低起點高視角讓知識生長向深度發(fā)展

王瑜

【摘要】復習課是以核心知識為起點，對基本的知識、技能、典型例題、經(jīng)典習題等的再現(xiàn)，更是對學生進行知識結(jié)構(gòu)串聯(lián)重組能力的拔高.所謂“溫故”“知新”，“知新”就是要在知識的生長中鑄就問題解決的高視角，從而達到新的認知高度.本文以“求不等式（組）中待定字母的取值范圍”專題教學為例，談談數(shù)學復習課教學.

【關(guān)鍵詞】復習課;待定字母（參數(shù)）;高視角;思維發(fā)展

在區(qū)域名師工作室活動中，兩位老師圍繞蘇科版七年級下冊“求不等式（組）中待定字母的取值范圍”小專題進行了同課異構(gòu)教學活動.兩位老師教學設計的方案不同，產(chǎn)生的教學效果有所不同，引發(fā)筆者思考，現(xiàn)撰文呈現(xiàn)，希望與大家進一步研討.

一、教學片段

【方案1】（一）由圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言

首先讓學生根據(jù)圖形確定不等式的解集.

然后讓學生根據(jù)圖形，確定不等式中待定字母的值：

已知關(guān)于x的不等式x-a>0的解集如圖所示，求a的值.

變式：已知關(guān)于x的不等式x-a>0的解集為x>-3，求a的值.

充分考慮學生的認知水平，從學生的認知起點出發(fā)，“根據(jù)圖形，確定不等式的解集”，從圖形語言轉(zhuǎn)化到符號語言，開篇就滲透數(shù)形結(jié)合的思想.自然過渡到“根據(jù)圖形，確定不等式中待定字母的值”，設計起點低，逐層遞進，讓所有學生都可以獲得成功感.

（二）五種類型典型例題

類型1：已知解集確定待定字母的值.

已知關(guān)于x的不等式組2x-4>0，x-a<1的解集是2

類型2：已知解集確定待定字母的取值范圍.

已知關(guān)于x的不等式（a+3）x>a+3的解集為x<1，求a的取值范圍.

變式：已知關(guān)于x的方程x-a=1的解是正數(shù)，求a的取值范圍.

類型3：根據(jù)是否有解確定待定字母的取值范圍.

已知關(guān)于x的不等式組2x-4>0，x-a<1有解，求a的取值范圍.

變式：已知關(guān)于x的不等式組2x-4>0，x-a<1無解，求a的取值范圍.

類型4：已知整數(shù)解的情況確定待定字母的取值范圍.

已知關(guān)于x的不等式組2x-4>0，x-a<1有且只有兩個整數(shù)解，求a的取值范圍.

類型5：根據(jù)含未知數(shù)的式子的范圍確定待定字母的取值范圍.

已知關(guān)于x，y的方程組3x+y=2k+1，x+3y=3，若2

根據(jù)已知解集確定待定字母的取值、根據(jù)已知解集確定待定字母的取值范圍、根據(jù)有解無解確定待定字母的取值、根據(jù)整數(shù)解確定待定字母的取值范圍、對含未知數(shù)的式子確定待定字母的取值范圍，全面歸納問題類型，層層深入，讓不同的學生有不同的收獲.

注重對知識點的串聯(lián)重組：任何數(shù)學內(nèi)容都不是孤立存在的，“從哪來到哪去”.例題設計與方程、方程組相結(jié)合有利于學生形成知識體系，對數(shù)學知識有整體、宏觀的把握.

【方案2】不等式（組）中字母取值范圍的確定，在中考中頻頻登場.這類試題技巧性強，靈活多變，難度較大，常常影響和阻礙學生正常思維的進行.方案2從方法的角度呈現(xiàn)了以下四種解法：

（一）把握整體，輕松求解

已知方程組2x+y=1+3m，x+2y=1-m滿足-1≤x-y<2，求m的取值范圍.

（二）利用已知，直接求解

已知關(guān)于x的不等式（1-m）x>2的解集是x<21-m，求m的取值范圍.

