例說分類討論思想在解題中的一些應用（二）

陳顯華

【摘要】分類討論又稱分情況討論.當一個數(shù)學問題在一定的題設(shè)下，其結(jié)論并不唯一時，我們就需要對這一問題進行必要的分類.將一個數(shù)學問題根據(jù)題設(shè)分為有限的若干種情況，在每一種情況中分別求解，最后再將各種情況下得到的答案進行歸納綜合，這種研究問題的思想方法就是分類討論的思想方法.分類討論法是根據(jù)問題的不同情況分類求解，它體現(xiàn)了化整為零和積零為整的思想與歸類整理的方法，是極為重要的思想方法.

【關(guān)鍵詞】分類討論思想;解題;應用

一、用分類討論思想求三角形的邊長

例1等腰三角形一條腰上的中線將這個等腰三角形的周長分成15 cm和6 cm兩部分，求等腰三角形的腰長和底邊長.

解設(shè)等腰三角形的腰長為2x cm，底邊長為y cm，則根據(jù)題意，可得

2x+x=15，x+y=6或2x+x=6，x+y=15.

分別解這兩個二元一次方程組，得

x=5，y=1或x=2，y=13.

∵x=2時，2x=4，

又∵4+4<13，

∴x=2，y=13應該被舍去.

綜上所述，等腰三角形一條腰上的中線將這個等腰三角形的周長分成15 cm和6 cm兩部分，等腰三角形的腰長為10 cm，底邊長為1 cm.

例2已知直角三角形兩邊的長x，y滿足x2-4+y2-5y+6=0，則第三邊的長為.

解根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，可得x2-4=0，且y2-5y+6=0，

∴x=±2，y=3或2.

∵x，y表示直角三角形的邊長，

∴x=-2應該被舍去.

∴x=2，y=3或x=2，y=2.

當x=2，y=2時，根據(jù)勾股定理可得第三邊的長為22+22=22;

當x=2，y=3時，根據(jù)勾股定理可得第三邊的長為22+32=13.

當直角三角形的兩邊長為2和3時，并不能確定它們都是直角邊，斜邊有可能為3，故第三邊長也可能為32-22=5.

綜上所述，已知直角三角形兩邊的長x，y滿足x2-4+y2-5y+6=0，則第三邊的長為22，13或5.

二、用分類討論思想判斷三角形的形狀

例3已知a，b，c為△ABC的三邊長，且滿足a2c2-b2c2=a4-b4，試判斷△ABC的形狀.

解∵a2c2-b2c2=a4-b4，

∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2），

∴c2（a2-b2）-（a2+b2）（a2-b2）=0.

∴（a2-b2）[c2-（a2+b2）]=0.

當a2-b2=0時，即a=b時，此時△ABC是等腰三角形;

當a2-b2≠0時，經(jīng)化簡，得c2=a2+b2，此時△ABC是直角三角形.

綜上所述，△ABC是等腰三角形或直角三角形.

三、用分類討論思想求二次函數(shù)的最值

例4已知二次函數(shù)y=x2，在-1≤x≤4這個范圍內(nèi)，求函數(shù)的最值.

解∵-1≤x≤4包含了x=0，

∴函數(shù)y=x2的最小值為0.

又∵當x=-1時，y=1，當x=4時，y=16，

∴當-1≤x≤4時，函數(shù)y=x2的最大值為16.

綜上所述，二次函數(shù)y=x2，在-1≤x≤4這個范圍內(nèi)的最小值為0，最大值為16.

四、用分類討論思想進行與圓有關(guān)的計算

例5如圖1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.若以點C為圓心、R為半徑的圓與斜邊AB只有一個公共點，則R的取值范圍是.

解如圖2所示，以點C為圓心、R為半徑的圓與斜邊AB相切，過點C作CD⊥AB于D，則CD=R.

根據(jù)勾股定理，可得AB=AC2+BC2=32+42=5，

∴S△ABC=12AC·BC=12AB·CD.

