關(guān)于質(zhì)數(shù)的一些簡單探討

易照雄

【摘要】 從小于20的八個已知質(zhì)數(shù)出發(fā)，由數(shù)值計(jì)算去嘗試尋找質(zhì)數(shù)（包括孿生質(zhì)數(shù)）的公式與簡便方法;也可結(jié)合混沌理論中的費(fèi)根鮑姆常數(shù)以及與質(zhì)數(shù)關(guān)系密切的布朗常數(shù)，通過應(yīng)用自然對數(shù)和常用對數(shù)，再經(jīng)由數(shù)值計(jì)算尋找一個估算質(zhì)數(shù)個數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式.

【關(guān)鍵詞】質(zhì)數(shù);偽質(zhì)數(shù);贗質(zhì)數(shù);自然對數(shù);常用對數(shù);費(fèi)根鮑姆常數(shù);布朗常數(shù)

一、關(guān)于質(zhì)數(shù)的公式N（n）=2×3n+5，N（n）=2×3n+7

質(zhì)數(shù)（或稱之為素?cái)?shù)）是指只能被1和其自身所整除的自然數(shù).而合數(shù)則是指通過若干個質(zhì)數(shù)相乘所構(gòu)成的、可以被拆分的自然數(shù).正是在這個意義上，人們將質(zhì)數(shù)視為數(shù)學(xué)中的“原子”.分析已知的質(zhì)數(shù)不難看出，所有兩位及兩位以上的質(zhì)數(shù)的個位數(shù)只能是1，3，7，9，無一例外.而個位數(shù)為0，2，4，5，6，8的自然數(shù)，也均無一例外為合數(shù).數(shù)值計(jì)算表明，所有大于10的質(zhì)數(shù)都可以由公式N（n）=6n+5，N（n）=6n+7給出.只不過該公式在給出所有質(zhì)數(shù)的同時也給出了相當(dāng)數(shù)量的合數(shù)，并不全都是質(zhì)數(shù)，實(shí)際上，質(zhì)數(shù)也僅僅只是其中的一部分甚至是一小部分而已.這里，當(dāng)我們把自然數(shù)N（n）代入上述公式后，如果得到的n值為整數(shù)，我們就說自然數(shù)N（n）可以通過“6n”測試.而由此得到的自然數(shù)N（n），我們則稱之為 “6n”質(zhì)數(shù).我們也可以將公式N（n）=6n+5，N（n）=6n+7改寫成N（n）=2×3n+5，N（n）=2×3n+7，這樣的公式包含了10以內(nèi)的四個質(zhì)數(shù)：2，3，5，7.至于2×3重復(fù)出現(xiàn)了兩次，牽強(qiáng)的解釋可能是由2，3可以構(gòu)建5和7，因而2，3顯得比5和7更具基礎(chǔ)性一些.

由上面的表2可知，部分個位數(shù)為1，3，7，9的自然數(shù)，實(shí)際上并不是質(zhì)數(shù)，而是一大類可以通過 “6n”測試的合數(shù)，如91，143，187，169，我們暫且將這類屬于“6n”質(zhì)數(shù)的自然數(shù)稱為偽質(zhì)數(shù).我們依次并連續(xù)運(yùn)用上面（1）（2）那樣的方法，就可以去掉所有類似的非質(zhì)數(shù)（包括偽質(zhì)數(shù)）.這里，我們把建立在公式N（n）=2×3n+5和N（n）=2×3n+7的基礎(chǔ)上并進(jìn)一步“篩掉”所有非質(zhì)數(shù)的方法，暫且稱為“新篩法”.我們通過這樣的“新篩法”，就有可能篩掉公式N（n）=2×3n+5，N（n）=2×3n+7所帶來的包括偽質(zhì)數(shù)在內(nèi)的所有的非質(zhì)數(shù)，最終找到我們所要找尋的質(zhì)數(shù).不難看出，隨著n的增大，一方面上述公式給出了真實(shí)的質(zhì)數(shù)，同時也給出了越來越多的非質(zhì)數(shù)，從而導(dǎo)致最終實(shí)際給出（存在）的質(zhì)數(shù)越來越稀少.

二、贗質(zhì)數(shù)公式 N（n）=2×3n+3，N（n）=2×3n+9

另外一大類不能通過上面所謂 “6n”測試的自然數(shù)，如21，87，117，141，177，561，1023，16383，10234029，其個位數(shù)也是1，3，7，9，這和前面的偽質(zhì)數(shù)相同.因其仍然為合數(shù)，所以我們暫且稱之為贗質(zhì)數(shù).贗質(zhì)數(shù)可從兩個連續(xù)的“6n” 質(zhì)數(shù)的算術(shù)均數(shù)中得到，且所有的贗質(zhì)數(shù)都可以被3整除，即被稱為贗質(zhì)數(shù)的這類合數(shù)都具有最小的質(zhì)因數(shù)3，或者說兩個n值不同但連續(xù)的“6n”質(zhì)數(shù)之和都可以被6整除.即：

這樣的公式N（n）=6n+3和N（n）=6n+9就是由公式N（n）=2×3n+5，N（n）=2×3n+7而得到的贗質(zhì)數(shù)的計(jì)算公式.有趣的是，同一贗質(zhì)數(shù)可以出現(xiàn)在這樣的兩個公式中，只不過這時n取兩個不同但連續(xù)的值.例如：561，可以同時有： 6×93+3=561，6×92+9=561，但其他類似的公式卻沒有這樣的情形出現(xiàn).很顯然：