（三）對照解集，比較求解

若關(guān)于x的不等式組2x-a<1，x-2b>3的解集為-1

（四）巧借數(shù)軸，分析求解

若關(guān)于x的不等式組x-a≥0，3-2x>-1的整數(shù)解共有5個，求a的取值范圍.

二、教學思考

（一）聚焦典型，總結(jié)方法

方案1設計起點低，逐層遞進，科學設計問題，題型歸納全面;方案2從方法上設計，分為四個部分，例題整合富有挑戰(zhàn)性，能激活學生的思維.但是，筆者認為兩位執(zhí)教者對學生解題方法的總結(jié)都不是很到位.從教學實踐看，對于學生而言，提煉出簡潔易記的方法，對提升教學的有效性非常重要.

G·波利亞在《怎樣解題》中提出解題的四個步驟：理解題目、擬訂方案、執(zhí)行方案、回顧.四個步驟中，“擬定方案”是關(guān)鍵，如何幫助學生尋找最佳解題策略應該是我們的焦點問題.那么，在本節(jié)課的教學中，教師可通過兩三道例題喚起學生兩點意識：①對未知數(shù)、字母參數(shù)的認識;②對臨界值的關(guān)注.教師要引導學生從這兩個角度尋找解法的共性和通性，從而歸納出解題思路：第一步，把待定字母當作常數(shù)，去解不等式（組）或方程（組），即用含字母的代數(shù)式表示解，根據(jù)題目條件找出該代數(shù)式的大致范圍;第二步，再次根據(jù)題目條件，運用假設驗證法確定臨界值能否取到，若假設臨界值能取到，會不會和原題矛盾.不妨提煉這種解題步驟為“求參分兩步”.此類題型條件稍做變動，結(jié)論就會變，但是只要把握住“求參分兩步”，就能真正做到以不變應萬變.

復習課首先要讓學生對基本知識、技能進一步掌握，然后從對典型例題、經(jīng)典習題的解決中獲得解決這類問題內(nèi)含的思想與方法，促進學生進一步加深對數(shù)學知識的理解，總結(jié)出解題策略，有助于增強學生解決數(shù)學問題的自信心.即從“低起點”入手，“高觀點”下多角度把握，讓知識在復習課中進一步生長，在知識的生長中鑄就能力的進一步發(fā)展.

（二）合理變式，巧化難點

布魯納指出，教師應當搭建“腳手架”幫助學生從現(xiàn)有的認知水平向潛在水平過渡.數(shù)學教學中的“變式”教學就是為學生在認知方面搭建適當?shù)摹澳_手架”.教師要通過對一道題的多角度、多層次的深入研究，挖掘其中不變的數(shù)學本質(zhì)，從而達到以不變應萬變的教學效果.

對臨界值的取舍是本節(jié)內(nèi)容，甚至是本章不等式問題中的易錯點，也是容易忽視的點.教師在教學中要不停地強化學生對臨界值單獨討論的意識.例題中“有解無解問題、整數(shù)解問題”，可以通過及時變式——增加或者去掉其中某一個或者兩個不等式的等號，通過這些變式以及答案的對比，可以及時鞏固“臨界值驗證法”，有效地化解本節(jié)課的重難點，提高此類問題的正確率.及時的變式題組設計能激發(fā)學生的學習動機，培養(yǎng)學生思考、總結(jié)歸納的習慣，感悟數(shù)學本質(zhì)，逐步形成多角度思考和理解數(shù)學的意識.

（三）因勢利導，發(fā)展思維

在數(shù)學教學中，教師所起的作用應是“以其所知，喻其不知，使其知之”，使學生的學習建構(gòu)在原有知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)之上，讓學生以發(fā)展的眼光去尋找新知識的生長點，不斷豐富和完善原有知識結(jié)構(gòu)的成體系的知識，讓知識和思維向深度發(fā)展.這節(jié)專題復習課“待定字母”自始至終是我們的研究對象，即參數(shù).由于初中數(shù)學是高中數(shù)學的基礎(chǔ)，含參問題不僅在中考中頻頻出現(xiàn)，也是高中階段的重要題型，那么初中教師有必要在日常教學中逐步去滲透參數(shù)的思想.實際上，在七年級下冊“二元一次方程”練習中，已經(jīng)涉及對學生來說不易解決的參數(shù)問題.原題呈現(xiàn)：“已知關(guān)于x，y的二元一次方程（2m+1）x+（2-3m）y+1-5m=0，隨著m取值的不同，這些方程都有一組公共解，請求出這組公共解.”

