“構(gòu)造”巧架橋天塹變通途

張志剛

【摘要】在高中數(shù)學階段，學生靈活使用構(gòu)造法解題，簡捷明快，富有成效，可以優(yōu)化學生的知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神，提高學生分析問題、解決問題的能力.在課堂教學中，教師要滲透構(gòu)造法，要引導(dǎo)學生強基固本、厚積薄發(fā)，還要為學生提供更多的訓練素材、更寬裕的時間條件.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學;構(gòu)造法

一、構(gòu)造法的思維特征

構(gòu)造法的核心是抓住問題在形式與結(jié)構(gòu)上的本質(zhì)特征，找出“已知”與“所求或所證”間的聯(lián)系，多角度多渠道地展開聯(lián)想，使用已知條件為原材料，引入一個新模型（如函數(shù)、方程、不等式、幾何體、向量等），使疑難問題得以分解或轉(zhuǎn)化，最終迎刃而解.

構(gòu)造法由來已久，在中國古代，以秦漢時期 《九章算術(shù)》與魏晉時期 《劉徽注 》為代表的中國傳統(tǒng)數(shù)學，在從問題出發(fā)以解決問題為主旨的發(fā)展過程中，建立了以構(gòu)造性與機械化為特色的算法體系.[1]如祖暅沿用劉徽“牟合方蓋”理論，得出“冪勢既同，則積不容異”的結(jié)論，進而通過構(gòu)造方法計算出“牟合方蓋”的體積，然后導(dǎo)出球的體積.

高中數(shù)學中，構(gòu)造法隨處可見，其應(yīng)用分為兩方面：一是構(gòu)造法作為輔助手段，且構(gòu)造并非解決問題的目標，而只是作為轉(zhuǎn)化問題的輔助手段，架起條件與結(jié)論間的橋梁，如常見的構(gòu)造函數(shù)解不等式、構(gòu)造規(guī)則幾何體求體積;二是存在性命題的構(gòu)造證明，如某些概念辨析及命題真?zhèn)蔚呐袛?，要求給出滿足（或不滿足）條件的數(shù)學對象，此時需構(gòu)造實例（或反例）.

二、構(gòu)造法的應(yīng)用舉例

構(gòu)造法不同于常規(guī)的邏輯思維方法，沒有通用的構(gòu)造法則和程序直接套用，構(gòu)造的對象也是多種多樣的，如構(gòu)造函數(shù)、向量、方程、圖形、數(shù)列等，具有鮮明的隨機性和創(chuàng)造性，但構(gòu)造一定要基于數(shù)學學科內(nèi)部各部分之間的有機聯(lián)系.下面通過幾個例子剖析構(gòu)造法在不同模塊中的應(yīng)用，梳理構(gòu)造法的思維過程.

1.構(gòu)造法在不等式中的應(yīng)用舉例

點評 本題常見的做法是利用基本不等式進行解答.然而若將題設(shè)條件1x+2y=3稍做改造，變形為1x+2y=2×32，可聯(lián)想到等差中項，故可構(gòu)造一個等差數(shù)列模型，引入變量d進行消元，最終將本題所要求的問題轉(zhuǎn)化為學生熟悉的二次函數(shù)最值問題.本解法通過挖掘題設(shè)代數(shù)式的特征展開聯(lián)想，構(gòu)造特殊數(shù)列模型，從函數(shù)觀點認識方程和不等式，感悟數(shù)學知識間的關(guān)聯(lián)，別有一番風味.

2.構(gòu)造法在三角函數(shù)中的應(yīng)用舉例

點評 本題為三角函數(shù)的最值問題，首先可以利用周期性將定義域由R壓縮為0，2π，然后用導(dǎo)數(shù)的方法求解.但大部分學生并不擅長用導(dǎo)數(shù)工具探討三角函數(shù)問題，此時可考慮另辟蹊徑.事實上，f（x）=2sin x+sin 2x可分解變形為f（x）=sin x+sin x+sin 2x=sin x+sin x+sin（π-2x），結(jié)合正弦定理，將代數(shù)式sin x+sin x+sin（π-2x）與三角形的周長聯(lián)系起來，之后運用平面幾何知識解決即可.該解法通過對解析式重構(gòu)和分析，賦予它一定的幾何意義，構(gòu)思精巧，解答形象生動.

3.構(gòu)造法在數(shù)列中的應(yīng)用舉例

點評 為求數(shù)列的通項公式，我們常常需要對已知等式進行變形，構(gòu)造出等差（比）數(shù)列定義形式，再轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列問題.如第（1）問中，將已知條件中兩個等式相加，由等比數(shù)列的定義可證{an+bn}是等比數(shù)列，同理，將兩式相減可證{an-bn}是等差數(shù)列，為第（2）問最終求{an}和{bn}兩個一般數(shù)列的通項公式做好了鋪墊.

4.構(gòu)造法在函數(shù)中的應(yīng)用舉例

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查考生分析問題、解決問題的能力，考查考生的邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng).本例題要求判定一個全稱命題是假命題，給出不符合條件的函數(shù)，此時需構(gòu)造一個反例.實例與反例的使用，對加深數(shù)學理解，提高解題能力均有益處.特別是反例構(gòu)造，有助于培養(yǎng)逆向思維以及創(chuàng)造性思維.[2]波普爾指出：“一種嚴格的經(jīng)驗檢驗總是要力圖找到一種反駁、一個反例.”[3]證偽教學有利于學生更全面深刻地理解數(shù)學本質(zhì).

5.構(gòu)造法在立體幾何中的應(yīng)用舉例

點評 上述解法通過構(gòu)造正方體，將討論的直線顯性化，放置于幾何體的表面上進行研究，實現(xiàn)了抽象問題具體化、形象化.立體幾何中常常需要通過割補法（補形法）構(gòu)造規(guī)則幾何體，求解體積、二面角、異面直線所成角等問題，以降低思維難度.

三、結(jié)束語

教師在教學過程中使用構(gòu)造法，突破常規(guī)，可迅速找到解決之道，對于培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)大有裨益.然而構(gòu)造法也非一朝一夕即可練就，是需要學生扎實的基本功和較強的觀察力、想象力和創(chuàng)新能力的.教師要精心設(shè)計教學內(nèi)容和活動，引導(dǎo)學生強化基礎(chǔ)知識，在此基礎(chǔ)上為學生提供充足的研究時間和空間，尤其是適當安排一些與構(gòu)造思維相關(guān)的數(shù)學任務(wù)，有意識地為學生創(chuàng)造一些訓練機會，耐心指導(dǎo)學生深刻剖析問題的本質(zhì)特征，敏銳捕捉解題靈感，恰當構(gòu)造輔助模型.

【參考文獻】[1]吳文俊.關(guān)于研究數(shù)學在中國的歷史與現(xiàn)狀：《東方數(shù)學典籍〈九章算術(shù)〉 及其劉徽注研究》序言[J].自然辯證法通訊，1990 ，12（4）：37.39.

[2]何憶捷，熊斌.中學數(shù)學中構(gòu)造法解題的思維模式及教育價值[J].數(shù)學教育學報，2018（2）：50-53.

[3]卡爾·波普爾.猜想與反駁：科學知識的增長 [M].傅季重，紀樹立，周昌忠，等，譯.杭州：中國美術(shù)學院出版社，2003.