題的環(huán)節(jié)，直接跳到解決問題的環(huán)節(jié)。學(xué)生雖然知道了定理證明的具體內(nèi)容，感覺似乎明白了，但是由于沒有經(jīng)歷探索和思考的過程，一旦獨(dú)自處理問題就會(huì)不知所措。教師在課堂教學(xué)中要講明白一個(gè)定理的來龍去脈，即講清楚該定理是怎么發(fā)現(xiàn)的，有什么實(shí)際背景，如何把實(shí)際觀察到的規(guī)律抽象表述成定理，深入分析可以應(yīng)用哪些公理、定義或已知結(jié)果進(jìn)行邏輯推理嚴(yán)格證明，最后說明該定理的意義及應(yīng)用。教師通過這樣的方式，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)發(fā)現(xiàn)問題—分析問題—解決問題的完整的探索過程，從而提升邏輯思維能力和創(chuàng)新能力。需要注意的是，圖論的一些結(jié)論的證明有很強(qiáng)的技巧性，難度大，不易理解，教師要認(rèn)真梳理證明思路，將問題轉(zhuǎn)化成有邏輯聯(lián)系的若干小結(jié)論，按照一定的證明主線，應(yīng)用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法逐步進(jìn)行講解，并板書證明的過程。

3. 高效組織課堂，重視師生交流

課堂組織是教學(xué)的一個(gè)重要方面，混合教學(xué)模式下教師作為教學(xué)的主導(dǎo)者，除了要合理安排課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容，更重要的是要組織引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地參與學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識(shí)。分組學(xué)習(xí)是一種簡單有效的課堂組織形式，不僅便于教師組織教學(xué)，而且有利于學(xué)生之間進(jìn)行協(xié)作與交流，開展現(xiàn)場教學(xué)。例如學(xué)到“握手定理”時(shí)，可以設(shè)計(jì)現(xiàn)場實(shí)踐活動(dòng)，請(qǐng)每個(gè)學(xué)習(xí)小組內(nèi)的學(xué)生之間隨意握手，并將握手結(jié)果轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的圖示。因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)知道握手定理的結(jié)論，所以自然會(huì)觀察到奇度頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)總是偶數(shù)。教師可以參與到每一組中與若干學(xué)生握手，有意識(shí)地與奇數(shù)個(gè)或偶數(shù)個(gè)學(xué)生握手，讓學(xué)生得到新的圖示，教師再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際觀察到的規(guī)律凝練成數(shù)學(xué)結(jié)論，利用度和定理給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。這樣的實(shí)踐過程既可以鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力和實(shí)踐創(chuàng)新能力，可以增進(jìn)學(xué)生與學(xué)生之間、學(xué)生與老師之間的情感交流，拉近師生距離，營造良好的學(xué)習(xí)氛圍，有利于很好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)提升教學(xué)效果。

網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)不能完全替代教師的課堂教學(xué)[10]，面對(duì)面課堂教學(xué)中學(xué)生與學(xué)生、教師與學(xué)生之間的情感交流是網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)所不具有的優(yōu)勢。課堂教學(xué)活動(dòng)中教師所表現(xiàn)出來的個(gè)人魅力、學(xué)術(shù)能力、情感表達(dá)等方面都對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有著很大影響，正所謂言傳身教。教師與學(xué)生之間的討論、對(duì)話以及學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和方法上的交流，包括教學(xué)管理與監(jiān)督等各個(gè)方面都有情感交流。隨著教學(xué)的深入，師生之間會(huì)產(chǎn)生一些思想上的共鳴，有利于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性，激發(fā)教師的教學(xué)熱情，形成教學(xué)相長的良好氛圍。

四、結(jié)束語

筆者結(jié)合自身的教學(xué)體會(huì)，總結(jié)了圖論及其應(yīng)用課程的突出特點(diǎn)及教學(xué)現(xiàn)狀，指出了教學(xué)實(shí)踐中遇到的一些問題。在遵循圖論學(xué)科規(guī)律的前提下，將混合式學(xué)習(xí)引入圖論及其應(yīng)用課程教學(xué)中，結(jié)合實(shí)際提出了解決一些教學(xué)問題的有效方法?；旌蠈W(xué)習(xí)模式的選擇要兼顧教師施教和學(xué)生學(xué)習(xí)的具體需要，找到混合學(xué)習(xí)介入的合理依據(jù)，體現(xiàn)傳統(tǒng)課堂講授與在線學(xué)習(xí)的優(yōu)勢互補(bǔ)[14]。作為一線教師，我們既是教育改革的實(shí)踐者，也是教學(xué)模式創(chuàng)新的探索者，探索采取有效的教學(xué)方式來提升教育質(zhì)量和人才培養(yǎng)質(zhì)量是永遠(yuǎn)不變的追求。