基于y＝Asin（ωx+φ）模型的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)課堂

王文義　朱惠英　何男

【摘 要】本文探究A、ω、φ對(duì)y=Asin（ωx+φ）函數(shù)圖象的影響，提出在課堂教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，以航天事業(yè)為導(dǎo)學(xué)背景讓學(xué)生親自構(gòu)建y=Asin（ωx+φ）模型，體會(huì)數(shù)學(xué)樂(lè)趣，提升建模能力;運(yùn)用皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件將A、ω、φ對(duì)函數(shù)圖象的影響逐一進(jìn)行動(dòng)態(tài)展示，以期讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)從特殊到一般、從具體到抽象的思維方法。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)建模 圖象變換 動(dòng)態(tài)課堂

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2021）42-0075-03

本節(jié)課的內(nèi)容選自人教A版高中第一冊(cè)第五章第六節(jié)，包含兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)——?jiǎng)蛩賵A周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型和函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)屬于遞進(jìn)關(guān)系。先通過(guò)數(shù)學(xué)建模引出函數(shù)y=Asin（ωx+φ），再研究函數(shù)圖象及其性質(zhì)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。在教學(xué)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次函數(shù)等一般函數(shù)圖象的平移變換，又在三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)中對(duì)周期變換有所涉及。本節(jié)課是對(duì)一般函數(shù)圖象變換內(nèi)容的拓展，從“形”的角度上升到從“點(diǎn)的坐標(biāo)”這一代數(shù)本質(zhì)去理解圖象的變換規(guī)律。

一、教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)重難點(diǎn)

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能目標(biāo)

觀察、探索參數(shù)A、ω、φ對(duì)函數(shù)圖象的影響，能夠概括出三角函數(shù)圖象各種變換的實(shí)質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律;會(huì)用圖象變換法畫(huà)出函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象。

2.過(guò)程與方法目標(biāo)

通過(guò)對(duì)y=sin x到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）函數(shù)圖象變換規(guī)律探索過(guò)程的體驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索的能力，領(lǐng)會(huì)從特殊到一般、從具體到抽象的思維方法，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想，從而達(dá)到從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的飛躍。

3.情感態(tài)度、價(jià)值觀目標(biāo)

以中國(guó)航天事業(yè)為背景引入三角函數(shù)模型，激發(fā)學(xué)生探索宇宙的好奇心，弘揚(yáng)偉大的航天精神;通過(guò)小組交流，形成合作意識(shí);在解決問(wèn)題的難點(diǎn)時(shí)，培養(yǎng)解決問(wèn)題時(shí)抓主要矛盾的思想。

（二）教學(xué)重難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)

如何運(yùn)用控制變量的方法來(lái)研究A、ω、φ對(duì)函數(shù)圖象的影響，將y=sin x的圖象變換為y=Asin（ωx+φ）的圖象。

2.教學(xué)難點(diǎn)

對(duì)y=Asin（ωx+φ）函數(shù)圖象的影響規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與概括是本節(jié)課的難點(diǎn)。相對(duì)來(lái)說(shuō)，A、φ對(duì)圖象的影響較為直觀，ω的變化引起圖象伸縮變化，而學(xué)生第一次接觸這種圖象變化，不太會(huì)觀察，形成認(rèn)知難點(diǎn)。在教學(xué)中運(yùn)用動(dòng)態(tài)技術(shù)教學(xué)，使學(xué)生學(xué)會(huì)觀察圖象，掌握研究方法，理解圖象變化的實(shí)質(zhì)，是攻克這一難點(diǎn)的關(guān)鍵。

二、動(dòng)態(tài)教學(xué)技術(shù)

教師在教學(xué)中要與時(shí)俱進(jìn)，巧妙地運(yùn)用動(dòng)態(tài)幾何軟件，把圖象的變換直觀形象地呈現(xiàn)給學(xué)生，而掌握皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)V3.0軟件和幾何畫(huà)板應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)教師必備的技術(shù)能力。本節(jié)課y=Asin（ωx+φ）函數(shù)表達(dá)式可以直接在皓駿動(dòng)態(tài)教學(xué)V3.0軟件中輸入，對(duì)A、ω、φ分別輸入相應(yīng)的變化范圍，得到三個(gè)變量尺;通過(guò)移動(dòng)變量尺，就可以分別控制A、ω、φ的大小。例如，研究A對(duì)圖象的影響時(shí)，將ω調(diào)到1，φ調(diào)到0，通過(guò)移動(dòng)A變量尺從而控制圖象的變化;也可以點(diǎn)擊動(dòng)畫(huà)按鈕，隨著A的增大，圖象自動(dòng)不斷地發(fā)生變化。動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)既能增強(qiáng)趣味性，給課堂添加活力，又能直觀地展示出圖象的特征和性質(zhì)。