∴R=CD=AC·BCAB=3×45=125=2.4.

如圖3所示，當以點C為圓心、R為半徑的圓與斜邊AB相交于一點，那么R應滿足AC

綜上所述，當R=2.4或3

例6已知⊙A和⊙B相切，其圓心距為8 cm，⊙A的半徑為3 cm，則⊙B的半徑是（）.

A.5 cmB.11 cmC.3 cmD.5 cm或11 cm

解設(shè)⊙A和⊙B的半徑分別為rA和rB，圓心距為d.

當⊙A和⊙B外切時，rA=3，d=8，

∴rA+rB=d.

∴rB=5，即⊙B的半徑是5 cm.

當⊙A和⊙B內(nèi)切時，rA=3，d=8，

∴rB-rA=d，

∴rB=11，即⊙B的半徑是11 cm.

綜上所述，已知⊙A和⊙B相切，其圓心距為8 cm，⊙A的半徑為3 cm，則⊙B的半徑rB=5 cm或rB=11 cm，選D.

例7在半徑為R的圓內(nèi)，求長為R的弦所對的圓周角的度數(shù).

解如圖4所示，當圓周角的頂點C在優(yōu)弧上時，⊙O的半徑為R，AB=R，∠ACB是長為R的弦所對的圓周角.連接OA，OB，則OA=OB=AB=R，于是△OAB為等邊三角形，

∴∠AOB=60°，

∴∠ACB=12∠AOB=30°.

如圖5所示，當長為R的弦AB所對的圓周角的頂點C在劣弧AB上時，連接OA，OB，同理可得△OAB為等邊三角形，

∴∠AOB=60°，

∴優(yōu)弧AMB所對的圓心角為360°-60°=300°，

∴優(yōu)弧AMB所對的圓周角∠ACB=150°.

綜上所述，在半徑為R的圓內(nèi)，長為R的弦所對的圓周角的度數(shù)為30°或150°.

例8已知⊙O的半徑為5 cm，AB和CD是⊙O的兩條弦，且AB∥CD，AB=6 cm，CD=8 cm，則AB和CD間的距離為（）.

A.7 cmB.1 cmC.7 cm或1 cmD.5 cm或10 cm

解如圖6所示，當弦AB和弦CD位于圓心O的兩側(cè)時，過圓心O作OF⊥AB，垂足為F，延長FO交CD于E，連接OA，OC，則由“如果一條直線垂直于兩平行線中的一條，那么它也垂直于另一條直線”，知FE⊥CD，所以△AOF和△COE皆為直角三角形，由垂徑定理，可知AF=12AB=3 cm，CE=12CD=4 cm.

在Rt△AOF中，∠AFO=90°，OA=5，AF=3，根據(jù)勾股定理，可得OF=OA2-AF2=52-32=4.

同理，在Rt△COE中，∠CEO=90°，OC=5，CE=4，根據(jù)勾股定理，可得OE=OC2-CE2=52-42=3.

∵F，O，E三點共線，且FE=OF+OE，

∴FE=4+3=7，即弦AB和弦CD之間的距離為7 cm.

如圖7所示，當弦AB和弦CD位于圓心O的同側(cè)時，過圓心O作OE⊥CD，垂足為E，交AB于點F，則由“如果一條直線垂直于兩平行線中的一條，那么它也垂直于另一條直線”，知OF⊥AB，所以△AOF和△COE皆為直角三角形，而且由垂徑定理，可知AF=12AB=3 cm，CE=12CD=4 cm.

在Rt△AOF和Rt△COE中分別根據(jù)勾股定理，可得OF=4，OE=3.

∵F，O，E三點共線，且FE=OF-OE，

∴FE=4-3=1，即弦AB和弦CD之間的距離為1 cm.

綜上所述，弦AB和弦CD之間的距離為7 cm或1 cm.

所以本題選C.