解題教學的目的不僅是為了應試，而是激活思維、形成能力.教師的作用在于引導學生利用已有的知識與經(jīng)驗對新問題進行同化或順應，因此筆者結(jié)合班級學情，在實際教學中為學生搭建了“腳手架”，進行了參數(shù)引入與滲透的嘗試，以下是筆者對參數(shù)的幾點教學處理.

1.參數(shù)的初步認識

回顧本節(jié)課解題思路，引導學生體會待定字母的作用：對題目來說，待定字母本身并沒有什么實際價值，但是它的出現(xiàn)簡化了問題，提供了明晰的解題方法.這些待定字母，就是參數(shù).參數(shù)兼有常數(shù)和變數(shù)的雙重特征，它將一直活躍在我們數(shù)學學習之路上.

2.參數(shù)的出現(xiàn)與認識

初中階段參數(shù)的出現(xiàn)大部分不難，但是學生會認為參數(shù)抽象，影響對題目的把握.那么，教師可低起點舉例，例如，在復雜計算題中.“整體換元”引入的字母即參數(shù)，讓學生感受參數(shù)的存在，并帶領(lǐng)學生“認清”參數(shù)，明確哪個量為常數(shù).

3.參數(shù)的處理

對參數(shù)的處理，通常有消參、分離參數(shù)、主元法等.在含參問題教學過程中，需要培養(yǎng)學生變量的轉(zhuǎn)換意識.例如，在解決：“已知關(guān)于x，y的二元一次方程（2m+1）x+（2-3m）y+1-5m=0，隨著m取值的不同，這些方程都有一組公共解，請求出這組公共解.”對于本題而言，解決該問題的關(guān)鍵在于“變換主元”.在長期的數(shù)學學習過程中，我們習慣于用x，y 來表示變量，用 a，b，m，k等表示常數(shù)或參數(shù)，容易產(chǎn)生思維定式.其實，本題中求公共解，即求一組 x，y的值，隨著m取值的變化，這組x，y的值不變，因此，我們可以“變換主元”，把m視為變量，x，y視為常數(shù)，或為參數(shù).

含參問題的解決使得學生把自己的思維和數(shù)學運算有機地結(jié)合在一起，增強邏輯思維能力、知識運用技能、數(shù)學問題解決能力、數(shù)學意識等方面的素養(yǎng).高中學習中，含參問題更是緊緊伴隨著學生的學習，因此筆者認為不妨從此處開始，逐步滲透參數(shù)思想，從而激活學生的思維能力，發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng).

數(shù)學教學始終關(guān)注：一、數(shù)學知識與技能的教學，重在解決“是什么、怎樣做”的問題; 二、數(shù)學思想與方法的教學，重在解決“運用什么樣的思想與方法去做”的問題;三、數(shù)學思維過程的教學，重在解決“怎么想到這樣做，為什么要這樣做”的問題;四、數(shù)學精神與文化的教學，重在促進學生心智、個性、觀念、精神等的和諧發(fā)展.專題復習課真正做到“低起點”“高視角”，激活學生思維，教師僅僅停留在關(guān)注一、二層次的教學層面是遠遠不夠的，必須要以發(fā)展的觀點看待教學，始終以發(fā)展和激活學生思維為目標貫徹教學，讓學生對這個多維、多彩的知識世界充滿無限的渴望，這正是我們復習課的最終歸宿.

【參考文獻】[1]章建躍.中學數(shù)學核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系及教學設計研究與實踐[J].中學數(shù)學教學參考，2008（9）.