相較于其他類似的公式，比如上面的N（n）=2n+1，N（n）=2n+3和N（n）=3n+1，N（n）=3n+2以及N（n）=4n+1，N（n）=4n+3而言，公式N（n）=2×3n+5與N（n）=2×3n+7給出的計(jì)算值不但不包括任何偶數(shù)，也不包括任何贗質(zhì)數(shù)，且所包含的非質(zhì)數(shù)也是這類公式中最少的.而孿生質(zhì)數(shù)（即雙生質(zhì)數(shù)）在公式N（n）=2×3n+5，N（n）=2×3n+7中都具有同一個n值.“篩掉”所有非質(zhì)數(shù)及與非質(zhì)數(shù)取相同n值的質(zhì)數(shù)，如25以及與25取相同n值3的質(zhì)數(shù)23，185以及與185取相同n值30的偽質(zhì)數(shù)187，91以及與91取相同n值14的質(zhì)數(shù)89;再“篩掉”孿生偽質(zhì)數(shù)，如119和121.經(jīng)過這樣的篩選，剩下來的就全都是孿生質(zhì)數(shù)了.

另外，如果我們說質(zhì)數(shù)是一切數(shù)的 “原子”，合數(shù)是由若干個質(zhì)數(shù)相乘得到的，那么公式N（n）=3n+1，N（n）=3n+2似乎也表明，2和3可能是所有大于等于5的質(zhì)數(shù)的“原子”，也即任意一個大于等于5的質(zhì)數(shù)都是由若干個2和3相加來構(gòu)成的.還有，5和7出現(xiàn)在前面去掉非質(zhì)數(shù)的“新篩法”中，也即5和7都參與“6n” 質(zhì)數(shù)中的部分非質(zhì)數(shù)的構(gòu)建，但2和3卻沒有出現(xiàn)在前面去掉非質(zhì)數(shù)的“新篩法”中，這似乎也說明了2和3在質(zhì)數(shù)中的基礎(chǔ)性地位和作用.

我們從上面的討論中不難看出，對于個位數(shù)是1，3，7，9的自然數(shù)，可以分成三大類： 質(zhì)數(shù)、能通過“6n” 測試的偽質(zhì)數(shù)以及不能通過“6n”測試的贗質(zhì)數(shù)，偽質(zhì)數(shù)和贗質(zhì)數(shù)本質(zhì)上都是合數(shù).我們以小于20的八個質(zhì)數(shù)尤其是三對孿生質(zhì)數(shù)（5和7，11和13，17和19）為基礎(chǔ)，應(yīng)用本文以上所給出的尋找質(zhì)數(shù)的“新篩法”，就可以很容易得到100以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù).在這個“新篩法”的基礎(chǔ)上似乎可以進(jìn)一步找到小于任意一個自然數(shù)（比如本文中的200）的所有質(zhì)數(shù)，這似乎至少在原則上來講是可行的和可能的.至于識別任意一個自然數(shù)是否為質(zhì)數(shù)或偽質(zhì)數(shù)，我們在這里并不能給出類似于費(fèi)馬小定理的費(fèi)馬素性測試那種簡單有效的方法.我們只知道個位數(shù)為0，2，4，5，6，8的自然數(shù)及贗質(zhì)數(shù)（其個位數(shù)為1，3，7，9）都不是質(zhì)數(shù).盡管我們在原則上似乎可以“篩掉”所有的偽質(zhì)數(shù)，但這里并沒有給出能判定任意一個個位數(shù)是1，3，7，9的自然數(shù)是否為質(zhì)數(shù)或偽質(zhì)數(shù)的簡便方法.

三、費(fèi)根鮑姆常數(shù)α和δ、布朗常數(shù)B2與質(zhì)數(shù)分布可能存在的聯(lián)系

我們上面簡單討論了如何去找尋質(zhì)數(shù)和如何識別偽質(zhì)數(shù)以及怎樣認(rèn)定贗質(zhì)數(shù).與質(zhì)數(shù)密切相關(guān)的另一個問題就是質(zhì)數(shù)的分布.作者由于對物理學(xué)的一些基本問題的關(guān)注和探討，聯(lián)想到混沌理論中的費(fèi)根鮑姆常數(shù)是否會和質(zhì)數(shù)分布規(guī)律存在一定的關(guān)系.若從長久以來大家一直都知曉的小于給定值N的素?cái)?shù)個數(shù)的估算公式 π（N）≈NlnN 出發(fā)，將上述兩個費(fèi)根鮑姆常數(shù)以及與質(zhì)數(shù)密切相關(guān)的布朗常數(shù)B2（B2≈1.902160578）聯(lián)系起來進(jìn)行綜合考量，并經(jīng)過反復(fù)的數(shù)值計(jì)算，可以得到如下一個小于給定值N的質(zhì)數(shù)個數(shù)的估算公式：

顯而易見，上述估算質(zhì)數(shù)個數(shù)的公式所給出的計(jì)算結(jié)果，與相應(yīng)的真實(shí)值是符合得比較好的.這個公式中包含了自然對數(shù)、常用對數(shù)以及混沌理論中的兩個費(fèi)根鮑姆常數(shù)，還有與質(zhì)數(shù)密切相關(guān)的布朗常數(shù)B2以及圓周率π.不過，用以上這些只涉及初等數(shù)學(xué)的想法與方法去探討和對待在自然數(shù)中尋找質(zhì)數(shù)、估算質(zhì)數(shù)個數(shù)這樣的老問題，也許是很有趣的，但是否正確和有意義則只能由相關(guān)的專家學(xué)者去評判了.

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