三、教學(xué)過(guò)程

（一）航天精神，催人奮進(jìn)

導(dǎo)學(xué)：同學(xué)們，知道我們國(guó)家為什么要建設(shè)自己的空間站嗎？早在2011年美國(guó)就頒布了“沃爾夫條款”，禁止中美兩國(guó)的雙邊航天合作。西方的阻撓和打壓并沒(méi)有澆滅我們的航天夢(mèng)，中國(guó)航天人不畏艱險(xiǎn)，自力更生，建設(shè)起了我們自己的太空家園。

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義情懷。中國(guó)航天精神要想一代代傳承下去，需要培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義情懷;激發(fā)學(xué)生探索宇宙的興趣，敢于挑戰(zhàn)不可能。由于航空航天與數(shù)學(xué)息息相關(guān)，學(xué)生會(huì)更加重視數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)。

（二）創(chuàng)設(shè)情境，數(shù)學(xué)建模

1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

“飛船的交匯對(duì)接技術(shù)是建設(shè)空間站的關(guān)鍵。如神舟十二號(hào)在交匯對(duì)接前，需要對(duì)‘天和’核心艙進(jìn)行高精度的定位。同學(xué)們，你如果是地面測(cè)控人員，如何計(jì)算出核心艙的實(shí)時(shí)位置，將準(zhǔn)確的坐標(biāo)發(fā)送給聶海勝指令長(zhǎng)呢？”

情景一：“天和”飛船繞地球一圈所用的時(shí)間為T(mén)，同學(xué)們能求出飛船的角速度嗎？

情景二：已知飛船的角速度為ω。以地心為中心建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)飛船上的傳感器測(cè)得飛船進(jìn)入預(yù)定軌道時(shí)的初始角度為φ1，軌道半徑為A，在預(yù)定軌道運(yùn)行時(shí)間為t。同學(xué)們能表示出飛船坐標(biāo)的實(shí)時(shí)位置嗎？

2.數(shù)形結(jié)合，建立模型（見(jiàn)圖1）

設(shè)計(jì)意圖：采用分層作業(yè)的形式，在下節(jié)課請(qǐng)學(xué)生主動(dòng)上講臺(tái)分享自己的解題思路和方法。

五、教學(xué)評(píng)價(jià)與教學(xué)反思

本節(jié)課通過(guò)中國(guó)航天知識(shí)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，使其發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的奧妙，激發(fā)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的興趣。控制變量的研究方法能化難為易，化繁為簡(jiǎn)，無(wú)論是理科還是文科，都可以用它來(lái)思考問(wèn)題。與其說(shuō)它是一種研究方法，不如說(shuō)它是一種邏輯思維。此外，在教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)技術(shù)軟件繪制的圖象更直觀、更生動(dòng)形象，教師應(yīng)多學(xué)習(xí)一些動(dòng)態(tài)制圖軟件應(yīng)用方法，這樣既能激發(fā)學(xué)生的興趣，又能讓學(xué)生更容易理解所學(xué)知識(shí)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]王康帥.整體把握 精巧設(shè)問(wèn) 教授方法 培養(yǎng)能力：“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象”的教學(xué)設(shè)計(jì)與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2016（6）.

[2]郝玉懷，薛紅霞.“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像”教學(xué)實(shí)踐與分析[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2011（Z1）.

[3]龔雪霜.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在高中數(shù)學(xué)探究教學(xué)中的應(yīng)用研究[D].重慶：重慶師范大學(xué)，2016.

【作者簡(jiǎn)介】王文義（1997— ），漢族，男，山東青島人，在讀碩士研究生，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育;朱惠英（1999— ），漢族，女，廣西賀州人，在讀碩士研究生，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育;何 男（1997— ），漢族，女，河南平頂山人，在讀碩士研究生，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育。

（責(zé)編 唐玉萍）